2. Bestem nullpunktene til g.

Transkript

1 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamlig (bakerst i oppgavesettet). Kotroller at du har fått alle arkee. Les oppgavetekstee øye. Bruk ege ark på hver oppgave. Begru alle svar. Alle delspørsmål teller like mye. Oppgave a) Fuksjoe g er gitt ved 9 g ( ) = ( 3). Bestem ullpuktee til g. 5 5 b) Bestem største mulige defiisjosmegde og de tilhørede verdimegde for fuksjoe g gitt i pukt a). c) Forklar hvorfor fuksjoe g i pukt a) ikke har oe vedepukter. d) Vis at fuksjosuttrykket for alle aegradsfuksjoer med bupukt i (3,) ka skrives a - 6a + 9a + hvor a > 0. e) Fuksjoe h har delt forskrift: h ( ) = 8 l( ) år år < Nedefor er det vist et utsitt av grafe til h: Avgjør om h er deriverbar i =.

2 Oppgave Nedefor ser du parabele til f () = 6 og e rettviklet trekat med to hjører på -akse og det siste hjøret på parabele: a) La A() betege arealet til trekate for hvert valg av [0,3]. Fi et uttrykk for A(). b) Fi de som gir de største verdie for A() på itervallet [0,3]. Oppgave 3 a) Nedefor ser du parablee til uttrykkee og 4. De to parablee avgreser et område slik som skraverige på figure viser: Bereg arealet av det skraverte området.

3 b) På figure edefor er grafe til e fuksjo g() teget i: Bruk grafe til å fie de bestemte itegralee g ( ) d og g ( ) d. c) Atallet bakterier i e (bakterie)kultur vokser med hastighete N (t) = 0t der t er atall timer etter forsøkets begyelse. Hvis vi vet at det er 500 bakterier i kulture år t = 0, hvor mage er det etter 3 timer? Oppgave 4 E tak ieholder 00 liter væske. Vi vil tømme take med e pedaldrevet vakuumpumpe. For hvert tråkk på pedale pumpes det ut % av de gjeværede væske. a) Fi et uttrykk for hvor mye som er pumpet ut etter tråkk på pedale. b) Vil vi klare å tømme take fullstedig? 3

4 Oppgave 5 Vi skal studere fuksjoe y f (, y) = e e, hvor defiisjosområdet er gitt ved og y. Grafe til dee fuksjoe ser slik ut: Aksee vist på figure viser positive retiger for de tre variablee a) f har et stasjoært pukt i defiisjosområdet. Fi dette puktet ved regig. Er puktet også et sadelpukt? b) Vi ser av grafe at f har sitt maksimum på rade av defiisjosområdet (av symmetrigruer har de maksimum på to steder). Fi dee maksimumsverdie. c) Vis at grafe til f skjærer y-plaet lags kurvee y = og y = (dette er altså ivåkurvee bestemt av f (,y) = 0) d) Ligige 3 y + = y defierer e kurve plaet. Kurve består to separate deler, som vist på figure uder: 4

5 Bruk implisitt derivasjo til å fie ligige for tagete til dee kurve i puktet (,). Oppgave 6 a) Vi studerer e populasjo ekle orgaismer. La y(t) være atallet orgaismer etter t døg. Vi skal gå ut ifra at y (t)/y(t) = 0,05. i) Løs differesialligige år vi atar at y(0) = 000 ii) Fi ut for hvilke t vi har y (t) = 0. Gi e praktisk tolkig av hva det betyr. b) I e ae populasjo av orgaismer er atallet etter t døg gitt ved 800 = e ( t) t. Hvor stor var populasjoe ved tidspukt t = 0. Hvorda går det med dee populasjoe på lag sikt? 5

6 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig Formelsamlig for Matematikk, Modul Geerelt FORMEL FOR LØSNINGENE TIL ANNENGRADSLIGNINGEN: Ligige a b c + + = 0 har løsiger gitt ved b ± b 4ac =. a KONTINUERLIG FUNKSJON: f er kotiuerlig i c dersom lim f ( ) = f ( c) c INVERS FUNKSJON: g er ivers til f dersom g( f ( )) =. De iverse skrives ofte f ( ). Rekker GEOMETRISK REKKE: dersom < <, og da er + k 3 = L + =. Rekke er koverget k = 0 + k 3 = L = lim =. k = 0 ( a + a ) ARITMETISK REKKE: a + a + a3 + + a = ( a + a) ( a a + a) (Alterativ form: a + a + a3 + L + a = ) a Derivasjo L, hvor = a a + a a PRODUKTREGELEN: Hvis f ( ) = g( ) h( ), så er f ( ) = g ( ) h( ) + g( ) h ( ) KJERNEREGELEN: Hvis f ( ) = g( u( )), så er f ( ) = g ( u) u ( ) KVOTIENTREGELEN: Hvis u( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) =, så er f ( ) = v( ) v( ) r POTENSREGELEN: Hvis f ( ) = a, så er r ( ) =, hvor a R f r, r er rasjoal. 6

