MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 3 apittel 8.2: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si vi har en differensialligning på formen dy = gy) 0.1) dx der g er en gitt funksjon. Hva kan man si om egenskapene til løsningene av 0.1) uten å løse differensialligningen? Det er klart at hvis g har et nullpunkt i ŷ, dvs. gŷ) = 0, så vil den konstante funksjonen yx) ŷ 0.2) være en løsning av 0.1) begge sider i 0.1) er alltid lik null). Vi sier da at funksjonen 0.2) er en likevektsløsning av 0.1). Det er også klart at grafen til en løsning av 0.1) vil stige hvis g er positiv og grafen vil synke hvis g er negativ. En viktig egenskap til likevektsløsningene er deres stabilitet. Dette avgjøres ikke av likevektsløsningen selv, men av løsninger med en graf som starter nær ŷ: Anta at vi er gitt en initialbetingelse yx 0 ) = y 0 der y 0 er et tall nær likevektspunktet ŷ. Vi sier at ŷ er en stabil likevektsløsning hvis løsningen til initialverdiproblemet vil fortsette å nærme seg ŷ. Vi sier at ŷ er en ustabilt likevektsløsning hvis løsningen fjerner seg fra ŷ. Følgende teorem gjør det enkelt å kategorisere et likevektsløsninger. Teorem 1. En likevektsløsning ŷ til differensialligningen 0.1) er stabilt hvis g ŷ) < 0. En likevektsløsning er ustabilt hvis g ŷ) > :5 Anta at en populasjon vekser i henhold til logistisk ligning med indre vesktrate r = 1.5. Anta at bæreevne til populasjon er = 100. a) Finn differensialligningen som beskriver veksthastighet til denne populasjonen. b) Finn likevektsløsningene til denne differensialligningen. Tegn og bruk grafen til å drøfte stabiliteten til likevektsløsningene. c) Beregn egenverdiene se def. i boken) til hver likevektsløsning og avgjør stabiliteten til likevektsløsningene. Sammenlign svarene ift punkt a.) 30. januar 2017 Side 1 av 10

2 Løsning: a) La N være antall befolkningen på tidspunkt t. I forhold til logisktisk ligning kan vi representere befolkningsvekst som: dn = rn 1 N ) = 1.5N 1 N ) ved å erstatte verdiene av r og 100 ) 100 N = 1.5N 100 = 0.015N100 N) b) Ved å sette gn) = dn = 0 = 0.015N100 N) = 0 får vi to likevektsløsningene som er: N = 0 og N = 100 Figur 1: Grafen av gn) har to nullpunkter Som vi ser av figur 1, har g nullpunkter i N = 0 og N = 100. Hvis N > 0 så er g positiv og N vil stige å gå bort fra 0. Altså, N = 0 er en ustabil likevektsløsning. Hvis N < 100 så er g positiv og N vil stige og vil gå mot N = 100; også når N > 100 så er g negativ og N vil synke og gå mot N = 100. Dermed er N = 100 en stabil likevektsløsning. c) Vi finner egenverdiene til likevektsløsningene: Vi har at gn) = 0.015N100 N) = 30. januar 2017 Side 2 av 10

3 N N 2 ), så g N) = N). Dette gir at og λ 1 = g N = 0) = )) = 1.5 > 0 λ 2 = g N = 100) = )) = ) = 1.5 < 0 som bekrefter at N = 100 er en stabil likevektsløsning og at N = 0 er en ustabil likevektsløsning. 8.2:7 Anta at en populasjon vekser i henhold til logistisk ligning med indre vesktrate r = 2. Anta at N0) = 10. a) Finn bæreevnen hvis populasjon vekser størst når populasjonsstørrelse er b) Hvis N0) = 10, hvor lenge vil det ta før populasjon når 1000? c) Finn lim t Nt). Løsning: a) La N være antall befolkningen på tidspunkt t. I forhold til logisktisk ligning kan vi representere befolkningsvekst som: gn) = dn = rn 1 N ) vi prøver å finne et punkt for g, hvor populasjon vekser mest ved bruk av derivativ av funksjon gn). Dermed g N) = d2 N 2 ) 1 = rn = r 1 2N + r1) ) 1 N ) = r N + 1 N ) Vi ser at g N) = d2 N 2 < 0 N > 2 og g N) = d2 N 2 > 0 N < 2 Dermed er dn 2 maksimalpunkt for gn) = og derfor d2 N = 0 når N = 2 2 Fermat s Teorem i 3. utgave av boka), og det gir oss at = 2N = 0. se side 207, 30. januar 2017 Side 3 av 10

