Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5

Transkript

1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax + a) x + = ax x a(x + ) x + = ax ax = 0 ± C x y = ± C x ( x) Innsetting: 5.57 a) y = x, x > 0 yy = ± C x ( x) C x dy dx = x = x = x d x dx d x dx ln x + C da x > 0 b) Setter inn (e, 4). 4 = ln e + C 4 = + C C = 3 Altså har vi ln x c) Finner stigningstallet i (e, 4). a = y = x gir a = e. y y 0 = a(x x 0 ) y 4 = (x e) e e x + 3 a) y = 0,e 0,04x 0,e 0,04x dx 0, 0,04 e 0,04x + C 3e 0,04x + C b) Setter inn (0, 00): = 3e 0 + C C = 97 3e 0,04x + 97 c) y = 0,e 0 = 0, i x = 0. a) y = 3 sin x 4 cos x (3 sin x 4 cos x) dx 3 cos x 4 sin x + C b) Vi setter inn ( π, 5): 5 = 3 cos π 4 sin π + C 5 = C C = 9 3 cos x 4 sin x + 9 c) Finner stigningstall i ( π, 5).

2 a = y = 3 sin π 4 cos π = 3 y y 0 = a(x x 0 ) y 5 = 3(x π ) 3x + 5 3π d) 3 cos x 4 sin x sin x 3 cos x + 9 A = ( 4) + ( 3) = 5 c = Vi har at tan ϕ = 3 4 (-4, -3) Det gir: Altså får vi φ og ϕ er i 3. kvadrant. ϕ = 0, π = 3,785 5 sin(x + 3,785) + 9 a) y 0 e ax = e x y e x + y ( e x ) = 0 (ye x ) = 0 ye x = 0 dx ye x = C C = Cex e x b) y + a 0 (e ax ) y e ax + y ae ax = 0 (ye ax ) = 0 ye ax = ye ax = C 0 dx C = Ce ax eax 5.63 c) y + 3 e ax = e x = e x y e x + ye x = 3e x (ye x ) = 3e x ye x = 3e x dx ye x = 3e x + C 3ex + C e x e x 3 + Ce x LI + RI = U I + R L I = U e at = e R L t L I e R L t + I R L e R L t = U L e R L t 5.66 (I e R L t ) = U L e R L t Ie R U L t = L e R L t dt Ie R L t = U L L R e R L t + C I = U R e R L t e R L t + C e R L t I = U R + Ce R L t a) Newtons avkjølingslov sier at y = k (4 y) der y er temperaturen etter t minutter. Vi vet at ved t = 0 er y =,5 C 0 min = 0,5 C min. y = k(4 3) = 0,5 k = 0,5 = 5 00 = 5 Altså har vi: y = 5 (4 y). b) Vi løser likningen:

3 y = 5 (4 y) y b a + Ce ax = Ce 5 t = 4 + Ce 5 t y(0) = 3 gir at C =. Altså 4 e 5 t. c) 4 e 5 t = e 5 t = 5 t = ln( ) t = 5 ln( ) 78 Altså omlag 78 minutter a) y + k 0 y e kx + yke kx = 0 (ye kx ) = 0 ye kx = ye kx = C 0 dx C = Ce kx ekx b) Fra forrige oppgave har vi Ce kt. Start (t = 0): Ce 0 = C. Ved t = 8 er C. Da får vi følgende likning; Ce k8 = C e 8k = ln e 8k = ln( ) 8k = ln ln k = ln 8 = ln = 0, Altså er k = 0,0866 døgn. c) Vi tar utgangspunkt i Ce kt. Ved t = 0 er C. Etter t = T Ce kt = C e kt = ln e kt = ln( ) k T T d) k = 8,67 % 5.7 har y blitt C. = ln ln = ln = ln k = ln k a) ΣF = ma G L = ma mg kv = mv der v = s mg ks = ms mg k dy dt = d y dt b) mg ky = my La nå y = v. Da får vi: mg kv = mv mv + kv = mg v + k m v = mg m v + k m v = g v e k m + vk m e k m t = ge k m t (v e k m t ) = ge k m t e k m t ve k m t = g m k e k m t + C v = g m k + Ce k m t s = v dt = g m k + Ce k m t dt s(t) = g m k t C m k e k m t + C c) Når t, vil e k m t 0. Dermed vil v(t) g m k. 3

4 5.73a y x y + ( ) x Integrerende faktor blir e R dx = e x. Vi multipliserer begge sider med den: y e x + y( e x ) = xe x 5.74 (ye x ) = xe x ye x = xe x dx ved delvis integrasjon ye x = xe x + e x + C xe x e x + e x e x + C e x x + + Ce x Punktet (0, 4) skal passe: 4 = Ce 0 Altså x + + 3e x. a) Integrerende faktor blir Da får vi: 4 = + C C = 3 R g(x) dx er = e dx = e x y = + e x y e x + y e x = e x e x (ye x ) = e x ye x = e x dx ye x = e x + C ex e x + C e x e x + Ce x e x Skal gå gjennom (, 5). Altså må 5 = e + C e, som gir C 34,. Så vi får e x + 34,e x b) (x + )y + (y 3)x = 0 (x + )y + yx = 3x y + x x + 3x x + R e x Integrerende faktor: x + = e ln(x +) = x +. Vi multipliserer begge sider med denne. y (x + ) + x x + y (x + ) = 3x x + (x + ) (y (x + )) = 3x y(x + ) = 3x dx y(x + ) = 3 x + C 3x (x + ) + C x + Vi setter inn for punktet (0, 7 ) og får C = 7. Da får vi 3x 7 (x + ) + x + = 3x + 7 (x + ) c) Integrerende faktor er e R x dx = e x. Da får vi: y + x xe x y e x + y (xe x ) = xe x e x (ye x ) = x ye x = x dx ye x = x + C x e x x e x + C e x e x + Ce x Vi setter inn (0, 0) og får 0 = 0 + Ce 0, altså C = 0. Dette gir: d) xy x 3 y x x x e x + 0e x Integrerende faktor blir da e R x dx = e ln x = =. Vi mutlipliserer begge eln x x sider i likningen med denne og får: 4

