2 Algebra. Innhold. Algebra R2

Transkript

1 Algebra Ihold. Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3 Geometriske rekker... 6 Praktiske problemer kyttet til rekker Uedelige geometriske rekker... 9 Kovergete og divergete geometriske rekker... 3 Praktiske problemer kyttet til uedelige geometriske rekker... 3 Uedelige geometriske rekker med variable kvotieter Iduksjosbevis Bildeliste... 40

2 Kompetasemål Algebra, R Når du har arbeidet deg gjeom dette kapittelet, er målet at du skal kue fie og aalysere rekursive og eksplisitte formler for tallmøstre med og ute digitale hjelpemidler, og gjeomføre og presetere ekle bevis kyttet til disse formlee gjeomføre og gjøre rede for iduksjosbevis summere edelige rekker med og ute digitale hjelpemidler, utlede og bruke formlee for summe av de første leddee i aritmetiske og geometriske rekker, og bruke dette til å løse praktiske problemer rege med uedelige geometriske rekker med kostate og variable kvotieter, bestemme kovergesområdet for disse rekkee og presetere resultatee

3 . Tallfølger Tall plassert etter hveradre i e bestemt rekkefølge, kaller vi e tallfølge. Ditt første møte med tallfølger var kaskje da du lærte å telle. Tallee,, 3 og 4 er et eksempel på e tallfølge eller bare e følge. Legg merke til at rekkefølge av tallee er vesetlig. Tallee i e tallfølge kalles ledd, og leddee følger som oftest et bestemt møster. Vi ka ha tallfølger med et edelig atall ledd, edelige tallfølger, som for eksempel tallfølge, 3, 5, 7,, 3 eller tallfølge,4,6,8,...,00 Tall plassert etter hveradre i e bestemt rekkefølge, kaller vi e tallfølge. Vi ka ha tallfølger med uedelig mage ledd, uedelige tallfølger, som for eksempel tallfølge, 4, 9, 6, 5, 36, De tre prikkee etter det siste leddet viser at tallfølge fortsetter etter samme møster. Ka du fie møsteret i hver av de tre tallfølgee ovefor? 3

4 Tallfølge Møster, 3, 5, 7,, 3,4,6,8,...,00 Tallfølge består av alle primtall midre e eller lik 3. Tallfølge består av alle positive partall midre e eller lik 00., 4, 9, 6, 5, 36, Tallfølge består av alle kvadrattall. Nedefor ser du flere tallfølger. Forsøk å fie møstree, og fyll i de este leddee i hver tallfølge Tallfølge Møster,, 3,, 4, 9, 6,, 4, 8, 3, 9, 7, 3 4,,,, , 0, 5, 0,, 3, 5, 7,, 3,, 3, 6, 0,,,, 3, 5, 8, 4

5 Formler som beskriver tallfølger Det er valig å gi de ekelte leddee i e tallfølge av. Det første leddet kaller vi a, det adre leddet a osv. Ledd ummer i tallfølge får betegelse a hvor er et aturlig tall. For tallfølge, 4, 6, 8 er a a 4 a 6 a Vi skal å lage e formel for det - te leddet, a. Vi viser to måter dette ka gjøres på. Rekursiv formel Vi ser at hvert ledd i tallfølge er lik leddet fora pluss tallet. For eksempel er a4 a3. Det betyr at vi for dee følge ka skrive at a. a Dee type formel kalles rekursiv. Når vi kjeer ett ledd i tallfølge, gir formele det este leddet. Det betyr at år vi kjeer det første leddet i tallfølge, ka vi fie reste av leddee ved hjelp av de rekursive formele. Det ka være tidkrevede å fie verdie til et ledd lagt ute i e tallfølge for håd ved å bruke e rekursiv formel. Rekursive formler eger seg derimot godt i et regeark. Vi ka få fram tallfølge ovefor ved å skrive tallet i rute A, og deretter skrive formele som vist i rute A. Når vi kopierer formele edover, får vi tallfølge. Eksplisitt formel Vi ser også at hvert ledd i følge ovefor er lik multiplisert med leddummeret. For eksempel er a4 4. Det betyr at vi for dee følge ka skrive at a. Dee type formel kalles eksplisitt. Ved å bruke e eksplisitt formel ka vi fie verdie til et ledd i e tallfølge direkte år vi kjeer leddummeret. Eksempel Tallfølge, 4, 9, 6, består av kvadrattallee. Ka du se at kvadrattallee fremkommer ved de eksplisitte formele a? 5

