MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
|
|
- Benjamin Olafsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 7 Kapittel 7.3: Rasjonale funksjoner og delbrøkoppspaltning 7.3:3 Bruk polynomdivisjon for å skrive f(x) : 3x3 + 5x x x + som en sum av et polynom og en rasjonal funksjon P Q (deg P : graden til polynomet P ) der deg P deg Q. Polynomdivisjon: 3x x + ) 3x 3 x + 5x 3x 3 3x x + x x + x Altså er f(x) 3x + x x :7 Finn delbrøkoppspaltningen til f(x) : 4x 4x 6 x(x 3)(x + ). 9. januar 7 Side av 8
2 Vi forsøker å finne konstanter A, B og C slik at f(x) A x + B x 3 + C x+ : 4x 4x 6 x(x 3)(x + ) A x + B x 3 + C x + A(x 3)(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x 3) x(x 3)(x + ) 4x 4x 6 A(x 3)(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x 3) (A + B + C)x + (B 3C A)x 3A A + B + C 4, B 3C A 4 og 3A 6. Dvs. A, B og C 3. Altså er f(x) 4x 4x 6 x(x 3)(x + ) x x x : (valgfritt) Finn delbrøkoppspaltningen til f(x) : 4x + x 3x. Vi faktoriserer nevneren: x 3x (x 5)(x + ) og forsøker å finne konstanter A og B slik at f(x) A x 5 + B x+ : 4x + x 3x A x 5 + B x + A(x + ) + B(x 5) (x 5)(x + ) 4x + A(x + ) + B(x 5) (A + B)x + A 5B A + B 4 og A 5B. Dette er et lineært ligningssett med to ukjente. Løsningen er A 3 og B. Dette gir f(x) 4x + x 3x 3 x 5 + x :8 Evaluér integralet I : f(x) der ved hjelp av delbrøkoppspaltning. f(x) : 4x x (x + ) (x 3) 9. januar 7 Side av 8
3 Integranden er en rasjonal funksjon der graden til telleren,, er mindre enn graden til nevneren, 3. Nevneren er også maksimalt faktorisert, så vi forsøker å finne tre konstanter A, B og C slik at f(x) A x + + B (x + ) + C x 3. 4x x (x + ) (x 3) A x + + B (x + ) + C x 3 A(x + )(x 3) + B(x 3) + C(x + ) (x + ) (x 3) 4x x A(x + )(x 3) + B(x 3) + C(x + ) (A + C)x + ( A + B + C)x + ( 3A 3B + C) A + C 4 A + B + C 3A 3B + C. Dette er et lineært ligningssystem med tre ukjente som kan løses på vanlig måte. Vi derfor, ved å løse ligningssystem får: A, B, C. Dette gir og dermed er: f(x) x + (x + ) + x 3. 4x x I (x + ) (x 3) ( x + (x + ) + ) x 3 ln x ln x 3 + C. x + 7.3: Evaluér integralet I : f(x) der ved hjelp av delbrøkoppspaltning. f(x) : x3 3x + x 6 (x + )(x + ) Integranden er en rasjonal funksjon der graden til telleren, 3, er mindre enn graden til 9. januar 7 Side 3 av 8
4 nevneren, 4. Nevneren er også maksimalt faktorisert, så vi forsøker å finne fire konstanter A, B, C og D slik at f(x) Ax + B x + + Cx + D x +. x 3 3x + x 6 (x + )(x + ) Ax + B x + + Cx + D x + (Ax + B)(x + ) + (Cx + D)(x + ) (x + )(x + ) x 3 3x + x 6 (Ax + B)(x + ) + (Cx + D)(x + ) (A + C)x 3 + (B + D)x + (A + C)x + B + D A + C B + D 3 A + C B + D 6. Dette er et lineært ligningssystem med fire ukjente som kan løses på vanlig måte. Vi observerer at systemet faktisk består av to uavhengige ligningssystem, hver med bare to ukjente, og er derfor lettere å løse: Dette gir Vi har at A, B, C, D 3. f(x) x + arctan x + C og at x x + du u, ln u + C ln(x + ) + C. x x + 3 x +. SUB: u x +, du x Dermed er x 3 3x + x 6 I (x + )(x + ) ( x x + 3 ) x + ln(x + ) 3 arctan x + C. 7.3:6 (valgfritt) Evaluér integralet ved å fullføre kvadratet i nevneren. x + x januar 7 Side 4 av 8
