TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

Transkript

1 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z) 0 Skåle har bu i z 0 og tverrsittareal A(z). Volumet med va i skåla fier vi ved å itegrere tverrsittarealet fra 0 til z, V (z) z 0 A(y) dy. Det er oppgitt i oppgave at vaet fordamper med rate proporsjoal med overflatearealet. Side vaet har overflateareal A(z), betyr dette at volumet derivert med hesy på tide t er lik e kostat k gaget med overflatearealet, dv dt ka(z). Vi setter i for V (z) og bruker kjereregele for derivasjo samme med aalyses fudametalteorem. Vestreside ka da skrives som dv dt dv ( dz d z ) dz dz dt A(y) dy dz dt A(z)dz dt. Vi setter dette lik høyreside, ka(z), og ser da at 0 dz dt k. Dette vil si at vahøyde syker med kostat rate. Legg merke til at vi gjorde dee utregige for et vilkårlig valgt tverrsittareal. Resultatet er derfor uavhegig av forme på skåle. Review Exercises 8, side 455 Vi teger e figur av diske: 3. ovember 04 Side av 6

2 Løsigsforslag Øvig 3 y 3 3 x Vi er ute etter å fie masseseteret, ( x, ȳ), til de største sirkulære diske i figure med de grå dele fjeret. Tetthete til skive er kostat lik σ. På gru av symmetri ser vi at ȳ 0. Vi forveter at x < 0 side dele vi fjerer ligger i området x > 0. La oss kalle hele de største sirkulære diske for A, de miste sirkulære diske (de vi fjerer) for B, og diske med hull for C. Side vi har kostat tetthet, σ, vet vi at masse og masseseteret til A og B er gitt som m A σπ 3 9σπ, ( x A, ȳ A ) (0, 0), m B σπ σπ, ( x B, ȳ B ) (, 0). Videre vet vi at mometet til et legeme beståede av flere deler er summe av mometet til hver del. I vårt tilfelle vil det si at mometet om x 0 til A er lik summe av mometet om x 0 til B og C, M x0,a M x0,b + M x0,c. Vi vet også at mometet om x 0 til et legeme er produktet av arme, det vil avstade fra masseseteret til x 0, og masse. Fra ligige over ka vi å fie et uttrykk for M x0,c, M x0,c M x0,a M x0,b x A m A x B m B 0 σπ σπ. Masse til C er gitt som Det betyr at m C m A m B 8σπ. x M x0,c m C σπ 8σπ 8. Masseseteret til diske med hull (C) er altså ( x, ȳ) ( /8, 0). Dette virker som er rimelig resultat. 3. ovember 04 Side av 6

3 Løsigsforslag Øvig 3 Kommetar: I dee oppgave er det også mulig å rege ut masseseteret ved hjelp av itegrasjo. På gru av symmetrie i oppgave er det eklere å bruke e mer gruleggede forståelse av masseseter slik vi har gjort her Vi er gitt rekke Legg merke til at a, cos(π) a 00 cos(π). + 3 {, for like,, for odde. Vi har altså e altererede rekke. Derfor prøver vi med de altererede rekke teste (The alteratig series test, side 5 i boka). Vi har at 00 cos(( + )π) a + ( + ) , 00 cos(π) a Altså er a + a for alle. Det vil si at leddee er sykede i størrelse (absolutt verdi). I grese har vi at lim a 00 cos(π) lim Alle betigelsee for de altererede rekke teste er derfor oppfylt, og vi kokluderer med at rekke kovergerer. Vi udersøker så om rekke er absolutt koverget ved å se på rekke a Vi bruker gresesammeligigsteste (A limit compariso test, side 55 i boka) og sammeliger med de divergete rekke b, der b. Både a og b er positive for alle, og dessute er a lim lim b lim Det følger at rekke a divergerer. Rekke a er derfor betiget koverget Vi er gitt rekke a, a ( ) 3!. 3. ovember 04 Side 3 av 6

