Øvinger uke 46 løsninger

Transkript

1 Øviger uke 6 løsiger Oppgave Verdie av determiate er avgjørede for atall løsiger. ed e parameter i oppgave løer det seg å bestemme determiate først og fie ut for hvilke parameterverdier determiate er ull. - a - a - a - a a - - La A Utvikler determiate etter første rad side det står et ullelemet der: - a - a a - a + det a ai a - + a - 6 a - a - a I a - a - a Ha - L det A -a det det A Þ a a. Likigssettet har øyaktig e løsig år a ¹ eller a ¹ ed a blir totalmatrise HA bl Siste rad forteller oss at likigssettet ikke har løsig for a ed a blir totalmatrise - - HA bl Siste rad viser at vi har fri variabel z og dermed uedeligm mage løsiger. y+ z z - zt zt Kotrollert i athematica : t y- - t - -

2 Regeøviger fasit uke 6.b F - - RowReduceB - - Setter vi s t får vi parametriserige u y - - u z u På vektorform: y z - + u - Oppgave Gitt matrise A Likigssystemet A. Λ er ekvivalet med det homogee likigssystemet HA - Λ IL.. Systemet har uedelig mage løsiger år determiate til koeffisietmatrise er ull Det Λ Λ Þ Λ Λ -. H. - ΛL H. - ΛL -. Λ -.9 Λ -. HΛ - L HΛ +.L Bestemmer tilhørede egevektorer Λ : (A - I ) Þ y Þ t y 6 t v 6 Diagoalmatrise D har egeverdiee på diagoale: D -. Λ -.: (A -. I ) Þ + y Þ t y - t v - atrise P har egevektoree på søylee: P 6 - Da vi har to lieært uavhegige egevektorer ka matrise a diagoaliseres:

3 Þ t y - t v Regeøviger fasit uke 6.b - atrise P har egevektoree på søylee: P 6 - Diagoalmatrise D har egeverdiee på diagoale: D -. Da vi har to lieært uavhegige egevektorer ka matrise a diagoaliseres: A P.D. P - Kotrollert i athermatica : K O.K O.IverseBK OF d) k+ A.k A. A. A. A. A. k A.k- Ak. Da A er diagoaliserbar har vi Ak P.Dk.P - Dette gir oss k + 6.k -.k 6-6.k 6 +.k - -. J- N k L k 6-6.k Når k. vil.k. Þ a lim k k Legg merke til at matrise A har søylevektorer som summerer seg opp til. Slike vektorer kalles sasylighetsvektorer og matrise A kalles e stokastisk matrise. Alle stokastiske matriser har egeverdier Λi med største egeverdi Λ. Resultatet fra er derfor ikke overraskede. E tallfølge {k < gitt ved k+ A. k der A er e stokastisk matrise kalles e arkov kjede. Disse har betydig for studier av dyamiske systemer (økologi. populasjosutviklig migrasjo sosial adferd et. Oppgave a+ + a+ - a a a - Dette er e homoge lieær differeslikig av. orde. Vi setter a r. r er løsig av de karakteristiske likig

4 Regeøviger fasit uke 6.b a+ + a+ - a a a - Dette er e homoge lieær differeslikig av. orde. Vi setter a r. r er løsig av de karakteristiske likig r + r - Hr + L Hr - L Dette gir oss r - og r. De geerelle løsig er derfor gitt ved: a c H-L + c c H-L + c Startverdiee gir oss likigssettet c + c - c + c - a c c c Dette gir oss de spesielle løsige Kotrollert i athematica : c H-L + RSolve@a@ + D + a@ + D - a@d a@d a@d - < a@d D ::ahl IH-L + + >> a+ + a+ - a + a a - Dette er e ihomoge lieær differeslikig av. orde. De tilhørede homogee likige gjekjees fra pukt og de geerelle løsige er derfor gitt ved: ahom c H-L + c c H-L + c Vi prøver e partikulær løsig av de ihomogee differeslikige er apart A + B ( fordi høyre side er et polyom av grad og da må også de partikulære løsige være det). Isettig i likige gir: A(+) + B + ( A(+) + B) - (A + B) + Dette gir A + og fører derfor ikke fram side vi magler. gradsledd på v.s. Årsake er at vi har koflikt mellom kostate B og løsige c c og vi må multiplisere med e ekstra helt aalogt med hvorda du hådterte kofliktsituasjoer i løsig av ihomogee differesiallikiger). Vi setter derfor apart A + B. (Kostatleddet fages opp av homoge løsig og ka derfor utelates med e gag). Isettig i likige gir å: AH + L + BH + L + IAH + L + BH + L - IA + B + Þ A + A + B + B +A + A + B + B - B + Þ A + 6A + B + Þ A 6 A + B Þ A B 6 De geerelle løsige er derfor:

