Løsningsforslag eksamen i TMA4123/25 Matematikk 4M/N

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag eksamen i TMA3/5 Matematikk M/N Mandag. mai TMA3 Matematikk M; Alt unntatt oppgave 5 (Laplace. TMA5 Matematikk N: Alt unntatt oppgave 8 9 (Matlab. Oppgave Lagrange interpolasjon: (x.5(x p (x = f( (.5( + f(.5 (x (x (x.5 + f((x (.5 (.5 ( (.5 = x 7x ( x + x 8 + (x 5x + 3 = 3 x 3 x Newton interpolasjon: x i f(x i /3 3/ /3 /3 /3 / p (x = 3 (x + 3 (x (x 3 = 3 x 3 x Til sist bruker vi f(xdx p (xdx = Ikke en del av oppgaven: Den feilen som blir gjort her er altså f(xdx p (xdx = ln 5 36 =. 3

2 Side av 8 Oppgave a Skisse: f(x 3 3 x Fourierkoeffisientene: a = a n = b n = f(xdx =, f(x cos(nπxdx = ( + x cos(nπxdx [ = nπ sin(nπx + ( cos(nπx + nπx sin(nπx n π = f(x sin(nπxdx = ( + x sin(nπxdx [ nπ cos(nπx + n π ( sin(nπx nπx cos(nπx Fourierrekka: f(x + n= b Sett inn x =, vi får at ] ] = n π ( ( n, = nπ. ( ( n cos(nπx n π nπ sin(nπx. ( f( + + f( = = + ( n n π n= m= = + (m + = π ( = π 8. m= (m + π Sett inn x = / slik at f ( = = + ( ( n cos( nπ n π nπ sin(nπ n= Det første leddet i summen er null, siden ( n = når n er et partall, cos(nπ/ er null når n er et oddetall. For det siste leddet har vi at sin(nπ/

3 Side 3 av 8 er når n er et partall, mens det er ( (n / når n er et oddetall. Dermed har vi at = + ( m (m + π m= m= ( m m + = π. Oppgave 3 a (Dette punktet teller dobbelt. Separasjon av variable: u(x, t = F (xg(t som innsatt i ligningen gir F G = F G F = G G = k for en foreløbig helt ukjent konstant k. I tillegg har vi at u x (, t =, u(, t = F ( =, F ( =. ( F Løser ligningen som har tre mulige løsninger: F = kf ( k = λ > : F (x = Ce λx + De λx dermed F (x = Cλe λx Dλe λx. Setter inn randbetingelsene: F ( = C D = F ( = Ce + De = C(e e = C = D =. F (x = (triviell løsning k = : F (x = C + Dx dermed F (x = D. Setter inn randbetingelsene: F ( = D = F ( = C = F (x = (triviell løsning.

4 Side av 8 k = α < : F (x = A cos(αx+b sin(αx dermed F (x = Aα sin(αx+bα cos(αx. Setter inn randbetingelsene får: F ( = Bα = F ( = A cos(α = α = (n + π, n =,,,.... Så alle mulige løsninger av ( ( er på formen F (x = cos(α n x med α n = (n + π/. Løser nå ligningen (k = α n: som har løsningene: G = α ng G(t = A n cos(α n t + B n sin(α n t. Vi får da at alle løsninger av (a (b på formen G(tF (x er gitt ved A n cos(α n t cos(α n x B n sin(α n t cos(α n x, α n = for vilkårlige konstanter A n B n, men med Den generelle løsningen er dermed u t (x, t = u(x, t = ( An cos(α n t cos(α n x + B n sin(α n t cos(α n x ( An α n sin(α n t cos(α n x + B n α n cos(α n t cos(α n x Fra startbetingelsen u t (x, = får vi at B n =, slik at u(x, = (n + π, n =,,,... A n cos(α n x = A cos ( π x + A cos ( 3π x + A cos ( 5π x +. Ved å sammenligne med den oppgitte startbetingelsen u(x, = cos(πx/ + cos(5πx/ ser vi at A = 3, A = A n = for n,. Løsningen blir dermed u(x, t = 3 cos ( πt cos (πx + cos (5πt (5πx cos. b Vi har oppgitt at v(x, t = u(x, t + g(x, slik at v tt = u tt v xx = u xx + g xx. Sett dette inn i ligningen, u tt = u xx + g x x, u x (, t + g x ( =, u(, t + g( =.