6 Det er to typer tallfølger vi skal jobbe mye med, det er aritmetiske og geometriske tallfølger. I e aritmetisk tallfølge er hvert ledd i følge lik leddet fora addert med e kostat. I e geometrisk tallfølge er hvert ledd i følge lik leddet fora multiplisert med e kostat. I tabelle vises oe formler for oe kjete tallfølger. Legg merke til at ige eå har fuet e formel for primtallee. Sjekk om formlee stemmer! Sjekk om tallfølgee er aritmetiske eller geometriske! Tallfølge Rekursiv formel Eksplisitt formel Type tallfølge,, 3, a a a a Aritmetisk, 4, 9, 6, a a a a Aet, 4, 8, a a a a Geometrisk 3, 9, 7, a 3 a a 3 a 3 Geometrisk 3 4,,,, a a a Aet 5, 0, 5, 0, a 5 a a 5 a 5 Aritmetisk, 3, 5, 7,, 3, Primtallee, 3, 6, 0, a a a a Trekattallee a a a a a,,, 3, 5, 8, Fiboaccitallee I tabelle fier du også tre spesielle tallfølger, fiboaccitallee, trekattallee og primtallee. Du ka fie masse stoff om disse tallfølgee på Iterett. 6

7 Trekattallee Stemmer formlee for trekattallee med atall prikker i figuree? Fiboaccitallee Hvorda er dee figure bygget opp? Hvorda ka de utvides slik at vi får med de este fiboaccitallee? Leoardo Fiboacci (ca ) reges som de fremste europeiske matematikere i middelaldere. Ha er kaskje først og fremst kjet for å ha itrodusert det idiske tallsystemet som arabere hadde videreutviklet (og som vi bruker i dag), for Europa. Ha gav e iførig i de ye regetekikkee og argumeterte for at dette tallsystemet var bedre e romertallee. Fiboaccitallee kommer fra et problem Fiboacci brukte som eksempel i e av sie bøker. Problemet hadler om hvor fort kaier ka formere seg uder ideelle forhold. Se 7

8 Fra eksplisitt formel til rekursiv formel Når vi kjeer de eksplisitte formele, ka vi fie de rekursive ved å rege ut a a. Eksempel Vi ser først på tallfølge som består av alle kvadrattallee. Tallfølge Rekursiv formel Eksplisitt formel, 4, 9, 6, a a a a Vi fier de rekursive formele ved å rege ut a a a a a a a a a a a a Så ser vi på trekattallee. Tallfølge Rekursiv formel Eksplisitt formel, 3, 6, 0, a a a Vi fier de rekursive formele ved å rege ut a a a a a a a a a a a a a 8

9 Aritmetiske tallfølger E tallfølge der differase mellom et ledd og leddet fora er kostat, kalles e aritmetisk tallfølge. Tallfølge, 4, 6, 8,... er e aritmetisk følge med differase d. Differase mellom to ledd som følger etter hveradre i e aritmetisk tallfølge, er gitt ved d a a E rekursiv formel for e aritmetisk tallfølge blir derfor a a d Vi systematiserer og fier følgede møster: a 3 a a d 4 3 d a a d a d a 3d a a d a a a d a d d a d I e aritmetisk tallfølge er ledd ummer gitt ved formele a a d 9

10 Geometriske tallfølger E tallfølge der forholdet mellom et ledd og leddet fora er kostat, kalles e geometrisk tallfølge. Tallfølge,, 4, 8,... er e geometrisk tallfølge med kvotiet 4 8 k 4 I e geometrisk tallfølge ka vi alltid fie este ledd i tallfølge ved å multiplisere med kvotiete, k. De rekursive formele for e geometrisk tallfølge blir derfor a a k Vi systematiserer og fier følgede møster: a a a k a a a k a a k a k k a k a a k a k k a k 3 I e geometrisk tallfølge er ledd ummer gitt ved formele a a k 0