5 Polynomet i nevneren kan ikke faktoriseres i lineære faktorer fordi diskriminanten Fullfører kvadratet: Dette gir b 4ac <. x + x + 5 (x + ) + 5 (x + ) + 4. x + x + 5 (x + ) (x+) 4 +, må få nevneren på formen u +, ( 4 x+ ), SUB: u x +, du, + du 4 u + arctan u + C arctan ( x + ) + C. 7.3:35 Evaluér integralet x + 4 x 4. Integranden er en rasjonal funksjon der graden til både telleren og nevnerer er. Derfor polynomdivisjon gir: x 4 ) x + 4 x Altså er Derfor x + 4 x 4 x + 4 x x x 4 9. januar 7 Side 5 av 8
6 Andre del av integralet over kan løses ved delbrøkoppspaltning. Det vil si, anta: x 4 (x + )(x ) A x + + B (x ) A(x ) + B(x + ) (x + )(x ) (A + B)x + (B A) (x + )(x ) A + B og B A. Dette er et lineært ligningssett med to ukjente. Løsningen er A 4 og B 4. Dette gir ) ( 8 x x x ( x + + ) x Dermed er: Altså: ( 8 x 4 x + + ) x ( ln x + + ln x ) + C ln x x + + C x + 4 x 4 x + ln x x + + C 7.3:44 Evaluér integralet x tan x. Vi ser at dette integralet can løses ved bruk av delvis integrasjon, der vi antar: og u tan x u + x v x v x 9. januar 7 Side 6 av 8
7 Derfor: x tan x [ x tan x ] x x + tan () x + x + π 8 [ x + ] x + x + π 8 [ ] + x π 8 (x) [ (tan ) ] π 8 [ ( ) (tan tan ) ] π 8 [ π ] π π 8 π 4 Derfor: x tan x π 4 7.3:47 Evaluér integralet 4 ( x)( + x). Vi bruker delbrøskoppspaltning for å løse integralet. Anta at: 4 ( x)( + x) A x + B + x + C ( + x) A( + x) + B( x)( + x) + C( x) ( x)( + x) (A B)x + (A C)x + (A + B + C) ( x)( + x) 4 (A B)x + (A C)x + (A + B + C) Altså A + B + C 4 A B A C. 9. januar 7 Side 7 av 8
8 Dette er et lineært ligningssett med tre ukjente. Løsningen er A, B og C. Dermed er: 4 ( x)( + x) x + + x + ln x + ln + x + x + C + x + ln + x x + C ( + x) 7.3:53 (a.) For å fulføre eksempel 8, vis at x 4 ( x) 4 + x x 6 4x 5 + 5x 4 4x x. Ved å åpne x 4 ( x) 4 i telleren vi får: Ved vruk av polynomdivisjon: x 4 ( x) 4 x 4 (x + x) x 4 (x 4 + 6x 4x 3 4x + ) x 8 4x 7 + 6x 6 4x 5 + x 4 x 6 4x 5 + 5x 4 4x + 4 x + ) x 8 4x 7 + 6x 6 4x 5 + x 4 x 8 x 6 4x 7 + 5x 6 4x 5 4x 7 + 4x 5 5x 6 + x 4 5x 6 5x 4 4x 4 4x 4 + 4x 4x 4x 4 4 Altså er x 4 ( x) 4 + x x 6 4x 5 + 5x 4 4x x 7.3:53 (b.) Vis at x 4 ( x) 4 x 4 ( x) 4 + x x 4 ( x) januar 7 Side 8 av 8
9 og konkluder at: Bruk resultatet for å vise at 6 7 π π 3.4. Når Altså: også, x + x + x x 4 ( x) 4 x 4 ( x) 4 x4 ( x) 4 + x x 4 ( x) 4 x 4 ( x) 4 + x x 4 ( x) 4. hvor x4 ( x) 4 er kotinuerlig funksjon som kan avledes mellom og. Fra eksempel 8 i boka +x har vi: x 4 ( x) 4 + x 7 π og ved bruk av (a.): x 4 ( x) 4 Ved bruk ac forste delen av oppgave, får vi: også: x 4 ( x) 4 x 4 ( x) 4 + x (x 8 4x 7 + 6x 6 4x 5 + x 4 ) [ x 9 9 x8 + 6x7 7 4x6 6 + x ] x 4 ( x) π π π π π 3.4. Kapittel 8.: Differensialligninger 8.:7 Løs initialverdiproblemet (IVP) ds dt 3t +, s(). 9. januar 7 Side 9 av 8
10 ds dt 3t + ds ( 3t + ) dt ds 3t + dt s 9 (3t + ) 3 + C. INIT: s() 9 + C. Dvs. C 7 9 og løsningen er for t 3 fordi ds dt s 9 (3t + ) vil ikke være reell hvis t 3. 8.: Mengden fosfor i en innsjø ved tiden t er gitt ved en funksjon P (t) som tilfredsstiller differensialligningen dp dt 3t +, P (). Finn mengden fosfor i innsjøen ved tiden t. P (3t + ) dt 3 t + t + C. INIT: P () + + C. Så C og funksjonen P er gitt ved P (t) 3 t + t. Mengden fosfor i innsjøen ved tiden t er da P () :8 Befolkningen er tegnet mot tid på en semilog graph slik at det ser ut som et rett linje med skråningen -.43 og møter vertikal akse på. Finn differensialligning som viser befolkningsvekstrate på tidspunkt t mot befolkning størrelse på t. 9. januar 7 Side av 8