5 Side 5 av 8 Siden u(x, t er en løsning av (a, (b i punkt a, må g(x tilfredstille slik at g xx =, g x ( =, g( =, g(x = x. Den generelle løsningen av dette problemet er gitt ved v = u + g, eller, som vi setter inn den generelle løsningen u(x, t fra a v(x, t = ( An cos(α n t cos(α n x + B n sin(α n t cos(α n x + x. Siden v t (x, = må B n =. Siden v(x, = må A n cos(α n x = A cos ( πx = g(x = x, + A cos ( 3πx + A cos ( 5πx + (3 der α n = (n + π/. Vi trenger altså å uttrykke x for < x < som en cosinusrekke, gjennom det finne et uttrykk for A n. Sagt på en annen måte: Vi trenger en periodisk, like utvidelse av -g(x, la oss kalle den h(x, slik at h(x = a + ( mπx a m cos L m= h(x = x for < x <. Ved å sammenligne dette med (3 kan vi trekke følgende konklusjoner:. L = (periode 8.. a =, dvs. h(xdx =. 3. a m = når m er et partall. Skissen under viser hvordan h(x kan se ut, dvs. at h(x er den like, 8- periodiske utvidelsen av funksjonen x, < x <. h(x x g(x

6 Side 6 av 8 Dette valget av h(x tilfredstiller så a m = (x cos ( mπx dx = for m partall fordi bidraget til integralet fra til er like stort, men med motsatt fortegn som bidraget fra til. Setter vi helt til sist m = n + får vi rekka (3 med A n = a n+ = (x cos (n + πx dx. Oppgave Ligningen kan skrives på formen: y(x e x = e x. ( Fouriertransformerer denne: π F(y F(e x = F(e x w π ŷ(w e 8 = e w ŷ(w = π e w 8 y(x = F (ŷ = π e x. Oppgave 5 a Delbrøksoppspalting: F (s = Dessuten har vi at slik at (s + (s = A s + + B s = 3 s s { f(t = L 3 s + + } = et e t. 3 s 3 L { } s F (s = L { } L = s (s s 3 = 3 { t τ t t τ } f(udu dτ (e u e u du dτ ( eτ + e τ 3 = et 3 e t t +. dτ

7 Side 7 av 8 b Gitt differensialligningen y y y = u(t, for t. med startverdiene y( =, y ( = y ( =. Laplacetransformerer ligningen: s 3 Y (s s y( sy ( y ( s Y (s+sy(+y ( Y (s+sy( = s ( e s. Setter inn startverdiene: eller (s 3 s sy (s (s s = s ( e s Y (s = s (s s ( e s + s ved å bruke resultatet fra punkt a finner vi y(t = et 3 e t t + ( + e(t 3 e (t (t + { et 3 e t t + 9 for t < = e t ( e e t 3 ( e + for t >. u(t Oppgave 6 x ( = 5 (6 + y( z ( =.6 y ( = (5 x( + z ( =.5 z ( = 3 ( x( =.333 Iterasjonene konvergerer siden systemet er diagonaldominant. Oppgave 7 Vi har altså gitt følgende system av differensialligninger: ( y = f(y, y( = y = der y = ( ( y yw, f(y = w y. w Og da er det bare å bruke Heun s metode som oppgitt på formelarket: ( ( k = hf(y =. =..

8 y + k = til slutt (., så k. = hf(y + k =. y = y + (k + k = ( + [( +. (... =. ( ]. =.6 (.98.8 Side 8 av 8 (..6 Oppgave 8 x = Uten den første if-setningen ville prrammet tilordne elementet A(5,6 en verdi, noe som er lov, men som vil utvide matrisen med en kolonne. Og det var vel ikke meningen. Uten den siste if-setningen ville prrammet forsøkt å tilordne en verdi til elementet A(,, noe som vil gi en feilmelding siden index ikke er tillatt. Oppgave 9 Lag en fil med navn oppg9.m som inneholder function y = oppg9 ( x y = exp (x.* sin (x.^; skriv følgende i kommando-vinduet: quad -,3