11 . Tallrekker Når vi adderer leddee i e tallfølge, får vi e tallrekke. Vi bruker valigvis bare ordet rekke. Vi skiller mellom uedelige rekker og edelige rekker. E uedelig rekke består av uedelig mage ledd, slik som 34 E edelig rekke består av et edelig atall ledd, slik som 4 80 eller Vi bruker de samme symbolee for leddee i e rekke, som for leddee i e tallfølge. Det første leddet beteges a, det adre leddet a osv. Summe av de første leddee i e rekke beteges med symbolet S. S a a a a 3 Vi ka fie summe av tallrekker med og ute digitale hjelpemidler. For å fie summe av e edelig rekke ute digitale hjelpemidler, ka vi sette tallee uder hveradre og summere på valig måte. (Hvis rekke har mage ledd, ka dette fort bli e stor jobb. ) Når de eksplisitte formele for ledd ummer i e rekke er kjet, ka vi fie summe ved CAS i GeoGebra ved kommadoe «Sum[<Uttrykk>,<Variabel>,<Start>,<Slutt>]». Summe av de 0 første trekattallee er Ute kjet formel ka vi bruke kommadoe «Sum[<Liste>]». For eksempel er Regeark eger seg også til å fie summer av rekker. Legg merke til de matematiske skrivemåte for sum. Da brukes de greske bokstave stor sigma,. For eksempel skriver vi summe av de seks første kvadrattallee på følgede måte S

12 Eksempel Tek deg at du får tilbud om å ta e sommerjobb. Arbeidsgivere er litt rar, og sier at du får kroe første dag du jobber. Så dobler ha dagløe di for hver dag du er på jobb. Det vil si at du får kroer adre dag du jobber, 4 kroer de tredje dage osv. Samlet lø etter dager er summe av rekke S 4 8 a S 0 3 Vi ser at eksplisitt formel for ledd ummer er. a Vi vil fie samlet lø de første uka, dvs. de 5 første arbeidsdagee S Fire uker e lø på over e millio kroer! Løe de første uka blir på 3 kroer! Kaskje e litt uderbetalt jobb? Vi øsker å fie samlet lø for fire uker, altså 0 arbeidsdager. CAS i GeoGebra gir E samlet lø på kroer! Kaskje oe å satse på likevel.

13 Aritmetiske rekker Når vi adderer leddee i e aritmetisk tallfølge, får vi e aritmetisk rekke. Et eksempel på e slik rekke er Vi ser at differase d mellom et ledd og det foregåede leddet er 3. I kapittel. fat vi at ledd ummer i e aritmetisk tallfølge var gitt ved Dee formele gjelder på samme måte for ledd ummer i e aritmetisk rekke. Summe av e aritmetisk rekke a a d. Vi øsker å fie e formel for summe av de første leddee i e aritmetisk rekke. Vi fier først e formel for summe av de 5 første leddee. Vi skriver summe av de 5 første leddee på to måter. Først leddee i stigede rekkefølge, så leddee i sykede rekkefølge. S a a S a a Vi summerer vestresidee og høyresidee og får a a a a a a 3 S S a a a a a a a a a a I paretesee på høyreside vil de «blå leddee» øke med d for hver paretes fra vestre mot høyre, mes de «røde leddee» vil avta med d. Det betyr at summe i hver av paretesee er like Høyreside blir da lik 5 a a a a a a a a a a a a , og side vestreside ka skrives som S5 S 5 a a 5 5 Ved å dividere med på begge sider av likhetsteget, får vi 5 aa5 S5, får vi at Resoemetet ovefor gjelder om vi bytter ut atall ledd i rekke med et hvilket som helst aet aturlig tall e 5. Summe av de første leddee i e aritmetisk rekke er gitt ved formele a a S 3

14 Eksempel I 008 solgte e forhadler 3000 sykler. Vi atar at salget vil øke med 300 sykler per år i oe år framover. ) Hvor mage sykler vil forhadlere til samme selge fram til og med år 03? ) Når vil det årlige salget være på sykler? 3) Hvor mage år vil det gå før forhadlere til samme har solgt sykler? Løsig ) Fra og med 008 til og med 03 vil si e periode på seks år. De årlige salgstallee daer e aritmetisk rekke der a 3000 og d 300. Hvor mage sykler? Vi fier først a 6 dvs. salget i 03 Samlet salg blir S 6 a6 a a a Forhadlere vil selge 500 sykler fram til og med år 03. ) Et uttrykk for salget om år er a a Vi ka fie år det årlige salget er sykler, ved å sette a 3900 og løse likige: Husk at vi teller fra og med år 008, slik at 4 blir i år 0. 4

15 3) Vi vil å fie år summe av salget blir sykler. Vi fier først et uttrykk for S Vi setter så S 3400 S a a Her ka vi bare bruke de positive løsige. Summe av salget vil å sykler ved utgage av 05. 5

