Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Transkript

1 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e g e e 4 g e e g e ) h l h l h l h l b) Vi har gitt rekkee ) 4680 Bruk formele for S til å bestemme S 0 a a d a a a s s0 ) Bruk formler og bestem summe av rekke. a a d a a s s0 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side

2 ) 48 Bruk formele for S til å bestemme S 8 8 k s a s k 4) Bestem summe av de uedelige rekke. 4 8 a s S k c) Gitt fuksjoe f ( ) 4 6,, ) Løs likige f 0 f ) Bestem f f f, og teg fortegslije til de deriverte. f f 6 0 f 4 0 Jeg ka da sette opp fortegslije til f ) Bruk fortegslije i ) til å fie evetuelle topp- og bupukter på grafe til f. Fortegslije viser at grafe har et toppukt for 0 f Toppukt 0,0 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side

3 Fortegslije viser at grafe har et bupukt for f 4 6 Bupukt, 4) Teg e skisse av grafe til f. d) Overflate til et tetraeder består av fire likesidede trekater. De ulike sidee er markert med heholdsvis,, og 4 øye. Vi kaster to slike «teriger». La X være summe av atall øye på de to sidee som veder ed. ) Skriv av og fyll ut tabelle: I tabelle til høyre viser varettt gul lije mulige utfall på «terig», og loddrett gul koloe viser mulige utfall på «terig». De hvite feltee viser de 6 mulige utfall til X. Ut fra dee tabelle ka vi sette opp sasylighetsfordelige til X X P X Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side

4 ) Bestem forvetigsverdie EX 4 EX EX E X 5 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 4

5 e) E buss stoppet tre steder på e rute. På første holdeplass kom det på ti bar, fire vokse og tre pesjoister. Til samme betalte disse 5 kroer. På este stoppested kom det på åtte bar, tre vokse og to pesjoister. Disse betalte til samme 70 kroer. På siste holdeplass kom det på i bar, fire vokse og tre pesjoister. Disse betalte til samme 5 kroer. Sett opp og løs et likigssystem, og bestem billettprise for bar, vokse og pesjoister. Jeg lar billettprise for bar være kroer, for vokse y kroer og for pesjoister z kroer. Opplysigee i oppgave gir da likigssettet 0 4y z 5 8 y z y z 5 Jeg løser likigssettet og fier billettprisee. 8 y z 70 z 85 4 y 0 4y 85 4 y 5 0 y 4y60 6 y y 85 4 y 5 y 40 4 y 60 y y z Billettprise for bar er 0 kroer, for vokse 0 kroer og for pesjoister 5 kroer. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 5

6 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo. Oppgave (5 poeg) Tall som ka skrives på forme T 4, kalles for trekattall. a) Skriv opp de fem første trekattallee. T T T 6 T T Vi orgaiserer oddetallee i e talltrekat slik tabelle edefor viser. a a a S S b) Skriv av og fyll ut tabelle Bruk møsteret som framkommer, til å fie e formel for a. Av koloe fire ser vi at a c) Bruk møsteret til å forklare at vi ka skrive S S 9 S S S Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 6

7 Møsteret viser at for alle aturlige tall fra og med til og med 5 ka vi skrive Oppgave (8 poeg) Lie arver kroer og vil spare pegee til e y bil. I begyelse av et år setter hu dette beløpet på e koto med fast årlig rete på 4,5 %. I tillegg bestemmer hu seg for å sette 000 kroer i på kotoe i begyelse av hvert av de este åree. a) Hvor mye peger står det på kotoe etter år? Vi atar at «etter år» betyr like før det fjerde året begyer, altså før hu har satt i det tredje beløpet på 000. Summe av de to iskuddee på 000 kroer, år beløpee har stått i bake i heholdsvis to og ett år, utgjør e geometrisk rekke med a 000,045 og k,045. I tillegg har beløpet på kroer blitt forretet i tre år. Samlet iskudd etter tre år fier vi ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra Samlet iskudd etter tre år er 9 76 kroer. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 7

8 b) Hvor mage år må hu spare dersom det skal stå kroer på kotoe? Utrykket i a) viser samlet iskudd etter år. Når vi bytter ut med, så viser uttrykket samlet iskudd etter år. Når det samlede iskuddet skal være kroer , får vi e likig som ka løses ved CAS-verktøyet i GeoGebra Utregige viser at litt etter 6 år står det kroer på kotoe. c) For å få råd til «drømmebile» må hu likevel låe kroer til e rete på 6,0 % per år. Hu vil bruke 5 år på å betale ed lået. Det første avdraget betaler hu ett år etter låeopptaket. Hvor mye må hu betale hvert år? Vi kaller det årlige termibeløpet for. For å sammelike verdie av termibeløpee med verdie av låebeløpet, omreger vi alle termibeløpee til verdie de ville hatt da lået ble tatt opp. Samlet åverdi av termibeløpee utgjør e geometrisk rekke med fem ledd hvor a og,06 k. Summe av dee rekke skal være lik lået på kroer ,06 Vi får e likig som ka løses ved CAS-verktøyet i GeoGebra Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 8

9 Hu må betale kroer hvert år. d) Lie syes at det årlige beløpet blir altfor høyt. Hu vil betale halvparte så mye hvert år. Hvor lag tid tar det før lået da er edbetalt, dersom rete fortsatt er 6,0 % per år? Vi erstatter med halvparte av og lar atall år være ukjet i likige ovefor. Vi får e likig som ka løses ved CAS-verktøyet i GeoGebra Det tar litt over år før lået da er edbetalt. Oppgave 4 (8 poeg) E fuksjo f er gitt ved 000,90,5 f 0 e ,0 a) Vis ved regig at f ka skrives på forme f e 0, ,90,5 0 e 0 e e 0 50e 5,0e,9 0,5 0,5 0,5 f Fuksjosverdiee til f er atall idivider som har, eller har hatt, e sykdom dager etter at sykdomme ble registrert første gag. b) Bestem hvor mage som hadde sykdomme da de ble registrert første gag, ifølge dee modelle. Jeg defierer fuksjoe f i GeoGebra og reger ut f 0 Det var ca. 7 idivider som hadde sykdomme første gag de ble registrert. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 9