11 Anta at befolkningsstørrelse er p og tid som t. Dermed plott vil representere en rett linje: og differensialigningen vil være: ln p.43t + ln p.43t + dp.43 dt p dp dt.43p. 8.:3 Anta at L(t) er lengde til en fisk på tidspunkt t og den vokser ift. von Bertalanffy ligning: dl dt k(l L(t)) med L(). 9. januar 7 Side av 8
12 hvor k og L er positive konstanter. Det viste en studie at asymptotisk lengde av fisken er 3 og den tar 7 måneder for å nå halv av dens asymtptotisk lengde. (a.) Finn konstanter k og L. (b.) Finn lengde av fisken etter måneder. (c.) Når vil fisken nå 9% av dens asymptotisk lengde? (a.) Vi ser at differensialligningen er seperabel, så: dl dt k(l L(t)) ved bruk av integrasjon ved bruk av initial verdi, har vi: dl (L L(t)) k dt ln L L(t) kt + C ln L L(t) kt C L L(t) e kt C e C e kt L L(t) Ce kt L L() Ce k L C() C L Dette gir: L L(t) (L )e kt L(t) L (L )e kt ( L(t) L ( ) e kt) L 9. januar 7 Side av 8
13 Ift. von Bertalanffy ligning: lim L(t) L L 3 t For å finne k vet vi at fisken tar 7 måneder for å nå halv av dens asymtptotisk lengde. Derfor: [ L(7) 3 ( ] 3 )e 7k ( ) 3 e 7k e 7k 65 3 e 7k.54 ln e 7k ln(.54) 7k.685 k.54. (b.) (c.) 3 [ [ ( L() 3 )e (.54)()] 3 [ 3 3 e (.54)] 3 e (.54) inches. ( ] )e.54t e (.54t) 9 e (.54t).3 ln e (.54t) ln.3 (.54t) ln.3.54t ln.3 t.54 ln måneder. 9. januar 7 Side 3 av 8
14 9. januar 7 Side 4 av 8
15 8.:34 Løs differensialligning dy (3 y)( + y) Ved bruk av separasjon av variabeler: dy dy (3 y)( + y) Nå bruker vi delbrøkoppspaltning på venstre side: Derfor: Anta at: (3 y)( + y) (3 y)( + y) A 3 y + B + y A( + y) + B(3 y) (3 y)( + y) Dette gir A 5 også B 5. Ved integrasjon: [ ] 5 3 y + dy + y A + 3B og A B. [ ] dy (3 y)( + y) 5 3 y + dy + y ) ln 3 y + ln + y x + C 5( + y ln 3 y 5x + C + y 3 y e5x+c e 5x e C C e 5x + y (3 y)c e 5x 3C e 5x yc e 5x y + yc e 5x 3C e 5x y( + C e 5x ) 3C e 5x y 3C e 5x + C e 5x 8.:43 (a.) Løs differensialligning når dp dt sp( p) p() p. (b.) Anta at p. og s.; hvor lang vil det ta inntil p(t).5? (c.) Finn lim t p(t). Forklar med ord hva dette betyr. 9. januar 7 Side 5 av 8
16 (a.)ved bruk av separasjon av variabeler: dp dt sp( p) dp Nå bruker vi delbrøkoppspaltning på venstre side: Derfor: Anta at: Dette gir A også B. dp p( p) s dt Ved integrasjon: [ ] p + dp p s dt p( p) s dt p( p) A p + B p A( p) + B(p) p( p) A og B A. [ ] p + dp p s dt Det er gitt at: Derfor: ( ln p ln p ) st + C p ln p st + C p p e st+c e st e C C e st p ( p)c e st C e st pc e st p + pc e st C e st p( + C e st ) C e st p C e st p p + C e st C e st ) C e ( st + C e st + C e st p() p. C e s() C p + C e s() + C p ( + C ) C C p C p C p p 9. januar 7 Side 6 av 8
17 Ved bruk av verdien p, dette gir: (b.) p + C e st + p p e st. (c.) e.t.5 + 9e.t.5( + 9e.t ) 4.5e.t.5 e.t.t ln 9 9 t ln lim p(t) lim t t + p p e st +, som betyr at bare befolkningen av typen A A eventuelt vil overleve. 8.:53 Hvis verdien av oxygen forbruk til ni arter av afrikanske pattedyr er tegnet mot deres BMI på en log-log plot, ligger alle punktene på en rett linje med skråningen lik nesten.8. Finn differensialligning som setter sammenhengen mellom verdien av oxygen forbruk og BMI. Relasjon mellom oxygen forbruk (c) og BMI (m) på en log-log plot vil se ut som en rett linje, dvs: ln c.8 ln m Ved differensiering på begge sider: dc c.8 dm m dc c k dm m dc dm k c m. 8.:56 (a.) Finn differensialligning for N(t) e t og F (t) 3t, hvis N(t) og F (t) er vekstrate for befolkning og mat henholdsvis på tidspunkt t. (b.) Hvilke antagelser trenger du for å sammenligne om når, hvis mulig, matforsyning vil være utilstrekkelig? Vil eksponentiell vekstrate ta over lineær vekstrate? Forklar. (a.) Først tar vi: N(t) e t 9. januar 7 Side 7 av 8