16 Geometriske rekker Når vi adderer leddee i e geometrisk tallfølge, får vi e geometrisk tallrekke. I e geometrisk rekke er forholdet mellom et ledd og det foregåede leddet kostat. Vi kaller dette forholdstallet for rekkes kvotiet, k. Et eksempel på e geometrisk rekke er Hvert ledd i dee rekke er lik leddet fora multiplisert med. Vi har altså e geometrisk rekke med a 0 og k. I avsitt. kom vi fram til at ledd ummer i e geometrisk tallfølge er gitt ved a a k Dee formele gjelder også for ledd ummer i e geometrisk rekke. Det betyr at år vi kjeer a og k i e geometrisk rekke, ka vi fie alle leddee i rekke. Eksempel Vi skal bestemme kvotiete og det første leddet i e geometrisk rekke, der a 5 43 og a Det er 85 3 plasser fra a5 til a 8. Det gir at a a k k k a a Vi ka da fie a 5 a a5 a k a k 3 8 De geometriske rekke blir da

17 Summe av e geometrisk rekke Vi øsker å fie e formel for summe av de første leddee i e geometrisk rekke. Vi fier først summe av de 5 første leddee. Vi har at S a a a a a S a a k a k a k a k Vi multipliserer begge sidee i likige med k Vi fier så differase mellom ks5 og S k k S a a k a k a k a k k a k k S a k a k a a k k S S a k a k a k a k a k a a k a k a k a k a k a k a k ak k a a k a k a k a k k S S a Her opptrer de fleste leddee i par. Ledd markert med samme farge har samme verdi, me motsatt forteg, og faller bort. Dette gir k S S a k a 5 5 k S k a k 5 S5 a k k Vi ka ikke ha e brøk med ull i ever. Derfor gjelder formele bare år k. Dersom k, blir alle leddee i rekke like. Summe av rekke blir da S5 5 a. Resoemetet ovefor gjelder om vi bytter ut atall ledd i rekke med et hvilket som helst aet aturlig tall e 5. Summe av de første leddee i e geometrisk rekke er gitt ved formele k S a år k k Når k blir S a. 7

18 Praktiske problemer kyttet til rekker Prosetvise edriger Eksempel Hvis du setter 000 kroer i bake i dag og får 6 % rete på pegee, vil beløpet om ett år ha vokst til 6 000kr 000kr 060 kr 00 Vi ka også rege slik: kr 000kr 000kr 000kr 0,06 000kr, Tallet,06 kaller vi for vekstfaktore. Vi ka altså ekelt fie hvor mye beløpet har vokst 00 til etter ett år ved å multiplisere med vekstfaktore. For å fie hvor mye vi har i bake etter to år, må vi multiplisere beløpet vi hadde etter ett år med vekstfaktore, og slik fortsetter vi. 3 Etter tre år i bake har beløpet vokst til 000kr,06 9kr. Vekstfaktor p Når e størrelse øker med p %, blir vekstfaktore. 00 p Når e størrelse reduseres med p %, blir vekstfaktore. 00 Vi multipliserer med vekstfaktor for å fie y verdi. 8

19 Sparig Eksempel Tek deg at du setter i kroer på e koto i begyelse av hvert år. Det første beløpet setter du i i 0. Du får e fast årlig rete på 3 %. ) Hvor mye er det på kotoe i slutte av 04? ) I hvilket år vil beløpet på kotoe passere kroer? Norges bak. 50 millioer kroer i tuselapper på hver pall! Løsig Vi skal å se hvorda vi ka fie svar på disse problemstilligee ved å bruke e geometrisk rekke. ) Du setter i fire beløp i bake i dee periode. Det første beløpet du setter i, vil stå i bake i 4 år, det adre beløpet i 3 år, det tredje i år og det siste i år. For å få oversikt er det helt ødvedig å tege et skjema, gjere for håd på et kladdeark. Skjemat viser hva de ekelte iskuddee har vokst til ved slutte av 04. Du må altså se på de ekelte iskudd hver for seg, gjere som iskudd i 4 forskjellige baker. Legg merke til hvor avgjørede det er om beløpee settes i/tas ut i begyelse eller i slutte av et år Samlet beløp i bake ved slutte av 04 er summe av de beløpee som hvert ekelt iskudd har vokst til. Du ser av skjemaet at disse beløpee daer e geometrisk rekke med kvotiet 9

