Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning

Transkript

1 Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger på flate fordi ( ) 8 ( ) b) Vis at dette er e kuleflate med setrum i S, 3, 4 og radius lik 3. Likige ka skrives som: x 4x y 6y z 8z 0 0 x 4x 4 y 6y 9 z 8z ( x ) ( y 3) ( z 4) 3 Dette viser at likige beskriver e kuleflate med setrum i S, 3, 4 og radius lik 3. c) Fi likige for tagetplaet til kula i puktet P. 3,53, ( 4),,. Da ka likige for Tagetplaet i P har ormalvektor tagetplaet skrives som x y z d 0 Side P ligger i tagetplaet er 35 ( ) d 0d 9 Likige for tagetplaet i P blir da: x y z 9 0

2 Oppgave (0 poeg) Vi har gitt de tre puktee A 8, 0, 0, B 0, 4, 0 og C 0, 0, a) Fi koordiatee til AB AC. 0 8,4 0,0 0 8,4,0 0 8,0 0, 0 8,0, AC 8,6,3 8,,4 AB AC AB b) Vis at plaet gjeom puktee A, B og C har likige: x y 4z 8 0 Plaet gjeom puktee A, B og C har ormalvektor,,4. Likige for plaet ka da skrives som: x y 4z d 0 Side puktet A ligger i plaet er 8080d 0d 8 Likige for plaet blir da x y 4z 8 0 c) Vis at avstade fra origo til plaet er 8. Avstade fra origo til plaet q q d) E rett lije l er gitt ved e vektorfuksjo r der r t 3 t, 4 t, 4t Fi skjærigspuktet mellom lija l og plaet. Lija skjærer plaet år 5 3t (4 t) 4( 4 t) 8 0 t Skjærigspuktet mellom lija og plaet ,4, 4,, e) Fi vikele mellom lija l og plaet. Lija l har retigsvektor ormalt på plaet,,4. Plaet har ormalvektor,,4. Det betyr at lija l står

3 Oppgave 3 (4 poeg) a) Forklar hva vi meer med at e rekke er aritmetisk. E rekke er aritmetisk hvis hvert ledd i rekke er lik leddet fora addert med e kostat, dvs a a d b) I e aritmetisk rekke er a5 5 og a 36 Bestem a og S. For å komme fra a 5 til a må vi legge til differase d, 7 gager. Det gir likige a a d d 36 5 d For å fie a, bruker jeg at a5 a 4d 5 a 43 a 5 3 Det gir a a a og S c) Hva blir summe av de 0 første leddee i dee rekke? S

4 Oppgave 4 (5 poeg) Lise har e ple som har form som e regulær trekat med sidelegde 6 m. Hu øsker å fjere plee og dekke området med semetheller av samme form som hele området, me med sidelegder lik 0,5 m. Hu begyer i ederste hjøre av området, og legger semethelle i første rad, så 3 semetheller i este rad og så videre etter samme møster. a) Hva er møsteret for hvorda atall semetheller øker for hver rad? Atall semetheller øker med per rad. b) Fi e formel for atall semetheller i rad ummer. Atall semetheller per rad daer e aritmetisk rekke hvor a og d Da er atall semetheller i rad gitt ved a a d c) Bruk formele i b) til å rege ut hvor mage semetheller det er i de øverste rade. Hver rad «klatrer» 0,5 m opp lags sidekatee. Sidekatee er 6 m. Det betyr at de øverste rade er rad ummer 3. Atall heller i dee rade er a d) Fi e formel for summe av atall semetheller som har gått med år det er lagt rader. a a Summe av e aritmetisk rekke er gitt ved S a a Summe av atall heller etter rader er da S 4

5 e) Hvor mage semetheller treger Lise for å dekke hele området? Det er til samme 3 rader. Formele i d) viser at Lise treger semetheller. Oppgave 5 (8 poeg) Gitt rekke a) Forklar at dette er e geometrisk rekke. Forholdet mellom to påfølgede ledd er kostat: b) Fi e formel for ledd ummer. a a k c) Bruk formele du fat i b) til å fie hvor mage ledd rekke har? Det siste leddet i rekke er. Jeg setter derfor a Det er 7 ledd i rekke. d) Fi e formel for S. k s a k e) Bruk formele du fat i d) til å fie summe av rekke. 7 8 s

