TMA4105 Matematikk2 Vår 2008

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TMA4105 Matematikk2 Vår 2008"

Transkript

1 TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2 < t < π/2. Vi skal finne enhetstangenten T, prinsipalnormalen N og krumningen κ langs denne kurven. Siden d 1 (ln(cos t)) cos t ( sin t) tan t, er hastighetsvektoren langs kurven gitt ved v(t) r (t) i (tan t)j. Farten, v(t) 1 + tan 2 t 1 + sin 2 t/ cos 2 t 1/ cos t cos 2 t + sin 2 t 1/ cos t. Dermed er enhetstangenten i punktet r(t), T(t) 1 v(t) cos ti sin tj v(t) Deriverer vi enhetstangenten med hensyn på tiden, får vi sin ti cos tj. Denne har lengde 1. Følgelig er kurvaturen, Prinsiplanormalen N finner vi ved κ(t) (t) cos t. v(t) 1 N(t) (t) (t) sin ti cos tj Her lar vi f være en to ganger kontinuerlig deriverbar reell funksjon. Vi parametriserer kurven y f(x) ved r(x) xi + f(x)j. a) Her skal vi finne en formel for kurvaturen til r. Vi begynner med å regne på en 13. februar 2008 Side 1 av 6

2 del hjelpestørrelser: v(x) i + f (x)j v(x) 1 + (f (x)) 2 T(x) (f (x)) i + f (x) (f (x) j 2 dx f (x)f (x) [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 i + f (x) [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 dx (f (x)) 2 (f (x)) 2 + (f (x)) 2 [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 f (x) 1 + (f [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 (x)) 2 Dermed er kurvaturen κ(x) dx v(x) (f (x)) [1 + (f (x)) 2 ] 3/2. b) Nå skal vi bruke denne formelen på f(x) ln(cos x)). Vi får f (x) tan x, f (x) cos 2 x og følgelig κ(x) cos 2 x (1 + tan 2 x) 3/2 cos 2 x cos 3 x(cos 2 x + sin 2 x) 3/2 cos x. Dette stemmer med oppgave [11.4.1]. c) Siden f er to ganger derivervar er x er et infleksjonspunkt for f hvis og bare hvis f (x ) 0 og f (x ) 0. Dermed ser vi at er vi at hvis x er et infleksjonspunkt, så er kurvaturen κ(x f (x ) ) (1 + (f (x )) 2 ) 3/ Vi ser her på romkurven parametrisert ved r(t) (cos t + t sin t)i + (sin t t cos t)j + 3k. Oppdraget er å finne enhetstangenten T(t), prinsipalnormalen N(t) og kurvaturen κ(t). Vi deriverer r(t), og får v(t) r (t) (t cos t)i + (t sin t)j. Hastigheten v(t) t. Dermed blir enhetstangenten T(t) (cos t)i + (sin t)j. så kurvaturen ( sin t)i + (cos t)j, κ(t) (t) 1 v(t) t 13. februar 2008 Side 2 av 6

3 og prinsipalnormalen N(t) (t) ( sin t)i + (cos t)j. (t) Vi ser her på ellipsen parametrisert ved x(t) a cos t, y(t) b sin t, der a > b > 0. Den store aksen faller her sammen med x-aksen, mens den lille aksen faller sammen med y-aksen siden a > b. Vi skal altså se at kurvaturen er maksimal i skjæringen med x-aksen og minimal i skjæringen med y-aksen. Denne kurven har hastighetsvektor v(t) ( a sin t, b cos t) og akselerasjonsvektor a(t) ( a cos t, b sin t). Helt generelt har vi d v d 1 v v 2 v a (v a + a v) v v v, så når vi deriverer enthetstangentvektoren, får vi d (v/ v ) v a v a v v(t) v 2 Kvadratet av kurvaturen, (v v)a (v a)v v 3. κ 2 2 (v v)a (v a)v 2 v 2 v 8 (v v) 2 (a a) 2(v a) 2 (v v) + (v a) 2 (v v) 2 v 8 (v v)(a a) (v a) 2 2 v 6. Her kan vi sette inn for v og a. Da får vi (a κ(t) 2 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t)(a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t) ((a 2 b 2 ) sin t cos t) 2 2 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3 a 2 b 2 sin 4 t + a 2 b 2 cos 4 t + (2a 2 b 2 ) sin 2 t cos 2 t 2 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3 a 2 b 2 (sin 2 t + cos 2 t) 2 2 a 4 b 4 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3. Dermed ser vi at kurvaturen κ(t) a 2 b 2 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2 Kurvaturen er altså maksimal når (a 2 sin 2 t+b 2 cos 2 t) er minimal, d.v.s når sin t 0, d.v.s i punktene der ellipsen vår skjærer x-aksen, altså på den store aksen. Tilsvarende er kurvaturen minimal når (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) er maksimal, d.v.s når cos t 0, d.v.s i punktene der ellipsen skjærer y-aksen, altså på den lille aksen. 13. februar 2008 Side 3 av 6

