Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011

2 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer

3 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = 2 x, 1 x 2 om x-aksen.

4 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = 2 x, 1 x 2 om x-aksen.

5 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel x k Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = 2 x, 1 x 2 om x-aksen x 1 k 2 3

6 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel x 1 1 k x k s Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = 2 x, 1 x 2 om x-aksen. Arealet til typisk bånd (gult) er A = 2π 2 x k s Der s = x x k

7 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate Eksempel x 1 1 k x k s Finn arealet til flate som fremkommer ved å rotere y = 2 x, 1 x 2 om x-aksen. Arealet til typisk bånd (gult) er A = 2π 2 xk s Der s = x k x Areal: S = 2 1 4π x + 1 dx 19,8358

8 4 Overflate-areal av en rotasjonsflate Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om x aksen) La f(x) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved å rotere grafen y = f(x), x [a, b] om x-aksen er S = b a 2πy b 1 + [f (x)] 2 dx = 2πf(x) 1 + [f (x)] 2 dx a

9 5 Overflate-areal av en rotasjonsflate Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen) La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved å rotere grafen x = g(y), y [a, b] om y-aksen er S = b a 2πx b 1 + [g (y)] 2 dy = 2πg(y) 1 + [g (y)] 2 dy a Omkrets er 2π x x Arealet er 2π x s s x = g(y)

10 6 Overflate-areal av en rotasjonsflate Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen) La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved å rotere grafen y = f(x), x [a, b] om y-aksen er S = b a 2πx 1 + [f (x)] 2 dx Omkrets er 2π x x Arealet er 2π x s s y = f(x)

11 Kapittel 6.5. Eksponensiell endring og separable differensiallikninger

12 8 Separable differensiallikninger Definisjon Generell differensiallikning dy dx Definisjon = f(x, y) Separabel differensiallikning kan skrives på formen Definisjon (Separering) h(y) dy = g(x) dx (1) Separering = å omforme en differensiallikning til formen (1)

13 9 Separable differensiallikninger eksempel Eksempel Løs den separable difflikningen dy dx = y 2 sin x

14 9 Separable differensiallikninger eksempel Eksempel Løs den separable difflikningen dy dx = y 2 sin x Løsning: y(x) = 1 cos x c

15 10 Eksponensiell endring Definisjon (Eksponentiell endring) En størrelse y(t) endrer seg eksponensielt hvis y (t) = k y Konstanten k kalles for endringsrate konstanten. k > 0: Eksponentiell vekst, økning. k < 0: Eksponentiell nedgang, reduksjon, fall. Definisjon (Startverdi-betingelse) Betingelsen y = y 0 når y = 0 kalles for en initalverdibetingelse.

16 11 Eksempel: Radioaktivitet Radioaktivt forfall. N = antall atomer

17 11 Eksempel: Radioaktivitet Radioaktivt forfall. N = antall atomer Antall henfall i per tidsenhet er proposjonalt med antall atomer dn dt = k N

18 11 Eksempel: Radioaktivitet Radioaktivt forfall. N = antall atomer Antall henfall i per tidsenhet er proposjonalt med antall atomer N(t) = N 0 e k t dn dt = k N

19 11 Eksempel: Radioaktivitet Radioaktivt forfall. N = antall atomer Antall henfall i per tidsenhet er proposjonalt med antall atomer dn dt = k N N(t) = N 0 e k t Halveringstid N(t + T half ) = 1 2 N(t).

20 11 Eksempel: Radioaktivitet Radioaktivt forfall. N = antall atomer Antall henfall i per tidsenhet er proposjonalt med antall atomer dn dt = k N N(t) = N 0 e k t Halveringstid N(t + T half ) = 1 2 N(t). Formel for halveringstid: T half = ln(2) k

21 12 Newtons avkjølingslov Temperaturøkningen til et legeme er proposjonalt med temeraturdifferansen. dt dt = k(t T omgivelser )

22 Kapittel 6.6. Arbeid

23 14 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid ved konstant kraft) Arbeid = Kraft Vei W = F s Måleenheter er ofte Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N.

24 14 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid ved konstant kraft) Arbeid = Kraft Vei W = F s Måleenheter er ofte Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N. Vei måles i meter. Eksempel s = 2,0 m.

25 14 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid ved konstant kraft) Måleenheter er ofte Arbeid = Kraft Vei W = F s Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N. Vei måles i meter. Eksempel s = 2,0 m. Arbeid angis i joule = Newtonmeter. Eksempel W = F s = 60,0 Nm = 60,0 J.

26 15 Hookes lov for fjærer Kraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvor mye vi strekker eller presser. F = k x Konstanten k kalles for fjærkonstanten. x F x

27 15 Hookes lov for fjærer Kraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvor mye vi strekker eller presser. F = k x Konstanten k kalles for fjærkonstanten. x F x

28 15 Hookes lov for fjærer Kraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvor mye vi strekker eller presser. F = k x Konstanten k kalles for fjærkonstanten. x F x

29 16 Eksempel Hookes lov Eksempel En fjær har fjærkonstanten k = 2,0 N/cm, og er presset 1,0 cm sammen. Hvor mye arbeid trengs for å presse den ytterligere sammen 1cm 2 cm F F x W = b a F(x) dx

30 17 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x).

31 17 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b

32 17 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde. x = b a n

33 17 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde x = b a n. Arbeidet i et lite intervall W k = F(xk ) x

34 17 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde x = b a n. Arbeidet i et lite intervall W k = F(xk n n ) x Samlet arbeid: W = W k = F(xk ) x k=1 k=1

35 17 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde x = b a n. Arbeidet i et lite intervall W k = F(xk n n ) x Samlet arbeid: W = W k = F(xk ) x k=1 Skriver som integral W = k=1 b a F(x)dx

36 18 Arbeid mange masser og varierende strekning 10 m 5 m h m A(h) 10 m Problem Vi vil fylle opp en tank med vann. Tanken er 5 m høy og er formet som en pyramide opp ned med kvadratisk toppflate med sider lik 10,0 m Hva blir arbeidet hvis alt skal fra grunn-nivå (spissen av pyramiden)?