6 Oppgave 6 (3 poeg) Bevis formele ved iduksjo: 3 5 Tri, Iduksjosgrulaget Vi skal vise at formele gjelder for. Når har vi ku ett ledd på vestre side. Vestre side: Høyre side: Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi atar at formele gjelder for t. Vi har da at t t 3 5 Vi må vise at formele gjelder for t. Vi må altså vise at t t t 3 5 t 3 5 t t t t t t Vestre side: t t t Høyre side: Høyreside og vestreside er like. Vi har dermed vist at formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele da for alle verdier av. 6

7 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler. Ikke iterett eller adre former for kommuikasjo. Oppgave (6 poeg) Toje er i dag 9 år. Tojes foreldre oppretter e sparekoto på hee. De lover å sette i kr 5000 på sparekotoe år hu fyller 0 år og fortsette med å sette i kr 5000 hver gebursdag itil hu fyller 5 år. Toje lar pegee stå urørt på kotoe itil hu fyller 30 år. Reg med e årlig rete på 3 %. a) Hvor mye ka Toje ta ut fra sparekotoe år hu fyller 30 år? Reg med e årlig rete på 3 %. Når Toje fyller 30 år har det beløpet som ble satt i på Tojes 5-årsdag vokst til det beløpet som ble satt i på Tojes 4-årsdag vokst til det beløpet som ble satt i på Tojes 3-årsdag vokst til det beløpet som ble satt i på Tojes -årsdag vokst til det beløpet som ble satt i på Tojes -årsdag vokst til det beløpet som ble satt i på Tojes 0-årsdag vokst til , , , , , ,03 Til samme daer disse beløpee e geometrisk rekke med 6 ledd hvor k,03. Jeg bruker CAS i GeoGebra 5 a 5000,03 og Toje ka ta ut kr fra sparekotoe år hu fyller 30 år. b) Hvor mye måtte foreldree til Toje satt i årlig på kotoe for at Toje kue tatt ut kr på si 30-årsdag? Reg fortsatt med e årlig rete på 3 %. Jeg edrer beløpet på kr 5000 til ukjete x. Jeg setter summe av rekke til og får e likig som jeg løser i GeoGebra 7

8 Foreldree måtte årlig satt i kr c) Hvor høy måtte rete vært for at Toje kue tatt ut kr på si 30-årsdag hvis foreldres iskudd var kr 5000 årlig? p I likige i b) lar jeg å rete p, være de ukjete. Vekstfaktore er. 00 Jeg løser likige i GeoGebra Rete måtte vært 6.95 %. 8

9 Oppgave (4 poeg) Gitt de uedelige geometriske rekke 3 x x x x 3 x x x a) Fi kovergesområdet til rekke. x Rekke har kvotiete k. x E uedelig geometrisk rekke kovergerer år k, x Det betyr at rekke kovergerer år,. x Jeg løser dobbeltulikhete ved CAS i GeoGebra Det betyr at rekke kovergerer år x,. b) Fi summe Sx av rekke. Rekke har summe a x x Sx x x k x x x x x x x x 9

10 Oppgave 3 (6 poeg) Vi har gitt rekke a) Bestem et uttrykk for a og et så ekelt som mulig uttrykk for S Dette er e geometrisk rekke med a og k a S a 3 k b) Bestem S 5 både ved å bruke uttrykket for a og uttrykket for S som du fat i a) Jeg bruker CAS i GeoGebra k c) Hvor mage ledd må vi mist ha for at ha for at S skal overstige? Jeg løser likige S i GeoGebra Vi må ha mist 3 ledd for at summe skal overstige d) Hvor mage ledd må vi mist ha for at ha for at S skal overstige 4? Dette er e koverget geometrisk rekke med sum S Det vil si at summe aldri ka overstige 4 0

11 Oppgave 4 (8 poeg) a) Løs likigee for x ) 3six 4 Jeg bruker CAS i GeoGebra x 0,730 x,4 ) x x x x 3si 4 4cos 4 0 3si 4 4cos ta4x 3 Jeg bruker CAS i GeoGebra 4x 0.97 x b) Skriv disse uttrykkee så ekle som mulig ) si x six cos x si x six cos x six cos x six cos x si x(cos x) cos x six

12 ) si xcos x si cos x x cosx cos x si x cos x si x cos x c) Vis formele: cos x 3 six cosx 3 cosx cos x cos six si cos x six 3 cos x 3 six d) Bruk at cos 3 cos x 3six og formele i c) og til å løse likige x x cos 3 si cos x cos x 3 3 x x eller x x 3 3