MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at % av hunnene av alder og 7% av alder overlever til slutten av neste paringstid. Anta videre at hunner av alder får i snitt. avkom (hunner), og at hunner av alder får i snitt.7 avkom (hunkjønn). Dersom, ved tid t =, populasjonen består av hunner av alder, 8 hunner av alder og hunner av alder, finn Lesliematrisen og aldersfordelingen ved tid t =. Løsning: Antagelsene om overlevelsesrater betyr at følgende er oppfyllt: N (t + ) =. N (t) N (t + ) =.7 N (t) Videre er N (t + ) =. N (t) +.7 N (t). Det betyr at Lesliematrisen ser slik ut: Aldersfordelingen ved t = kan skrives..7 L =..7 N() = 8 og vi finner aldersfordelingen ved t = ved N() = L(LN()), som gir N() = LN() =. 8 =. = Vi fortsetter: N() = LN() =. 4 =. 9 = februar Side av 8

2 9..75 Gitt Lesliematrisen L = Bestem antall aldersgrupper i populasjonen. Hvor stor andel av toåringer overlever til slutten av neste paringstid? Bestem det gjennomsnittlige antall avkom (hunner) til en to år gammel hunn. Løsning: Populasjonen er delt inn i 4 aldersgrupper. Vi ser fra matrisen at N (t + ) =.6 N (t), altså overlever 6% av toåringer til slutten av neste paringstid. Det fremgår fra matrisen at en to år gammel hunn får i gjennomsnitt avkom Gitt matrisen [ Finn egenverdiene λ og λ og tilhørende egenvektorer v og v. Bestem ligningene for linjene gjennom origo i retningene til egenvektorene, og tegn linjene sammen med egenvektorene v og v og Av og Av i samme koordinatsystem. Løsning: Dette er en -matrise der produktet av elementene utenfor diagonalen er, slik at vi umiddelbart kan konkludere at egenverdiene blir λ = og λ = (se eksempel 8, side 478). For å finne tilhørende egenvektorer, må vi løse ligningssystemet (A λi)x = for hver egenverdi λ. For λ = får vi et ligningssystem med utvidet koeffisientmatrise [ som reduseres til ligningen x + =. Det følger at x kan velges fritt, og vi setter x, og at =. Alle løsninger av systemet (altså, egenvektorer tilhørende egenverdien λ = ) kan dermed skrives Det betyr at f.eks [ x = v = [ t er en egenvektor tilhørende λ =. Denne vektoren ligger på linjen med ligning =. Den andre egenverdien, λ =, gir systemet [ [ [ 5. februar Side av 8

3 som betyr at x + =, og vi setter som gir x = t. Alle løsninger (egenvektorer) kan dermed skrives [ [ x så vi kan velge v = [ Alle disse vektorene ligger langs linjen med ligning = x. Se fasit for tegning. Vi kan merke oss at for den første egenverdien, λ =, peker Av og v i samme retning, mens for den andre egenverdien λ = peker Av og v i motsatt retning Samme som oppgave for matrisen [ Løsning: Vi har det(a λi) = λ λ = ( λ)( λ) og ( λ)( λ) = λ 5λ + 4 og det følger at det(a λi) = λ = 5 ± 5 6 = 5 ± altså er egenverdiene λ = 4 og λ =. For å finne tilhørende egenvektorer, løser vi systemet (A λi)x = for hver egenverdi λ. For λ = 4, får vi et system med utvidet koeffisientmatrise [ [ som gir ligningen x =. Vi setter, og da blir x, og vi har [ [ x og vi kan velge v = Alle egenvektorer tilhørende egenverdien λ = 4 ligger på linjen med ligning = x. For λ =, får vi systemet [ [ altså x + = som med gir x = t. Altså kan alle egenvektorer skrives [ [ x [ 5. februar Side av 8

4 så vi kan velge v = [ Egenvektorene tilhørende egenverdien λ = ligger langs linjen = x. Se fasit i boka for tegning. Siden begge egenverdiene er positive, vil Av i og v i for i =, peke i samme retning (siden λ =, blir Av = v ) Finn egenverdiene λ og λ for matrisen [ Løsning: Dette er en matrise der produktet av elementene utenfor diagonalen er, slik at egenverdiene simpelthen blir elementene på diagonalen, nemlig λ = og λ = (se eksempel 8, side 478) Finn egenverdiene λ og λ for matrisen [ a c b Løsning: Igjen blir produktet av elementene utenfor diagonalen c =, så egenverdiene blir elementene på diagonalen, nemlig λ = a og λ = b (se eksempel 8, side 478) La [ 4 Avgjør om realdelen til begge egenverdiene er negativ, uten å eksplisitt beregne dem. Løsning: Vi har tr + ( ) = og det ( ) ( ) 4 = =. Siden det A > og tr A < følger det at begge egenverdiene har negativ realdel (fra teoremet på side 48). 5. februar Side 4 av 8