4 Løsigsforslag Øvig 3 Teorem 5, side 53 i boka, gir e øvre grese på absoluttverdie av feile, s s a +. For å kue bruke dee må betigelsee i de altererede rekke teste være oppfylt, slik at rekke faktisk kovergerer. Vi ser at a er altererede side faktore ( ) altererer mellom og, mes faktore 3! er positiv for alle. Videre er a + 3+ ( + )! 3 3 ( + )! 3 + a. Det vil si at a + a for. Til slutt ka vi vise at lim a 3 lim ( )! 0. Vi har her brukt at! vokser raskere e x for alle reele tall x (se Teorem 3 side 50 i boka). Vi øsker å å fie de miste verdie av slik at s s 0,00. Fra ulikhete over er dette oppfylt år a + 0, ( + )! 0,00. Ved å sette i for stigede verdier av, ser vi at dette er oppfylt år. Vi må altså ta med miimum 3 ledd (husk å telle med 0) for å approksimere summe s med e feil midre e 0, Vi starter med å skrive om rekka, (4x ) 4 ( x 4 ) a ( x 4), der a 4. Vi gjekjeer dette som e potesrekke med kovergessetrum i x 4. For å fie kovergesradiuse, R, ser vi på grese a + L lim a lim lim 4 ( + ) (+) lim 4 lim 4 lim ( + )( + ) ( lim ) ( + Dette betyr at R (se side 59 i boka) og at rekke kovergerer for alle x. Dette ble også demostrert i oppgave 9.3. i forrige øvig. ) 3. ovember 04 Side 4 av 6

5 Løsigsforslag Øvig Vi er gitt rekka La oss istedefor studere potesrekka ( + )x +. x + x. Observer at ved å sette x er dee lik rekka gitt i oppgave. De adre summe i rekka er e geometrisk rekke, og vi vet at x, år x <. x La oss å følge fremgagsmåte i eksemplee 4 og 6 i boka. Vi deriverer uttrykket over med hesy på x, d dx d dx x d dx x ( + x + x + x ) ( x) + x + 3x +... x ( x) ( x). Vær oppmerksom på at dee ligige også gjelder for x <. Legg så merke til at det første leddet i de første summe i potesrekka vår er ull, slik at vi har at x x x x x ( x). I de siste likhete har vi brukt uttrykket vi fat ved derivasjo ovefor. Vi har altså vist at ( + )x Spesielt, for x, har vi vist at + x ( x) +, år x <. x ( ) cos t og skriver om det opp Vi bruker de trigoometriske idetitete cos t gitte uttrykket, ( cos x ) + cos x. 3. ovember 04 Side 5 av 6

6 Løsigsforslag Øvig 3 Vi bruker så Maclauri-rekka til cos x, ( ) cos x ()! x x! + x4 4! x6 6! Ved å sette dee i i uttrykket over får vi at + cos x x! + x4 4! x6 6! ( ) ()! x. Side Maclauri-rekka til cos x er gyldig for alle x, er også dee det Vi skal evaluere grese lim (e x x) x l( + x ) Observer at dette er et uttrykk er på ubestemt form [0/0]. Vi starter med å skrive om tellere ved å bruke Maclauri-rekka til e x, e x x! + x + x + x Dee gjelder for alle x, og tellere ka å uttrykkes som ( ) x (e x x) + x x4 4 + O(x5 ). I de siste likhete har vi brukt at det eeste leddet med polyomgrad midre e 5 som fremkommer ved å kvadrere uttrykket i paratese er x4 4. Alle adre ledd igår i leddet O(x 5 ). For å forekle evere, fier vi først Maclauri-rekka til l( + x ). Vi vet at l( + y) Ved å la y x får vi at l( + x ) ( ) y, for < y. ( ) x x x4 + x6 3 x Dee gjelder for < x eller ekvivalet for x. Nevere ka å skrives som x l( + x ) x4 x6 3 + x x4 + O(x6 ). Vi er å klare for å evaluere grese, lim (e x x) x l( + x ) lim x O(x5 ) x 4 + O(x6 ) lim + O(x) + O(x ). 3. ovember 04 Side 6 av 6