LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

Transkript

1 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette puktet med uavhegige og idetisk fordelte stokastiske variabler fra e ormalfordelig med forvetigsverdi µ 468 C og stadardavvik C. La X være e slik ormalfordelt stokastisk variabel, og la Z være e stadard ormalfordelt stokastisk variabel. P (X < 467) P (X 467) P ( X ) P (Z ) Φ( ) Ata så at metallurge tar åtte uavhegige måliger av smeltepuktet, X, X,..., X 8. Da er gjeomsittet, X 8 8 X i, også e ormalfordelt stokastisk variabel (side det er e lieærkombiasjo av uavhegige og ormalfordelte stokastiske variabler), med forvetig og varias: E( X) E( 8 Var( X) Var( 8 X i ) 8 E(X i ) 8 X i ) 8 µ µ 468 Var(X i ) P (467 < X < 469) P ( X 469) P ( X 467) P ( X ) P ( X 468 P (Z ) P (Z ) Φ(.4) Φ(.4) )

2 Side av 8 Vi skal i reste av oppgave ata at forvetigsverdie til legeriges smeltepukt, µ, er ukjet, me at stadardavvik er kjet og lik C. b) Utled et 90% kofidesiterval for µ basert på uavhegige måliger av smeltepuktet, X, X,..., X. Her er kjet og vi baserer oss på at Z X µ er stadard ormalfordelt. Her lar vi α 0. for å få et ( α)00% 90% kofidesitervall. P ( X z α P ( z α Z z α ) α X µ z α ) α µ X + z α P ( z α P (ˆµ L µ ˆµ U ) α ) α Legde til itervallet er gitt som L ˆµ U ˆµ L ( X + z α z α ) ( X z α ) Vi observerer at legde av itervallet ikke er stokastisk år er kjet. Vi skal fie miste slik at legde på itervallet ikke overstiger 3 C. L 3 z α 3 ( z α 3 ) Isatt z α z og får vi ( ) 4.8

3 Side 3 av 8 Det miste atall observasjoer som gir et itervall med legde som ikke overskrider 3 C er 0 5. Vi bruker de 0 5 første observasjoee gitt i tabelle i oppgavetekste til å bestemme itervallet umerisk. Fier at x 5 5 x i ˆµ L x z α ˆµ U x + z α Som kvalitetssjekk observerer vi at legde på itervallet da er som er midre e 3. c) Vi lar metallurges lage erfarig med legeriges smeltepukt være de koservative hypotese, ullhypotese, som Professor Stål forsøker å bestride. Professor Ståls agrep blir da de alterative hypotese. Vi kaller µ C, og får følgede hypoteser: H 0 : µ µ 0 vs. H : µ > µ 0 Vi bruker X X i som estimator for µ og vi vil forkaste H 0 år X er stor (fordi da tror vi på de alterative hypotese). Vi vet at uder H 0 så er Z 0 X µ 0 stadard ormalfordelt. Hvis vi skal forkaste H 0 år X er stor, vil vi også forkaste H 0 år Z 0 er stor og vi bestemmer oss for å forkaste H 0 år Z 0 > k (Z 0 er dermed testobservatore vår). Videre bestemmer vi k slik at P (type I feil) P (forkaste H 0 H 0 er sa) α. Isatt Z 0 > k for hedelse forkaste H 0 og µ 0 for hedelse H 0 sa : P (forkaste H 0 H 0 er sa) α P (Z 0 > k µ 0 ) α P ( X µ 0 > k µ 0 ) α Tallet k som har areal α til høyre i stadard ormalfordelige er kvatile z α, dvs. k z α. Dvs. vi forkaster H 0 år Z 0 X µ 0 > z α

4 Side 4 av 8 For α 0.05 er z Videre har vi z 0 x µ , som er midre e.645 og dermed gir det ikke forkastig. Koklusjoe er at det vi har observert (eller oe verre) er gaske sasylig (har høyere sasylighet e 0.05) år H 0 er sa, og vi forkaster dermed ikke H 0. Nå vil vi se hvor lett det er å forkaste H 0 med regele vår hvis i virkelighete µ 470. Dee sasylighete er avhegig av vårt valgte sigifikasivå og hvor mage observasjoer vi har brukt til å lage teste vår (vi har et større forkastigsområde år vi har mage observasjoer). Vi skal fie et miimum atall observasjoer,, slik at P (Forkaste H 0 H 0 er gal og i virkelighete µ 470) Utfordrige vår er å at Z 0 ikke leger er stadard ormalfordelt (side µ 0 ikke er de riktige forvetige), slik at vi må bruke at Z X µ isatt µ 470 er stadard ormafordelt. P (Forkaste H 0 H 0 gal og i virkelighete µ 470) 0.99 Når µ 470 er X 470 P (Z 0 > z α µ 470) 0.99 P ( X µ 0 > z α µ 470) 0.99 P ( X > µ 0 + z α µ 470) 0.99 P ( X 470 > µ z α µ 470) 0.99 i ligige over stadard ormalfordelt, og vi ka matche µ z α med kvatile i stadard ormalfordelige som har areal 0.99 til høyre for seg (side det står > i ulikhete). Areal 0.99 til høyre har z 0.0 kvatile. Vi setter i for µ 0 468, og α 0.05, slik at vi fokuserer på at det er ku som er ukjet. I første overgage har vi delt på et egativt tall og må su ulikhetsteget z 0.05 z 0.0 (z z 0.05 ) ( (z z 0.05 ) ) ( ) ( ) Det miste atallet observasjoer som gir styrke 0.99 i alterativet µ 470 er 6 observasjoer.