5 9..65 Samme som 9..6 for matrisen [ Løsning: Her er tr 4 + ( ) = og det 4 ( ) ( 4) 4 = 4. Siden tr A >, har ikke begge egenverdiene negativ realdel. Vi kan faktisk konkludere at begge egenverdiene må ha positiv realdel - det λ λ > som gir at de må ha samme fortegn, og siden tr λ + λ > må begge realdelene være positive La a) Vis at u = [ [ og u = [ er egenvektorer for A og at u og u er lineært uavhengige. Løsning: Legg merke til at det ikke er nødvendig å finne egenverdiene til A og regne ut tilhørende egenvektorer her - alt vi trenger å gjøre er å sjekke at Au = λ u og Au = λ u for passende tall λ og λ (som vil være egenverdier for A). Vi finner at [ [ [ [ Au = = = ( ) = ( )u så u er en egenvektor for A med tilhørende egenverdi λ =. Videre er [ [ [ [ Au = = = = u 6 så u er en egenvektor for A med tilhørende egenverdi λ =. Siden λ = λ, vet vi at de tilhørende egenverdiene er lineært uavhengige (se det innrammede resultatet nederst på side 48). Vi kan også se dette relativt lett ved regning; dersom u og u er lineært avhengige (altså ikke lineært uavhengige), så finnes c og c (ikke begge ), slik at c u + c u =, altså [ [ [ c + c = Dette er ekvivalent med systemet [ Det at u og u er lineært uavhengige, er ekvivalent med at ligningssystemet over bare har den trivielle løsningen [ [ c = c 5. februar Side 5 av 8

6 noe som er ekvivalent med at matrisen B = [ er ikke-singulær, som igjen er ekvivalent med at det B =. Her ser vi at det B = =, slik at vektorene u og u er lineært uavhengige. b) Representer vektoren [ x = som en lineærkombinasjon av u og u. Løsning: Vi må altså finne tall a og a slik at [ [ [ a + a = Det er relativt lett å se mer eller mindre umiddelbart at a = og a =, men vi kan også gjøre dette mer systematisk; ligningen over er ekvivalent med systemet [ Dette er allerede på trappeform, og vi finner at a =, altså a = og a + a =, altså a =. c) Bruk resultatene dine fra over til å beregne A x. Løsning: Vi har A x = A (u u ) = ( ) [ [ + ( ) = [ La Finn [ A 5 [ uten å bruke kalkulator. Løsning: Metoden er stort sett den samme som over, bortsett fra at vi ikke får oppgitt svarene underveis. Vi må først finne egenverdiene til A og tilhørende egenvektorer. Egenverdiene kan leses rett ut av matrisen (siden produktet av elementene utenfor diagonalen er ), og blir λ = og λ =. Vi finner en egenvektor tilhørende λ = ved å løse systemet [ 5. februar Side 6 av 8

7 altså x + =, slik at alle egenvektorer (med egenverdi λ = ) er på formen [ [ x og vi velger v = For egenverdien λ =, får vi systemet [ [ [ som gir x + =, altså og x =, og vi kan velge [ v = Vi ser at [ = ( ) Dermed blir A 5 [ [ + [ [ [ = A 5 ( + ) [ [ = A 5 + A 5 [ [ = ( ) [ [ [ = + = Anta at L = [ 4. er Lesliematrisen for en populasjon med to aldersgrupper. a) Bestem begge egenverdier. Løsning: Vi finner at det(l λi) = λ 4. λ = λ λ. så det(l λi) = λ = ± 4. så egenverdiene blir λ = og..48. = ±. 5. februar Side 7 av 8

8 b) Gi en biologisk tolkning av den største egenverdien. Løsning: Den største egenverdien svarer til vekstraten til populasjonen (i det lange løp). c) Finn den stabile aldersfordelingen. Løsning: Vi må først finne en egenvektor tilhørende den største egenverdien; med λ = +., blir [. 4 L λ I =.. Systemet (L λ I)x = blir [ [. 4 4/(.). (.)/ Det viser seg faktisk at 4. = (.) Dette er ikke veldig vanskelig å vise; merk at 4. (.) = hvis og bare hvis 4 (.)(.) = Sistnevnte ligning er kun førtstnevnte ganget med., og (.)(.) = = +. =., og. = = 4 Det betyr at systemet er ekvivalent med [ [ 4/(.) 4/( 4/(.).) Det betyr at (fri variabel) og 4 x =. t 8.77t Vi kan velge t =, så egenvektoren blir (omtrent) [ [ x 8.77 Det betyr at andelen av individer i aldersgruppe blir og andelen individer i aldersgruppe blir Altså vil (i det lange løp) 89.% av individene i populasjonen befinne seg i aldersgruppe, mens de resterende.8% befinner seg i aldersgruppe. 5. februar Side 8 av 8