18 Ved differensiering på begge sider: Også: dn e t dt Ved differensiering på begge sider: dn dt et dn dt N(t) dn N dt. F (t) 3t df 3 dt df dt 3. (b.) Ja, matforsyning vil være utilstrekkelig. Vi bør anta at endrinstakt for t. i.e. tid er samme for både N(t) og F (t). Det vil si N(t) F (t) fra t. 9. januar 7 Side 8 av 8
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 3 apittel 8.2: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
Detaljerd) Vi skal nne alle lsningene til dierensialligningen y 0 + y x = arctan x x pa intervallet (0; ). Den integrerende faktoren blir R x e dx = e ln x =
Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 far du trening i a lse ulike typer dierensialligninger, og her far du bruk for integrasjonsteknikkene du lrte i forrige kapittel. Men vel
DetaljerKapittel 4: Differensiallikninger
4.. Innledning og objekter i bevegelse. 57 Kapittel 4: Differensiallikninger 4.. Innledning og objekter i bevegelse. Oppgave 4..: (NY.) a) Vi har slik at venstre side er lik y + xy = xe x + x y(x) = e
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerOppfriskningskurs Sommer 2019
Oppfriskningskurs Sommer 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 9 fra Øving 2 a) Er funksjonen f(x) = en-til-en? Hvorfor/hvorfor ikke? { 1 x hvis 0 x
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerLøsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 1186 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.19 Kl. 9: Innlevering: 5.1.19 Kl. 1: For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel 5 5.5 Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax
DetaljerEksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerFasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A
3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerI = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
DetaljerI løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.
Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerIntegrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av
DetaljerEksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er
DetaljerEksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerEKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x
Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
DetaljerPrøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
Detaljerdifferensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerEksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerPrøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark
Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn
DetaljerOptimal kontrollteori
Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Høst 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle
DetaljerLøsningsforslag. Innlevering i FO929A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 15. april 2011 kl Antall oppgaver: 4
Innlevering i FO99A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 5. aril kl. 5. Antall ogaver: 4 Løsningsforslag Ogave Beregn disse ubestemte integralene a 5 cos3t dt 5 3 sin3t + C 5 sin3t
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
Detaljer