5 5.75 y x y x x = x x (y x ) = y x = dx y x = x + C x 3 + Cx Kurven skal gå gjennom (, 5). 5 = + C, altså C = 4. Dette gir a) yy = x y dy dx = x y d x dx y d x dx y x 3 + 4x = x + C y = x + C = x + C ± C x b) y = y y y = dy y dx = d dx y dx y d y = x + C y(c x) = C x x C x + C Da får vi c) y = t x y 5.76ad y t x y dy dx = t x y d t x dx y d t x dx ln y = t ln x + C e ln y t ln x +C = e y = (e ln x ) t e C y = Cx t Cx t a) y + 6x 0 yy = 6x y dy dx = 6x y d 6x dx y d 6x dx d) y + e x y = y = 8x + C ± C 8x y y = ex dy y dx = ex y d ex dx e x dx y d ex + C = (C e x ) y C e x = e x C = e x + C a) N = 0,0N 40 5

6 b) N 0,0N = 40 N = 40 0,0 + Ce+0,t N(t) = Ce 0,t Siden N(0) = 600, får vi N(0) = Ce 0 = 600, altså C = 00. Da har vi N(t) = e 0,t c) N(t) = 800 t = ln 0, e 0,t = e 0,t = 400 = 0 ln 7 e 0,t = 0,t = ln Altså tar det omtrent 7 år før bestanden er på 800 dyr. N N( N) = 06 N N( N) dn = 0 6 dt ln N N = 0,06t + C N N = e0,06t e C N N = Ce0,06t N = ( N) Ce 0,06t N( + Ce 0,06t ) = Ce 0,06t N = Ce0,06t + Ce 0,06t Vi har at N(0) = Derfor får vi Ce 0 + Ce 0 = C = C Da får vi 0 000C = C = d) Vi får da N 0,N = 70, som har løsningen N(t) = e0,06t + e 0,06t 5.80 N(t) = 00e 0,t Vi får at N(t) < 0 for t > 9,5, altså vil bestanden dø ut. (Dette er i grunnen opplagt, da vi skyter flere enn tilveksten.) a) N = kn( N) b) e 0,06t + e 0,06t = e 0,06t = e 0,06t e 0,06t = e 0,06t =,5 0,06t = ln,5 ln,5 t = 0,06 5,3 Altså teller bestanden seler etter omlag 5,3 år. N (0) = 0, k ( ) = 400 k = 400 Altså er k = 0 6. Da får vi 5.8 Vi tegner retningsdiagrammet med digitalt verktøy og får: 6

7 5.0 a) y = ky y k 0 y e kt ye kt = 0 (ye kt ) = 0 ye kt = 0 dt ye kt = C C = Cekt e kt Siden y(0) = C, får vi y() = C : y() = C 5.00 a) Endring = omdanning + tilførsel. Altså får vi y = 0,06y + 4. b) y = 0,06y + 4 y e 0,06t + y 0,06e 0,06t = 4 e 0,06t (y e 0,06t ) = 4e 0,06t ye 0,06t = 4e 0,06t dt ye 0,06t = 4 0,06 e0,06t + C Ce 0,06t Vi har at y(0) = 40, så y(0) = 400+C e 0 = 40 gir C = 360. Altså får vi: e 0,06t c) e 0,06t = 80 e 0,06t = 3 t = ln 3 0,06 8,3 Altså tar det omtrent 8,3 uker før det er 80 kg i kassa. Ce k = C e k = k = ln = ln ln k = ln b) Endring = nedbrytning + tilførsel. Altså får vi y = ky + 3. c) Vi skal løse likningen y k 3. Integrerende faktor blir da e R k dt = e kt. Vi ganger med den på begge sider: y k 3 y e kt + y( ke kt ) = 3e kt (ye kt ) = 3e kt ye kt = 3e kt dt ye kt = 3 k e kt + C 3e kt ke kt + C e kt 3 k + Cekt 3 ln + Ce ln t 6 ln + C ( e ln ) t 6 ln + C ( ) t 7

8 d) y(0) = y 0 gir 6 ln + C = y 0. Da får vi at C = (y 0 6 ln ). Da blir 6 ln + (y 0 6 ln )( ) t. e) t gjør at y 6 ln 8, a) Grafen viser v(t) = 4,9 + 45, e t : Grafen viser v(t) = 4,9 + 0, e t : b) Når t, vil e t 0. Dermed vil v 4,9 m/s. c) v(t) = 4,9 + (44,9 4,9)e t s(t) = v(t) = 4,9 + 40e t v(t) dt = 4,9t + 40 e t + C s(t) = 4,9t 0e t + C Siden s(0) = 0+C skal ha verdien null, blir C = 0. Altså får vi s(t) = 4,9t + 0 0e t = 4,9t + 0( e t ) d) 4,9t + 0( e t ) = 000 Vi løser likningen grafisk på digitalt verktøy og får at t = 00, altså tar det omlag 00 sekunder. e) v + v = 9,8 e t v e t + v e t = 9,8 e t (ve t ) = 9,8e t ve t = 9,8e t dt = 4,9e t + C v = 4,9et + C e t e t v(t) = 4,9 + Ce t Vi vet at v(0) = 4,9 + C e 0 = v 0, altså får vi at C = v 0 4,9. Da får vi v(t) = 4,9 + (v 0 4,9)e t 8