20 k,03 og første ledd a 8000,03. Atall ledd i rekke er fire, fordi du har satt i fire beløp. Vi fier summe ved formele 4 k S4 a k I slutte av 04 vil det stå kroer på kotoe. Legg merke til at vi å ikke bruker sumkommadoe i GeoGebra, for å bruker vi jo sumformele for e geometrisk rekke. ) Du velger å fortsette sparige, og øsker å vite hvor lag tid det tar før det står mist kroer på kotoe. Forutsetigee er som ovefor, me å vet vi ikke hvor mage gager du må sette i peger. Vi lar derfor atall ledd i rekke være ukjet. Side vi kjeer summe av rekke, får vi e likig som ka løses med med CAS i GeoGebra Du må altså sette i sju beløp. Kotobeløpet vil da passere kroer i 07. 0

21 Eksempel Mads øsker å spare til bolig. Ha oppretter e BSU-koto (boligsparig for ugdom) i si lokale bak, og setter i kroer på dee kotoe. jauar hvert år i 0 år. Vi reger med e årlig rete på 5 %. Vi øsker å fie ut hvor mye det er på BSUkotoe rett etter at Mads har satt i det 0. beløpet. Et drømmehus? Vi tar da for oss de ekelte iskuddee, og ser hva hvert beløp har vokst til rett etter at Mads har satt i peger for 0. gag. Når det siste beløpet settes i, har det første beløpet Mads satte i, stått på kotoe i 9 år. Det este i 8 år osv. 9 8 Det første beløpet har altså vokst til0 000,05, det este til 0 000,05 osv. Det siste beløpet Mads satte i har eå ikke forretet seg. Vi ka illustrere dette med et skjema Nå. år. år 3. år 0. år 9. år Samlet iskudd i bake ved begyelse av det 0. året, blir lik summe av de beløpee som hvert iskudd har vokst til. Du ser av skjemaet at disse beløpee daer e geometrisk rekke med kvotiet k,05 og a Atall ledd i rekke er 0, fordi Mads har satt i 0 beløp. Ved å bruke sumformele for e geometrisk rekke, ka vi rege ut hvor mye som står på kotoe rett etter at det 0. beløpet er satt i:

22 Det vil stå kroer rett etter at Mads har satt i det 0. beløpet. Det er svært viktig å lese dee type oppgaver øye. Husk at står for atall ledd i rekke. Merk også at dersom e spurte etter beløpet i slutte av det 0. året, ville det første leddet vært a 0000,05, mes fortsatt ville vært 0. Avbetalig Tek deg at du skal kjøpe e bruktbil som koster kroer. Du får tilbud om å kjøpe bile på avbetalig over fem år. Du skal betale fem like store årlige beløp. Det første beløpet betaler du om ett år. Selgere bereger seg 5 % rete per år. Hvor store er de årlige beløpee du må betale? Hva koster det å kjøpe e bruktbil til kroer på avbetalig? Verdie av e kroe avtar år for år. E kroeis kostet é kroe i 970. I 05 er veiledede pris kroer 5. Det er da rimelig at vi må betale et større kroebeløp år vi utsetter betalige for e vare. I vårt tilfelle bereger selgere seg et 5 % større kroebeløp for hvert år betalige utsettes. Vi skal vise to måter du ka løse dette problemet på. Poeget er at samlet ibetalig må tilsvare kr på det tidspukt bile ble kjøpt. Side kroeverdie edrer seg fra år til år, må alle beløpee føres fram, eller tilbake, til samme tidspukt for å kue sammelikes. Vi velger først å føre alle beløpee fram til tidspuktet for siste ibetalig av avbetaligsbeløpet. Vi lager et skjema for å få e oversikt

23 Nå. år. år 3. år 4. år 5. år x x x x x Verdie av samlet ibetalig etter 5 år, blir summe av de geometriske rekke x x,05 x,05 x,05 x, Her er a x, og vi får S 5 x 5,05,05 Bile kostet kroer da avtale ble igått. Etter 5 år tilsvarer dette e pris på kr,05 Vi ka da sette opp og løse likige Hvert år må du betale kroer. OBS! Vær oppmerksom på at avbetaligskjøp ofte ka være veldig dyre, da selgere ofte reger med e svært høy rete! 3