5 Side 5 av 8 Oppgave Vetetid på sekkertjeester a) Sasylighete for at vetetide er leger e uker: P (X > ) P (X ) F () ( exp( 0.04 )) exp( 0.6) Sasylighete for at du må vete mist 5 uker, gitt at du må vete i mist uker: P (X > 5 X > ) P (X > 5 X > ) P (X > ) P (X > 5) P (X 5) P (X > ) P (X > ) F (5) P (X > ) ( exp( )) Sasylighetstetthete til X for x 0 fier vi ved å derivere F (x): f(x) df (x) dx 0 ( αx exp( αx )) αx exp( αx ), for x 0. b) SME for α: Fier først rimelighetsfuksjoe, som er simultafordelige for X, X,..., X sett på som fuksjo av x i ee og α: L(x, x,..., x ; α) f(x, x,..., x ; α) f(x i ; α) Tar logaritme: αx i exp( αx i ) α ( x i ) exp( α x i ). l(x, x,..., x ; α) l L(x, x,..., x ; α) l + lα + lx i α x i. Deriverer med hesy på α og setter lik 0: l(x, x,..., x ; α) α 0 + α + 0 x i 0 α α x i. x i

6 Side 6 av 8 Dvs. SME for α er α, som er ulik ˆα. ˆα er dermed ikke SME for α. x i Estimator ˆµ for µ: ˆµ π ˆα π X i ( ) Isatt verdier blir ˆα 0.09 og estimatet for µ blir ˆµ. π ˆα π uker. c) Sasylighetsfordelige for Y X fier vi ved å bruke trasformasjosformele. La Y u(x) X slik at X w(y ) Y (har at X > 0). Dermed er f Y (y) f X (w(y)) w (y) α y exp( α( y) ) y α exp( αy). Dette er sasylighetstetthete i ekspoesialfordelige med forvetig /α, og dermed har vi vist at Y er ekspoesialfordelt. Forvetigsverdi for ˆα: ( ) ( E(ˆα) E ( ) E X i X i Her har vi brukt resultatet oppgitt i oppgavetekste. Side E( ˆα) α, er ˆα forvetigsrett. ) ( ) (/α)( ) α α. Oppgave 3 Ulykker a) Vi har at X i er Poisso-fordelt med E(X i ) a i λ. I Poisso-fordelige er også Var(X i ) a i λ. Forvetigsverdie til de to estimatoree ˆΛ og Λ E(ˆΛ) E(X i ) a i λ a i a i λ λ E(Λ ) E(X i) a a iλ i a λ a i i a λ i

7 Side 7 av 8 Variase til de to estimatoree ˆΛ og Λ Var(ˆΛ) Var(Λ ) Var(X i ) a i a i λ λ Var(X i) ( a a iλ i) ( a i) λ a i Numeriske verdier for ˆΛ og Λ fra data i tabell. a i a i ˆλ λ x i 5 a i x i a i Hvilke av de to estimatoree ville du foretrekke i dee situasjoe? Begge estimatoree er forvetigsrette, me de har ulik varias. Numerisk varias (på kostat ær pga. at λ er ukjet): Var(ˆΛ) λ Var(Λ ) λ a i a i λ. 0 6 λ Begge estimatoree er forvetigsrette, me estimatore Λ har mist varias. Derfor så foretrekker vi Λ. b) Fordelige til Y er de betigede fordelige til X gitt at X (mist é stor ulykke). Vi beytter i utledige at X er Poisso-fordelt med puktsasylighet P (X x) (aλ)x e aλ. x! Dermed har vi: P (Y y) P (X y X ) (aλ) y y! e aλ (aλ)y (aλ)0 e aλ y! 0! P (X y X ) P (X ) e aλ e aλ P (X y) P (X y) P (X ) P (X 0)

8 Side 8 av 8 som skulle vises. Forvetigsverdie til Y fier vi fra E(Y ) y E(Y ) y y P (Y y) y y (aλ)y y! y P (Y y), isatt P (Y y). e aλ e aλ (aλ) y (y )! e aλ e (aλ) z+ aλ z! y z0 aλ (aλ) z e aλ e aλ z! z0 e aλ e aλ aλ e aλ aλ e aλ Skiftet av sum fra y (, ) til z y der z (0, ) er for å få z0 (aλ) z z! e aλ side dette er sum over alle puktsasyligheter i e Poisso-fordelig med forvetig aλ.