TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x er gitt som P 6 x f + f x + f! Vi finner først de deriverte til f, x + + f 6 x 6. 6! fx sin x, f, f x sin x cos x sin x, f, f x cos x, f, f x sin x, f, f x 8 cos x, f 8, f 5 x 6 sin x, f 5, f 6 x cos x, f 6. Vi har nå at Fra Taylors teorem vet vi at P 6 x! x 8! x + 6! x6 x x + 5 x6. Vi bruker dette til å evaluere grensen, sin x x + x lim x x 6 fx P 6 x + Ox 7. x lim x + 5 x6 + Ox 7 x + x x x 6 5 lim x6 + Ox 7 x x 6 lim x 5 + Ox 5. Challenging problem, side a Vi vet at cosa + b cos a cos b sin a sin b, cosa b cos a cos b + sin a sin b,. november Side av 7

2 Løsningsforslag Øving slik at cos j + t cos j t cosjt cos t sinjt sin t cosjt cos t + sinjt sin t sinjt sin t. Dermed har vi at sinjt cos j t cos j + t sin t. Vi må kreve at sin t, det vil si at t ikke er et heltall. Hvis vi så summerer over j,,..., n på begge sider får vi at { } cos j t cos j + t sinjt sin j j t n { } j cos j t cos j + t sin t. La oss se litt nærmere på summen i telleren ved å skrive ut noen av leddene, j { } cos j t cos j + t cos t cos t + cos t cos 5 t + cos 5 t cos 7 t cos n t cos n + t cos t cos n + t. Vi ser at alle leddene utenom det første og det siste kanselleres mot hverandre. Slike summer kaller vi gjerne teleskopsummer se side 9 9 i boka. Vi har altså vist at sinjt cos t cos n + t sin t. j b La fx sin x og del intervallet [, ] opp i n like store intervaller, [x i, x i ], der x i i n for i,,..., n. Størrelsen på hvert intervall er da x n. Vi har nå en partisjon, P {x, x,..., x n }, av intervallet [, ]. Hvis vi videre lar c x, x,..., x n, kan vi sette opp en Riemann-sum, Rf, P, c fc j x j sini n n. j Vi vet at sin x lim Rf, P, c. november Side av 7

3 Løsningsforslag Øving se side i boka. Vi setter så uttrykket vi fant i a med t n inn i uttrykket for Riemann-summen, Rf, P, c sin i n n cos cos n + n sin n. j Legg merke til at t, det vil si ikke et heltall. Videre kan vi vise ved hjelp av addisjonsregelen for cosinus at cos n + n cos cos sin sin sin. Vi står da igjen med Rf, P, c cos + sin n sin cos n sin +. n Når vi nå skal evaluere Rf, P, c i grensen n, bruker vi Taylor-polynomene til cos y og sin y om y, Med y får vi at cos y y + Oy, sin y y + Oy. lim Rf, P, c lim lim lim cos n sin + n cos n sin + O n + O lim + O n + O n. Vi har brukt at O a n O p n for alle konstanter a se Big-O Notation side p 77 i boka. Vi konkluderer oppgaven med å ha vist at n sin x lim Rf, P, c Vi tegner først opp området, R, i xy-planet som skal roteres om henholdsvis x- og y-aksen.. november Side av 7

4 Løsningsforslag Øving y, R x Vi lar så fx x og gx x. Disse skjærer hverandre i x, y,. a Vi roterer R om x-aksen. Volumet av rotasjonslegemet Solids of Revolution, side 9 i boka er da gitt som V fx gx } {{ } } {{ } V V fx gx. Her tilsvarer V og V henholdsvis volumet som fremkommer ved å rotere området under y fx og y gx om x-aksen. Vi evaluerer så integralet, V x x x 5 x b Vi roter R om y-aksen. Nå bruker vi sylinderskallmetoden Cylindrical Shells, side 96 i boka. Høyden til sylinderskallene blir her fx gx, slik at V x fx gx x x x x x x x Tverrsnittet av legemet er en likesidet trekant med sider x. Arealet av en likesidet trekant med sider s er s, slik at tverrsnittarealet til legemet er gitt som Ax x. Siden legemets utstrekning er fra x til x, blir volumet V Ax x x november Side av 7

5 Løsningsforslag Øving 7.. Lengden s til en kurve y fx fra x a til x b er gitt som se side 5 i boka b dy s +. Kurven vår er gitt som y x, så vi deriverer derfor implisitt, Legg merke til at dy y dy x dy x, y a dy 9x 9x y x 9 x. er definert for alle x, y >. Vi har nå at s + 9 x 9 x 5 9x 5. Vi lar så u 9x 5 slik at du 9 eller 9 du. Integrasjonsgrensene blir u 9 5 og u 9 5. s u du 8 8 u 8, Vi lar det lengste beinet ligge langs x-aksen og det korteste langs y-aksen. Tettheten til plata er da gitt som σx 5x. Det siste beinet i trekanten er gitt ved kurven y x. Vi ser på et arealelement som vist på figuren under. y y x x Arealelementet har areal x og masse dm σx x x x x x.. november Side 5 av 7

6 Løsningsforslag Øving Vi finner den totale massen m ved å integrere over hele området, det vil si fra x til x, m x x x 9 x 9 5. Momentet om x til arealelementet er gitt som arm ganger masse, altså Vi integrerer og får at M x dm x x dm x x. x x x x 5. Siden tettheten kun er avhengig av x, er tettheten konstant i arealelementet. Det betyr at y-koordinaten til sentroiden av arealelementet er midtpunktet, altså ȳ dm x. Momentet om y til arealelementet er derfor gitt som Vi integrerer og får at dm y ȳ dm dm x x x M y x x x + 9 x x x 9 x. x x 9 x x 9 x 6 x Vi finner til slutt massesenteret ved å dele på massen, x M x m, ȳ M y m. Intuitivt ser dette riktig ut siden tettheten øker med x, slik at vi kan forvente at massesenteret ligger lenger ned til høyre enn sentroiden Vi lar den ene sidekanten til trekanten sammenfalle med x-aksen som vist på figuren under. Volumet vi er ute etter fremkommer ved å rotere trekanten om y- aksen. y s, s s x. november Side 6 av 7

7 Løsningsforslag Øving Vi ønsker å bruke Pappus teorem side i boka, og trenger da sentroiden x, ȳ til trekanten. Vi husker at høyden til trekanten er s. På grunn av symmetri, er x s, mens y-koordinaten til sentroiden får vi ved å midle y-koordinatene til hjørnene se side i boka, ȳ + + s 6 s. Vi ser at avstanden, r, fra sentroiden til rotasjonslinja y er lik ȳ. Videre er arealet til trekanten, A Volumet til rotasjonslegemet er nå s s s. V ra 6 s s s. Videre er lengden, l, til kurven som roteres lik s. Overflatearealet til rotasjonslegemet er derfor S rl 6 s s s.. november Side 7 av 7