7 DERIVASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER: Hvis f ( ) = a, så er f ( ) = a l a hvor a > 0. (spesialtilfelle: ( e ) = e, side l e = ). DERIVASJON AV LOGARITMER: Hvis f ( ) = l, så er f ( ) = /, hvor 0. DERIVASJON AV TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER: (si ) = cos og (cos ) = si. f PARTIELT DERIVERTE: For e fuksjo f (, y ) skriver vi eller f (, ) y for de partielt deriverte med hesy på. Tilsvarede for derivasjo med hesy på y. Aederivertteste Hvis f ( c) = 0 og f ( c) < 0, så er ( c, f ( c )) et lokalt maksimumspukt, og f ( c ) e lokal maksimumsverdi. Hvis f ( c) = 0 og f ( c) > 0, så er ( c, f ( c )) et lokalt miimumspukt, og f ( c ) e lokal miimumsverdi. Vedepukt Dersom ( a, b ) er et pukt på grafe til e fuksjo f, kalles ( a, b ) et vedepukt dersom f ( a) = 0. Ofte agis bare a for å markere et vedepukt (sier ma at fuksjoe har vedepukt for = a er det uderforstått at ( a, f ( a )) er vedepuktet). L Hôpitals regel L HÔPITALS REGEL FOR 0/0 : f ( ) f ( ) Forutsatt at g ( 0) 0, har vi at lim = lim. Regele ka brukes til å bestemme 0 g( ) 0 g ( ) f ( ) 0 grese i tilfeller hvor vi får lim = " ". 0 g ( ) 0 L HÔPITALS REGEL FOR / : Dersom lim f ( ) = lim g( ) =, da er 0 0 eksisterer, eller er ±. f ( ) f ( ) lim = lim, forutsatt at g( ) g ( ) 0 0 f ( ) lim 0 g ( ) Regeregler for logaritmer l a = l a l a e = a l( ab) = l a + l b l( a / b) = l a l b 7

8 Itegrasjo DELVIS INTEGRASJON: uv = u v d + uv d INTEGRASJON VED SUBSTITUSJON Med du = g ( ) d, ka vi skrive f ( u) du = f ( g( )) g ( ) d Ved beregig av bestemte itegraler: b a g ( b) f ( g( )) g ( ) d = f ( u) du g ( a) DELBRØKSOPPSPALTNING A E rasjoal fuksjo skrives som e sum av fuksjoer på forme hvor A og a er + a kostater. Vi får A/( + a) d = A l + a + C. Et eksempel viser prisippet. Vi vil skrive som e sum av brøker med førstegradspolyomer i evere. Vi har at = ( )( + ), og skriver A A = + +, hvor A og A er kostater. For å bestemme A gager vi med på begge sider, og ser på: A = A + ( ) + + Når = er det siste leddet på høyreside 0, og A er lik vestreside, som da er ½. Kostate A bestemmes på tilsvarede måte. SPESIELLE INTEGRALER + d = l + C + d = + C e d = e + C l d = l + C Fuksjoer i flere variable TANGENTPLAN Dersom f (, y ) er e partielt deriverbar fuksjo, er tagetplaet for grafe til f i puktet ( a, b ) gitt ved z = f ( a, b)( a) + f ( a, b)( y b) + f ( a, b). y STASJONÆRT PUNKT Dersom f (, ) 0 0 y0 = og f y ( 0, y0) = 0, kalles ( 0, y 0) et stasjoært pukt. 8

9 Formel for Taylor-polyomet til f av grad om puktet a ( ) f ( a) f ( a) f ( a) P, a ( ) = f ( a) + ( a) + ( a) + L + ( a)!!! Det er ofte yttig å bruke at ( ) f ( a) f ( a) f ( a) P, a ( a + ) = f ( a) L +!!! og at vi ka uttrykke fuksjosverdier for f ved: ( + ) f ( a + θ ) f ( a + ) = P, a( a + ) + ( + )! +, hvor ( + ) f ( a + θ ) + ( + )! er restleddet Løsiger av differesialligiger Ligiger på forme y = ay, har løsig y = ke Ligiger på forme y = ay + b, a 0, har løsig y kostat. at b a at = ce der c er e vilkårlig Ligiger på forme y = ay + by + c, 0 B A y = A + ( B A) + ke at der k er e vilkårlig kostat. I tillegg kommer de kostate løsige y = A. Noe gager er det mer aturlig å skrive e slik ligig på forme dy a( y A)( y B) dt =, hvor 0 9