4 b) Vi vet at løsning av logistisk ligning er: Nt) = ) 1 + N 0 1 e rt ved bruk av verdier r,, N = 1000 og N0) = N 0 = 10 får vi = ) e 2t = ) e 2t = e 2t = = 2 = 199e 2t = 2 1 = 1 = e 2t = 1 = 2t = ln = t = 1 2 ln c) lim Nt) = lim t t 1 + N 0 1 )e rt = = :10 Anta at en fisk populasjon vekser i henhold til logistisk ligning hvor en bestemt antall fisk er tatt ut ved hastighet proporsjonal populasjon størrelse. Hvis Nt) er populasjon størrelse på tidspunkt t, så dn = rn 1 N ) hn. Anta at r = 2 og = a) Finn likevektsløsningene til denne differensialligningen. Tegn og bruk grafen til å drøfte stabiliteten til likevektsløsningene når h = 0.1 og finn maksimalt innhøstingsrate. b) Vis at hvis h < r = 2, så er det en nontrivial likevektsløsning. c) Bruk egenverdier og grafen til hver likevektsløsning og avgjør stabiliteten til likevektsløsningene. Sammenlign svarene ift punkt b.) Løsning: a) For å finne like vektsløsning, vi lar gn) = dn = 0 = : 30. januar 2017 Side 4 av 10

5 gn) = dn = rn = rn 1 N ) hn = 0 1 N ) hn = 0 = rn N) hn = 0 = rn N h r ) = 0 = N = 0 eller N h = 0, i.e., N = 1 h ) r r ved å erstatte verdiene, r og h, vi får to likevektløsningene for vekst modell, N = 0 og N = ) = = 950. I grafen under kan vi se at N = 0 er ustabil likevektsløsning mens N = 950 er stabil. For å finne maksimalt innhøstingsrate h), ønsker vi at N skull være positivt når system er i stabil situasjon. Når vi går tilbake til likevesktløsningene, har vi en stabil likevesktsløsning, som er: N = 1 h ). r For å ha positivt populasjon størrelse må vi ha N = 1 h ) > 0 r når system er stabil på denne likevektsløsning. Dermed har vi en begresning på h at og maksimalt kan h være 2. Løsning: b) Vi prøver å finne egenverdier av gn). 1 h r > 0 = 1 > h r = h < r = januar 2017 Side 5 av 10

6 På N = 0, er g N) = r1) 1 N ) + rn 1) h = r rn rn h = r h 2rN g 0) = r h som skull være < 0 hvis system skull være stabil på punkt 0, dvs: r h < 0 = h > r men her r = 2 og h = 0.1, i.e., h < r som betyr at system er ustabil når N = 0 trivial løsning) og dermed har vi bare et nontrivial likevektsløsning når h < r, som er: N = 1 h ) r Løsning: c) Vi får samme resultater når vi sammenligne grafen i punkt a.) og egenverdier i punkt b.). 30. januar 2017 Side 6 av 10

7 30. januar 2017 Side 7 av 10

8 Løsningsforslag Øving 3 8.2:25 Anta at antall befolkningen på et tidspunkt t er N t), og anta at dn N = 0.3N N 17) 1 fort 0. a) Finn alle likevektsløsningene til denne differensialligningen. 30. januar 2017 Side 8 av 10

9 b) Beregn egenverdiene til hver likevektsløsning og avgjør stabiliteten til likevektsløsningene. c) Tegn og bruk grafen til hver likevektsløsning og avgjør stabiliteten til likevektsløsningene. Sammenlign svarene ift punkt b.) Løsning: a) Ved inspeksjon, kan vi se at dn har tre likevelstløsninger, nemlig, N = 0, N = 17 og N =. Løsning: b) Lar gn) = dn. For å finne egenverdier vi må derivere gn): = 0.3NN 17) 1 N ) [ = g N) = 0.3 2N 17) gn) = dn 1 N = 0.3 [ 2N 17) N) N 2 17N) Vi finner egenverdier ift alle likevekstløsninger: = 0.3N 2 17N) 1 N ) + N 2 17N) ) ) 1 g 0) = 0.3 [ 0 17) 0) 0) = ) < 0 = N=0 er en stabil likevektsløsning. g 17) = 0.3 [ 217) 17) 17) 17) )) = 0.3 [ 17)183) 0) = )183) > 0 = N=17 er en ustabil likevektsløsning. g ) = 0.3 [ 2) 17) ) ) 2 17)) = 0.3 [ 400)0) ) = ) < 0 = N= er en stabil likevektsløsning. Løsning: c) I grafen under får vi bekreftet våre resultater både fra punkt a.) og b.) 30. januar 2017 Side 9 av 10

10 8.1:33 Finn løsningen av differensialligning: dy dx = 1 + y)3. Løsning: dy dx = 1 + y)3 = dy 1 + y) 3 = dx dy = 1 + y) 3 = dx = y) 2 = x + C = 1 + y) 2 = 2x + C) = 1 + y = 2x + C)) 1/2 = y = 1 ± 2x + C)) 1/ januar 2017 Side 10 av 10