4 Figur 1: Kurven r(t) 2 ln(t)i (t 1/t)j med heltrukken strek. Smygsirkelen i punktet r(1) med stiplet strek Vi skal se på kurven parametrisert ved r(t) (2 ln t)i (t + (1/t))j for e 2 t e 2. Målet er å finne smygsirkelen (den oskulerende sirkelen) ved parameterverdi t 1. Hastighetsvektoren og farten Enhetstangenten, og følgelig er v(t) (2/t)i ((t 2 1)/t 2 )j, v(t) (t 2 + 1)/t 2. T(t) 2t t i t2 1 t j, (t) 1 (t 2 + 1) 2 ( (2 2t 2 )i (4t)j ) Vi skal også se på prinsipalnormalen N / (t) og kurvaturen κ(t) (t) / v(t), men vi behøver bare å se på verdiene i t 1: (1) j og (1) 1 N(1) j v(1) 2 κ(1) (1) 1 v(1) 2 Dermed får vi kurvaturradius 1 κ 2 og kurvatursentrum (0, 2) + 1 N 2j + 2( j) 4j (0, 4). κ Dermed har smygsirkelen ved t 1 sentrum i (0, 4) og radius 2, og er følgelig bestemt av ligningen x 2 + (y + 4) 2 4. Se forøvrig figur februar 2008 Side 4 av 6

5 Vi ser her på kurven parametrisert ved r(t) (t cos t)i + (t sin t)j + t 2 k. Denne har hastighetsvektor og fart Den deriverte av farten, v(t) (cos t t sin t)i + (sin t + t cos t)j + 2tk v(t) 1 + 5t 2. d v(t) 5t 1 + 5t 2. Dermed er (følgende av diskusjonen i boka ) komponenten av akselerasjonsvektoren langs enhetstangenten ved t 0, a T d v (0) 0. Akselserasjonsvektoren a(t) ( 2 sin t t cos t)i + (2 cos t t sin t)j + 2k har ved t 0 lengde a(0) 2 2 cos Følgelig er komponenten av akselerasjonen langs prinsipalnormalen a N a 2 a 2 T Dermed kan vi skrive akselerasjonsvektoren ved t 0 på formen a(0) 2 2N(0) Vi skal atter en gang studere romkurven parametrisert ved r(t) (cos t + t sin t)i + (sin t t cos t)j + 3k. Fra oppgave [ ] vet vi at enhetstangenten T(t) (cos t)i + (sin t)j, at prinsipalnormalen N ( sin t)i + (cos t)j og at kurvaturen κ(t) 1 t. Dermed får vi binormal i j k B T N cos t sin t 0 sin t cos t 0 k Siden binormalen er konstant er torsjonen τ(t) Vi skal verifisere formelen κ v a v 3. Først gjør vi noen generelle observasjoner. Kryssproduktet kan nemlig uttrykkes ved hjelp av skalarproduktet. For to villkårlige vektorer v, a som spenner ut en vinkel θ har vi v a 2 v 2 a 2 sin 2 θ v 2 a 2 (1 cos 2 θ) v 2 a 2 (v a) 2. (1) 13. februar 2008 Side 5 av 6

