MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving Oppgaver fra boken: :, 9,,, 5, 9, 5, 67 Det er oppgavene i boldface som skal leveres inn: : Skriv sstemet av differensialligninger på matrise-form = z = + dz = 5 + z dz = 5 z :9 Hver figur er retningsfeltet til nøaktig ett av de følgende sstemene Finn hvilket retningsfelt som tilhører hvilket sstem a) b) c) = = + = + = = = 8 mars Side av 7

2 Løsningsforslag Øving (a) fig 8 (c) fig (b) fig 9 (d) fig Figur : Retningsfelt til oppgave :9 d) = = a) På diagonalen = må feltet være horisontalt fordi da er / = tilfellet bare i fig Dette er b) På linjen = / må feltet være vertikalt fordi da er / = bare i fig Dette er tilfellet 8 mars Side av 7

3 Løsningsforslag Øving c) Vi ser at / = Feltet til dette sstemet peker altså i samme retning som Dette er tilfellet bare i fig 9 d) Dette sstemet tillhører fig 8, noe vi ser bla pga at alle piler i fig 8 er vinkelrette på / og at T = (, ) = + = : Figur er retningsfeltet til = + = + Tegn løsningskurven som går gjennom = (, ) T Figur : Retningsfelt til oppgave : : Løs initsialverdiproblemet (IVP): = () = (, ) T Matrisen er øvre triangulær, så egenverdiene er λ = og λ = Egenverdiene u og u 8 mars Side av 7

4 Løsningsforslag Øving Figur : Retningsfelt med løsning til oppgave : tilfredsstiller da og = = u u Som feks u = (, ) T og u = (, ) T Generell løsning er da (t) = c e λt u + c e λt u = c e t + c e t For å finne den spesielle løsningen som går gjennom punktet () = (, ) T, må vi løse ligningen = () = c + c Denne kan løses ved vanlig radreduksjon, men vi ser at c må være - og dermed er c = 5 Løsingen på initsialverdiproblemet er altså funksjonen (t) = 5e t e t :5 Løs initsialverdiproblemet (IVP): 7 = () = (, ) T Finner egenverdiene: 8 mars Side av 7

5 Løsningsforslag Øving = det(a λi) = λ 7 λ = ( λ)( λ) 7 = λ λ 5 = (λ 5)(λ + ) Dvs λ = 5 og λ = Egenvektoren u må være en løsning av 7 = (A 5I)u = u, 7 som feks u = (7, ) T Egenvektoren u må være en løsning av som feks u = (, ) T Generell løsning er da = (A + I)u = 7 7 u, (t) = c e λt u + c e λt u = c e 5t 7 + c e t For å finne den spesielle løsningen som går gjennom punktet () = (, ) T, må vi løse ligningen 7 = () = c + c Dvs Summen av radene gir så c = 8 og c = c + = 8 = 7c + c = c c = = 7c + c + c c = 8c, Løsingen på initsialverdiproblemet er altså funksjonen (t) = 7 8 e5t + 8 e t 8 mars Side 5 av 7

6 Løsningsforslag Øving :9 Klassifiser likevektspunktet ˆ = (, ) T til sstemet = Matrisen er øvre triangulær, så egenverdiene er λ = og λ = som begge er positive Likevektspunktet ˆ = (, ) T er dermed en ustabil node :5 Klassifiser likevektspunktet ˆ = (, ) T til sstemet 6 = 5 Finner egenverdiene: 6 λ = det 5 λ = (6 λ)(5 λ) = λ λ + 8 = (λ 9)(λ ) Altså er begge egenverdiene positive og likevektspunktet ˆ = (, ) T er en ustabil node :67 Det følgende sstemet har to forskjellige egenverdier, men en egenverdi er 8 = a) Finn egenverdiene og egenvektorene b) Finn den generelle løsningen (t) = ((t), (t)) T c) Tegn linjene tillhørende til egenvektorene i retningsfeltet til sstemet Finn / og konkludér at alle retningsvektorer er parallelle til linjen som tilhører egenvektoren med den tillhørende egenverdien som ikke er Beskriv hvordan løsninger som starter i forskjellige punkt vil oppføre seg a) Egenverdier: λ 8 = det λ = ( λ)( λ) 8 = λ 6λ = λ(λ 6) 8 mars Side 6 av 7

7 Løsningsforslag Øving Så λ = og λ = 6 Egenvektoren u tilfredsstiller 8 = u som har en løsning u = (, ) T og egenvektoren u tilfredsstiller 8 = u som har en løsning u = (, ) T b) Den generelle løsningen blir da (t) = c e λt u + c e λt u = c + c e 6t c) Linjen tillhørende egenvektoren u = (, ) T har ligning = Vi har at så = + 8 = +, / = / = = for alle Dermed er alle løsningskurver av sstemet på formen = = = + C som alle er rette linjer parallelle med u Merk at dette kunne utledes uten å finne generell løsning Alle løsninger vil altså være rette linjer med stigningstall / som beveger seg bort fra linjen til u (Bortsett fra de som starter på linjen til u ) Alle punkter på denne linjen er likevektspunkter til sstemet 8 mars Side 7 av 7