24 Nåverdier I eksemplet ovefor reget vi verdie av alle beløpee om til samme år for å sammelike verdie av samlet ibetalig med prise på bile. Vi kue like gjere reget om ibetaligee til det året avbetaligsavtale ble igått. Dette kalles for åverdiee til ibetaligee. Da må vi huske på å dividere med vekstfaktore for hvert år beløpet føres bakover. Nå. år. år 3. år 4. år 5. år x x x x x Summe av åverdiee til ibetaligee må være lik prise på bile x x x x x ,05,05,05,05,05 x Vestreside i likige daer e geometrisk rekke med a og k,05,05 Vi ka da løse følgede likig Vi ser at vi får samme resultat som ovefor. 4

25 Serielå Hvis du tar opp et serielå, betaler du like store avdrag gjeom hele låeperiode. Etter hvert som lået blir edbetalt, vil reteutgiftee bli midre. Termibeløpee, som er summe av avdrag og reter, vil dermed bli lavere og lavere. Serielå Reter Avdrag Til høyre ser du e ekel regearkmodell for et serielå på kroer som skal edbetales over 6 år. Vi har reget med e låerete på 5 % per år. Låebeløp, edbetaligstid og retesats ka edres. For ekelthets skyld reger vi med bare é termi i året, selv om det er valig med flere termier per år. Regearkmodelle viser hvor stort restlået er, og hvor mye du må betale i reter og avdrag hvert år. Fra modelle ka du også fie ut hvor store de samlede retekostadee blir, og hva du til samme må betale for lået. Utfordriger!. Lag regearkmodelle for serielå som vist til høyre.. Vis at restlåee daer e aritmetisk rekke! 3. Vis at retee daer e aritmetisk rekke! Vis at summe av dee rekke er det samme som fremkommer som sum betalte reter i regearket. 5

26 Auitetslå Hvis du tar opp et auitetslå, betaler du like store termibeløp gjeom hele låeperiode. Etter hvert som lået blir betalt ed, vil reteutgiftee bli midre. Når termibeløpet skal være like stort gjeom hele låeperiode, vil avdragsdele øke år retedele går ed. Drøft i klasse hva som er evetuelle fordeler og ulemper ved serielå kotra auitetslå. Når bakee skal berege termibeløpet for et auitetslå, bruker de teorie om geometriske rekker. I begyelse av et år tar vi opp et auitetslå på kr Lået skal betales tilbake med 6 like store termibeløp, x, i slutte av hvert år i 6 år framover. For å sammelike verdie av termibeløpee omreger vi alle termibeløpee til verdie de ville hatt da lået ble tatt opp. Disse verdiee kaller vi åverdiee til termibeløpee. Det er lurt å lage e oversikt som vist edefor. Nå.år.år 6.år x x x x x Nåverdiee til termibeløpee daer e geometrisk rekke med a, k og 6.,05,05 6

27 k Summe av dee rekke fier vi med formele S a. k Summe må være lik låets verdi. Termibeløpee blir altså på 9 7 kroer. Det er også mulig å føre alle termibeløpee og også låebeløpet fram til tidspuktet for siste ibetalig. Vi får da likige Vi får samme termibeløp! 7

28 Utslipp av gasser E bedrift har i e periode sluppet ut 000 to CO hvert år. Hvis dette fortsetter, vil det samlede utslippet de este seks åree bli to CO. Bedrifte får pålegg om at samlet utslipp i disse seks åree ikke må overstige to. Bedrifte satser på å redusere utslippsmegde med e fast prosetsats hvert år. Vi vil fie dee prosetsatse. Ved prosetvis reduksjo er vekstfaktore p k 00 Tabelle viser utslippee i de seks aktuelle åree. De globale CO-utslippee økte etter at verde kom seg ut av fiaskrise i 00. I følge det iterasjoale eergibyrået IEA var utslippee dette året på 30,6 gigato. Bildet er fra et kullkraftverk i Gelsekirche, Tysklad. Resig av utslipp fra kullkraftverk er asett som e av de viktigste utfordrigee i arbeidet med å redusere CO-utslipp. År Utslipp i to k 000 k k k k p Summe av utslippee daer e geometrisk rekke med a 000, k og 6 00 Et samlet utslipp på to i periode gir likige Bedrifte må altså redusere utslippet med 7,35 % per år for å å kravet om utslipp på to. 8