10 c) Teg grafe til f. Hvor mage idivider vil få sykdomme i det lage løp? 00 5,0 e 0,5 f Når blir veldig stor, vil evere i fuksjosuttrykket for går mot 00. Det betyr at 00 idivider vil få sykdomme i det lage løp. Dette går også fram av grafe. f gå mot og dermed vil d) Bestem hvor mage som fikk sykdomme de sjette dage etter at sykdomme ble registrert første gag. f Atall som fikk sykdomme de sjette dage er forskjelle mellom hvor mage som har eller har hatt sykdomme de sjette dage og hvor mage som har eller har hatt sykdomme de femte dage. Grafe i GeoGebra viser at det var persoer. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 0

11 Oppgave 5 (7 poeg) PISA er e iterasjoal udersøkelse som blir gjeomført hvert tredje år blat skoleelever i e rekke lad. Ved udersøkelse i 009 var det med elever fra Norge. I aturfag scoret de orske elevee gjeomsittlig 500 poeg. Det var øyaktig likt det iterasjoale gjeomsittet. Stadardavviket for orske elever var 90 poeg. Vi trekker tilfeldig ut e elev blat de orske deltakere. I oppgavee a) og b) ka du rege med at poegsumme til eleve er ormalfordelt med forvetigsverdi 500 poeg og stadardavvik lik 90 poeg. a) Bestem sasylighete for at eleve scoret mist 650 poeg. Jeg bruker sasylighetskalkulatore i GeoGebra. Jeg velger ormalfordelig, setter forvetigsverdie til 500 og stadardavviket til 90. Jeg velger høyresidig sasylighet med 650 poeg som edre grese. Sasylighete for at eleve scoret mist 650 poeg er 4,78 %. b) Bestem sasylighete for at eleve scoret mellom 475 og 55 poeg. Jeg velger å itervall og setter i edre og øvre grese poegitervallet. Sasylighete for at eleve scoret mellom 475 og 55 poeg er 6, %. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side

12 I virkelighete kjeer vi ikke forvetet poegsum for orske elever. Vi vet bare at gjeomsittet var 500 poeg for de elevee som var med i udersøkelse. c) Er det grulag for å si at orske elever var bedre e elever fra lad som scoret 495 poeg? Velg selv sigifikasivå. Nullhypotese, H 0 : Norske elever er like gode som elever fra lad som scoret 495 poeg Alterativ hypotese, H: Norske elever er bedre e elever fra adre lad som scoret 495 poeg. Jeg velger et sigifikasivå på 0, %. Vi skal være rimelig sikre før vi kokluderer med at vi er bedre. Vi atar altså at poegsumme til elevee er ormalfordelt med forvetigsverdi lik 495 poeg og med stadardavvik på 90 poeg. Da er gjeomsittspoegsumme til e stikkprøve med elever ormalfordelt med forvetigsverdi lik 495 poeg og med stadardavvik på 90, 4700 poeg. Normalfordeligsfuksjoe gir P - verdie P Gjeomsittspoegsumme 500 0,000 0,0%. Det betyr at det bare er 0,0 % sasylig at poegsumme 500 ble oppådd ret tilfeldig. P - verdie på 0,0 % er midre e sigifikasivået på 0, % og gir dermed grulag for å forkaste ullhypotese. Det er altså gru til å si at orske elever er bedre e elever fra lad som scoret 495 poeg. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side

13 Oppgave 6 (8 poeg) E bil kjører km i løpet av t timer, der er gitt ved 0,4 t t 80t 0e 0 a) Hvor lagt kjører bile i løpet av de første halvtime? Jeg defierer fuksjoe t i et digitalt verktøy og reger ut 0.5. Bile kjører 5 km de første halvtime. b) Bruk digitalt verktøy, og bestem hvor lag tid bile bruker på de første 500 km. Dette viser at bile bruker 6 timer og 6 miutter på de første 500 km. Det samlede besiforbruket b etter å ha kjørt km er gitt ved der 0,5 0,07 b e b er målt i liter. c) Bestem b. Forklar hvilke derivasjosregler du har brukt. Hva er de praktiske betydige av tallet b 0? Jeg defierer fuksjoe b i GeoGebra og reger ut b. Jeg kom fram til samme uttrykk ved å rege for håd. Da brukte jeg produktregele og kjereregele i lije to edefor. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side

14 0,5 0,07 0,5 0,5 b e b 0,07 e 0,07 e 0,5 Produktregele og Kjereregele b 0,07 0,07e 0,05 e b ,5 0,5 0,5 0,5 e e 00e 0,5 0, ,5 00e 00 e 0,5 e e b Jeg bruker GeoGebra og reger b 0 e b 0 forteller tilærmet hvor mye besi som brukes de este kilometere. 0,07 liter per kilometer tilsvarer 0,7 liter per mil. Besiforbruket etter 0 km er 0,7 liter per mil. Det ka vises at besiforbruket f målt i liter per time etter t timer er f t b t d) Bestem besiforbruket per miutt år bile har kjørt i e halv time. Utregiger med digitalt verktøy viser at besiforbruket etter e halv time er L L 4,9 0,08 t miutt Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 4