6 Dette er den første ingrediensen i beviset. Den andre ingrediensen er en formel for endringen av farten for en kurve r(t) med hastighetsvektor v(t) og akselerasjon a(t). Den deriverte av farten, d v d 1 v v 2 (v a + a v) v v v a (2) v. Vi kan regne ut ved å sette inn T v/ v, og vi får ved (2) d v v v a d ( v )v v 2 (v v)a (v a)v v 3. Vi beregner kvadratet av lengden av denne vektoren, og får ved (1) 2 (v v)2 (a a) 2(v v)(v a)(v a) + (v a) 2 (v v) v 6 v 2 a 2 (v a) 2 v a 2 v 4 v 4. Følgelig er kurvaturen κ v a v v Vi ser på den parametriserte linjen r(t) (x 0 +At)i+(y 0 +Bt)j+(z 0 +Ct)j. Denne har hastighetsvektor v(t) Ai + Bj + Ck. Enhetstangenten T(t) er Ai+Bj+Ck A 2 +B 2 +B 2 konstant, så kurvaturen κ(t) 0. I denne situasjonen er ikke prinsipalnormalen N og binormalen B veldefinert. Dermed er heller ikke torsjonen definert. Oppgaven er altså ikke vel stilt Vi bruker her Newtons derivasjonsnotasjon, og skriver ġ istedenfor d g når vi deriverer funksjonen g. u r, u θ er definert som i kap 11.6 i boka. Her ser vi på en kurve i polarkoordinater. Det eneste vi vet er at r a sin(2θ) og θ 2t. Hastighetsvektoren, v d r(t)u r ṙu r + r u r ṙu r + r θu θ Nå er ṙ r (θ) θ 4at cos(2θ), så hastighetesvektoren blir v 4at cos(2θ)u r + 2at sin(2θ)u θ. På tilsvarende måte finner vi akselerasjonen a v ( r r θ 2 )u r + (r θ + 2ṙ θ)u θ. r r (θ) θ + r (θ) θ 2, så vi får ved å sette inn r (θ) 4a sin(2θ) a (4a cos(2θ) 20at 2 sin(2θ))u r + (2a sin(2θ) + 16at 2 cos(2θ))u θ 13. februar 2008 Side 6 av 6

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).

Detaljer

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k.

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 3 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28. NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Løsningsforslag Øving 9 hapter 13.7 La z. Logaritmen til z, ln z, er definert som tallene ln z ln

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene

Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene Det er ikke meningen at enne teksten skal stå for seg selv. Den er ment som en hjelp mens u leser 11.6 og eler av kapittel 8 i læreboka. Hvis u

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

x t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x

x t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,

Detaljer

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon

Kjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Innledning Kjeglesnittene sirkler, ellipser, parabler og hyperbler er klassiske kurver som har vært studert siden antikken. Kjeglesnittene

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006 Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA654-04.06.007 eksamensoppgaver.org September 0, 008 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

Plan. I dag. Neste uke

Plan. I dag. Neste uke Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt

Detaljer

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering

Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):

Detaljer

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013 I. FUNKSJONER TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK(TMA4215) Lørdag 20. desember 2003 Tid: 09:00 14:00, Sensur:

EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK(TMA4215) Lørdag 20. desember 2003 Tid: 09:00 14:00, Sensur: Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (9264) EKSAMEN I NUMERISK MATEMATIKK(TMA425) Lørdag 2. desember

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene

Detaljer

Tillegg om flateintegraler

Tillegg om flateintegraler Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin

Detaljer

Figur 1: Et punkt r(t) beveger seg langs en kurve

Figur 1: Et punkt r(t) beveger seg langs en kurve Innhold 3 Kurver og flater 3 3.1 Parametriserte kurver...................... 3 3.2 Kjerneregelen for parametriserte kurver............ 16 3.3 Linjeintegraler for skalarfelt................... 20 3.4 Linjeintegraler

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

differensiallikninger-oppsummering

differensiallikninger-oppsummering Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.

Detaljer

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 3 apittel 8.2: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

TMA4120 Matte 4k Høst 2012

TMA4120 Matte 4k Høst 2012 TMA Matte k Høst Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Løsningsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave :..a Skal vise at u(x, t = v(x + ct

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer