Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Transkript

1 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid verke aritmetiske eller geometriske, me de følger likevel et møster. I dette kapittelet skal vi se hvorda vi ka fie formler for tallfølger ved hjelp av differesligiger, også kalt rekursjosligiger eller rekursjosrelasjoer. (eg. recurrece relatio) Differesligige er e rekursiv defiisjo av e tallfølge. De er rekursiv fordi a forekommer på begge sider av likhetsteget, me med lavere ideks(er) på de ee side. E differesligig har e tallfølge som løsig. Løsige gir oss e formel for å bestemme det te leddet i tallfølge ute å kjee de foregåede leddee i følge. Eksempel Fiboaccitallee er defiert ved hjelp av differesligige: a = a -1 + a -,, der a 0 = 0, a 1 = 1 Vi ka fie ledd a ved å bruke de to foregåede leddee a -1 og a -, me hvis vi ikke kjeer dem, må vi starte med de to første og øste oss fremover til a. Hvis idekse er stor ka dette bli tugvit. Ved å løse de tilhørede differesligige, vil vi kue fie e formel som gir oss a ute å kjee de to foregåede leddee i følge. Det viser seg at formele for å bestemme det te leddet er a = 1 5 (1 + 5 ) (1 ) 1

2 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Før vi viser hvorda vi kom frem til dee formele, skal vi se litt ærmere på dee tallfølge: a 0 = 0, a 1 = 1 kalles ligiges startbetigelser. Når de er gitt ka vi rege ut så mage ledd vi vil: a 0 = 0 a 1 = 1 a = a 1 + a 0 = = 1 a 3 = a + a 1 = = a 4 = a 3 + a = + 1 = 3 a 5 = a 4 + a 3 = 3 + = 5 a 6 = a 5 + a 4 = = 8 a 7 = a 6 + a 5 = = 13 osv. Fiboacci-tallee: 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55,. Geerelt ka e lieær differesligiger av k te orde beskrives slik: a = c 1 a -1 + c a - + c 3 a c k a -k der a -1, a -, a -3,., a -k er de foregåede leddee i tallfølge og c 1, c, c 3,., c k er reelle tall (koeffisieter) der c k 0. Side differesligige som beskriver Fiboacci-tallee baserer seg på de to foregåede tallee i følge må de være av. orde der c 1 = 1 og c = 1. I vårt pesum vil k maksimalt være lik, oe som gir oss to typer differesligiger, dvs. differesligiger av 1. og. orde.

3 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk ordes differesligig. a = c a -1 + d, der c og d er kostater. Vi ser her at este ledd i tallfølge daes på grulag av det foregåede leddet. Haois tår, der H = H er det miste atall trekk som tregs for å flytte brikker, er et eksempel på e differesligig av 1. orde. De skal vi løse seere. Se for øvrig: ordes differesligig. a = c 1 a -1 + c a -, der c 1 og c er kostater. Vi ser her at este ledd i følge daes på grulag av de to foregåede leddee. Dermed vil e slik følge kreve to startebetigelser. Differesligige for Fiboaccitallee er et eksempel på e differesligig av. orde. Vi skal løse de seere. Løsig av differesligiger Vi skal å lære hvorda vi ka fie e formel for å bestemme det te elemetet i e tallfølge av. grad. Tips: Prøv å merk deg i fremgagsmåte skritt for skritt, på samme måte som du gjør år du skal følge e bruksavisig. Løsig av. ordes differesligig. Gitt differesligige a = c 1 a -1 + c a -, der c 0 Ved å bruke c 1 og c i ligige over ka ma lage e. gradsligig: r = c 1 r + c (ka også skrives som r - c 1 r - c = 0) 3

4 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Dette polyomet kalles for differesligiges karakteristiske polyom. (Side vi her har e. ordes differesligig blir polyomet e. gradsligig.) Eksempel 1 a = 5a -1-6a - r = 5r r - 5r + 6 = 0 Eksempel a = a a - r = r + 3 r - r - 3 = 0 Differesialligiges karakteristiske polyom skal hjelpe oss å fie løsige av ligige. Dee løsige vil som sagt være e formel for å bestemme det te elemetet i de tallfølge som differesligige beskriver. Vi må først fie løsigee (også kalt røttee) til.gradsligige. NB! Husk formele for. gradsligiger: ar + br + c = 0 r = b ± b 4ac a Vi får de to løsigee: r 1 = b+ b 4ac a Eksempel. Gitt differesligige r = b b 4ac a a = - a a - med startbetigelsee a 0 = 1, a 1 = 3. Differesligiges karakteristisk polyom blir: r = - r + 6 som er det samme som 4

5 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 r + r - 6 = 0 Løser. gradsligige og får røttee r 1 og r : r = 1± 1 4( 6) = 1± 5 = 1± 5 r 1 = 1+ 5 = r = 1 5 = 3 Ata at det karakteristiske polyomet r = c 1 r + c har to forskjellige reelle løsiger (røtter) r 1 og r. Da vil differesligige ha følgede løsig: a = αr 1 + βr der α og β er vilkårlige kostater. Vi kjeer a 0 og a 1, me treger et ligigssett med to ligiger for å fie α og β. Ved å velge = 0 og = 1 i a = αr 1 + βr får vi: = 0: a 0 = αr βr 0 = α + β = 1: a 1 = αr βr 1 = αr 1 + βr Dermed har vi det ligigssettet vi treger for å fie α og β: Eksempel. Vi forsetter med a = - a a - α + β = a 0 αr 1 + βr = a 1 Der startbetigelsee er a 0 = 1 og at a 1 = 3. Vi fat røttee r 1 = og r = - 3 og setter dem i i a = αr 1 + βr for å fie de geerelle løsige: a = α + β( 3) 5