5 Isettig i likige gir å: AH + L + BH + L + IAH + L + BH + L - IA + B + Regeøviger fasit uke 6.b Þ A + A + B + B +A + A + B + B - B + Þ A + 6A + B + Þ A 6 A + B Þ A 6 B De geerelle løsige er derfor: a ahom + apart c H-L + c Iitialbetigelsee gir oss likigssettet: c + c - c + c c + c - c + c c c 7 6 c 6 6 c Dette gir oss de spesielle løsige a 6 H-L Kotrollert i athematica : I[]: Out[] H-L RSolve@a@ + D + a@ + D - a@d + a@d a@d - < a@d D Epad ::ahl H-L >> Oppgave er e koverget p- rekke mred p. Alle p-rekker med p > kovergerer etter itegraltest. e kovergerer etter forholdstest: a e Þ a+ a I + e + e I + e Þ lim a+ a e < Du ka også beytte itegraltest ved å gjeomføre delvis itegrasjo to gager. - divergerer da rekka er asymptotisk lik de harmoiske rekka som divergerer (itegraltest). a H-Lk k k Þ a+ a k k+ Þ lim I a+ a Rekka kovergerer etter forholdsteste år < dvs. år - < <. Rekka divergerer år - eller. Rekka er geometrisk : k La f HL k H-Lk k k H-Lk + k k k J - k N + fra pkt.. Leddvis derivasjo gir: f ' HL k H-Lk H kl k k- - I+ + år - < <.

6 6 a H-Lk k a+ a k Þ Regeøviger fasit uke 6.b k k+ I a+ a Þ lim Rekka kovergerer etter forholdsteste år < dvs. år - < <. Rekka divergerer år - eller. Rekka er geometrisk : k La f HL k H-Lk k k H-Lk k k J k + + år - < <. fra pkt.. + H-Lk H kl Leddvis derivasjo gir: f ' HL k ultiplikasjo med - k N gir: k k H-Lk k k- - k - k I+ I+ for - < < Oppgave - I- Ú H-L ultipliserer med : H-L aclaurirekka til f HL li + Ù + t +t + er + Fra formelarket: Oppgave 6 H-L + ât + Ù â t H-L t lh + L + + derfor Substituerer - : H-L + H-L- Þ li + + H-L H+L H-L- f H yl y - y - y y y - y y H - L - - y Α f y - 6y Β f y y - Γ f y f y - - y H - L y - - y ( y ): () ( y ¹ ): umulig ( ¹ y ): H - L Þ Þ H L ( ¹ y¹ ): y Þ Kritiske pukter: () () ( 7 y 7 ; ( 7 H-L-

7 y y H - L - y - - y Regeøviger fasit uke 6.b ( y ): () ( y ¹ ): umulig ( ¹ y ): H - L Þ Þ H L ( ¹ y¹ ): y Þ Kritiske pukter: () () ( 7 D(y) Α Β -Γ y - y y< D Α<. sol < : 7 > < D ( ) D() - D(. 7 teste gir ikke svar sadel 7 Α - 7 maksimum y 7 ; ( 7 7