6 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Vi fier α og β ved å løse ligigssettet: I. α + β = 1 Husk at a0 = 1 II. α + β( 3) = 3 Husk at a1 = 3, r1 = og r = - 3 Utregig: I. 3α + 3β = 3 Kommetar: Gager med 3 på begge sider II. α 3β = 3 5α = 6 α = Kommetar: Summerer hhv. vestresidee og høyresidee i 1. ligig. + β = 1 5 Kommetar: Setter α = 6 5 β = 1 5 Når vi setter α = 6, β = 1, r = og r = 3 i i a = αr 1 + βr får vi formele for det te leddet i tallfølge: a = ( 3) Sjekker a og ser at vi får samme svar med formele og differesligige: Formele: a = ( 3) = = 15 5 = 3 Differesligige: a = a 1 + 6a 0 = = 3 Sjekker a 3 og ser at vi får samme svar med formele og differesligige: Formele: a 3 = ( 3)3 = = 75 5 = 15 Differesligige: a 3 = a + 6a 1 = = = 15 6

7 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Eksempel Fiboaccitallee. a = a 1 + a, a 0 = 0, a 1 = 1 (Startbetigelsee) Differesligige har det karakteristisk polyomet: r = r + 1 dvs. r r 1 = 0 Løser. gradsligige og får røttee:: r = 1± 1+4 = 1± 5 r 1 = 1+ 5 r = 1 5 Vi setter så disse røttee i i de geerelle løsige a = αr 1 + βr og får a = α ( ) + β ( 1 5 ) Vi vet at a 0 = 0, a 1 = 1. Dermed ka vi fier α og β ved å løse ligigssettet: I. α + β = a 0 = 0 II. α ( ) + β ( 1 5 ) = a 1 = 1 Dette gir α = 1 5 og β = 1 5 Løsige og formele for det te leddet i tallfølge blir da: a = 1 5 (1 + 5 ) (1 ) 7

8 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Sjekker a og ser at vi får samme svare med formele og differesligige: Formele: a = 1 5 (1+ 5 ) 1 5 (1 5) = 1 5 ( ) = 1 5 ( Differesligige: a = a 1 + a 0 = = 1 ) = 1 5 (4 5 4 ) = 1 Ata at det karakteristiske polyomet r = c 1 r + c har ku e reell løsig r 0 (dvs. r 1 = r ). Hvis røttee er sammefallede, dvs. r 1 = r, har det karakteriske polyomet bare e rot. De geerelle løsige av differesligige a = c 1 a 1 + c a, c 0 vil da være Ved å velge = 0 og = 1 = 0: a = αr 0 + βr 0 a 0 = αr β 0 r 0 0 = α i ligige over får vi: = 1: a 1 = αr β 1 r 0 1 = αr 0 + βr 0 Dermed har vi det ligigssettet vi treger for å fie α og β: Hvis vi kjeer a 0 og a 1 ka vi fie α og β ved å løse følgede ligigssett med to ukjete: α = a 0 αr 0 + βr 0 = a 1 8

9 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Eksempel: Gitt differesligige a = 4a 1 4a, der a 0 = 1 og a 1 = 4. Vi får følgede karakteristisk polyom: r = 4r 4 Må løse r 4r + 4 = 0 r = 4 ± = 4 = Dermed er det bare e løsig (rot) og r 0 = De geerelle løsige blir a = α + β Vi vet at a 0 = 1 og a 1 = 4 og får ligigssettet: α = 1 α + β = 4 α = 1 gir + β = 4 som videre gir β = 1 Løsige og formele for det te leddet i tallfølge blir: a = + = ( + 1) Sjekker a og a 3 og ser at vi får samme svar med formele og differesligige: Formele: a = ( + 1) = 4 3 = 1 Differesligige: a = 4 a 1 4 a 0 = = 1 Formele: a 3 = 3 (3 + 1) = 8 4 = 3 Differesligige: a 3 = 4 a 4 a 1 = = 3 9

10 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Vi har å e formel for å fie et hvilket som helst ledd i følge, f.eks. a 10 : a 10 = 10 (10 + 1) = = 1164 Løsig av 1. ordes differesligig. a = c a -1 + d, der c og d er kostater. De geerelle løsige for tilfellet c 1 er Hvis vi kjeer a 0, fier vi α slik: Eksempel a = αc + d 1 c α = a 0 d 1 c Haois tår, se: H = H H = α = α 1 Vi vet at H = 0, hvilket gir oss α: α = = ( 1) = 1 Løsige og formele for det te leddet i tallfølge blir: H = α 1 = 1 10

11 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Vi ser at dette stemmer: H = H gir oss følgede tall i følge: H 0 = 0 = 0-1 H 1 = H = = 1 = 1-1 H = H = 1+ 1 = 3 = - 1 H 3 = H + 1 = = 7 = 3-1 H 4 = H = = 15 = 4-1 H 5 = H = = 31 = 5-1 H 6 = H = = 63 = 6-1 H 7 = H = = 17 = 7-1 : H = H = - 1 Vi får tallfølge: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 17,., - 1 I dette tilfellet kue vi faktisk ha fuet formele 1 ved re regig: H = H = ( H - + 1) + 1 = H = ( H ) = 3 H = 3 ( H ) = 4 H : = -1 H = = + 1 Rekursive metoder i Java: I Java ka ma lage rekursive metoder. Dette er metoder som ieholder kall på samme metode som de kallet står i. Nedefor ser du e rekursiv metode som fier a der a er et ledd i tallfølge Fiboaccitallee: 11

12 Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Nedefor ser du e rekursiv metode som bereger det miste atall flytt som kreves for å løse problemet i Haoi tår, se: 1