29 .3 Uedelige geometriske rekker De geometriske rekkee vi har sett på til å, har stort sett bestått av et edelig atall ledd. Vi skal å studere geometriske rekker med uedelig mage ledd. La oss først se på e rekke hvor a og kvotiete a a k k. Ledd ummer er gitt ved formele a De første leddee i dee rekke blir 4 Summe av de 0 første leddee i rekke er S 0 0 3, Summe av de 30 første leddee i rekke er S , Hvis vi reger ut summe av de 00 første leddee får vi S Det skal ikke så mage ledd til før summe blir tilærmet lik tallet 4. Det er begreset hvor mage siffer vi ka ta med i svaret, derfor får vi svaret avrudet til 4 år vi får mage ok ledd. Me uasett hvor mage ledd vi tar med, vil aldri summe overstige tallet 4. Prøv selv! 9

30 Forklarige på dette ka vi fie ved å bruke formele for summe av e edelige geometrisk rekke: k S a k Når blir veldig stor, vil leddet bli midre og midre, og summe vil derfor ærme seg 4. Me summe vil alltid være litt midre e 4. I matematikke bruker vi symbolet for uedelig. Vi bruker pil for å peke på hva et utrykk går mot. Da ka vi skrive S 4 4 år Side vi ka få summe så ærme 4 vi bare vil, så sier vi at rekke har sum lik 4, og ved å bruke «lim»(limit) for greseverdi skriver vi at summe S er S lim

31 Kovergete og divergete geometriske rekker Når e uedelig rekke ærmer seg e bestemt sum år, sier vi at rekke kovergerer. Når e uedelig rekke ikke ærmer seg e bestemt sum år, sier vi at rekke divergerer. Vi ser ærmere på sumformele for geometriske rekker: k S a år k k Hva skjer med summe år blir veldig stor? Når, er det bare leddet av rekke blir da k som vil edre seg. Hvis k,, vil k 0 år. Summe k 0 a a S lim a a k k k k Rekke går altså mot e bestemt sum, og er derfor koverget. E uedelig geometrisk rekke hvor k,, er koverget og har sum S a k Vi ka også vise at rekke vil divergere for alle adre verdier av k (vi forutsetter her at a 0 ) Når k, eller k,, vil k år. Greseverdie for summe vil da ikke eksistere, og rekke divergerer. Når k, blir summe S a Summe eller år. Rekke divergerer. Når k, blir summe S a a k a k... a a a... Summe vil bli a eller 0. Da eksisterer det ikke oe bestemt greseverdi for summe, og rekke divergerer. 3

32 Praktiske problemer kyttet til uedelige geometriske rekker Uedelige geometriske rekker er yttige i mage sammeheger. Vi skal se på et par eksempler. Medisi Eksempel E perso tar medisi hver dag. Medisie ha tar, er ikke skadelig så lege det ikke er mer e 00 mg medisi i kroppe. Kroppe skiller ut 0 % av medisie hvert døg. Vi teker oss at persoe har tatt e megde, a, av medisie hver dag i uedelig lag tid. Av medisimegde a ha tok i går, er bare a 0,8 igje i kroppe i dag side 0 % skilles ut per døg. Av medisimegde a ha tok for to dager side, er bare a 0,8 igje i kroppe. Samlet megde medisi i kroppe er summe av det ha tok i dag, det ha tok i går osv. Side 0,8 k, får vi e uedelig koverget geometrisk rekke: Lykkepiller? aa0,8a0,8 a 0,8 3 Vi bruker sumformele for uedelige kovergete geometriske rekker. Vi vet at summe ikke må overstige 00 mg, og vi ka da bestemme de høyeste daglige dose som er forsvarlig å gi pasiete: a S k a 00 0,8 a 0 De høyeste akseptable dose per dag er 0 mg. 3

33 Utslipp Eksempel E oljetak får e skade, og det begyer å lekke olje fra take. Det første miuttet lekker det ut 3 liter. Så avtar lekkasje med % for hvert miutt, helt til take er tom. ) Hvor mye olje vil lekke ut i løpet av de første time? ) Omtret hvor mye olje var det i take før lekkasje startet? Olje på våt asfalt. Hvor kommer alle fargee fra? Løsig ) Atall liter olje som lekker ut de første time, er summe av de 60 første leddee i e geometrisk rekke med a 3 og k 0,98 S S a 60 k k 60 0, ,98 Det vil lekke ut ca liter olje de første time. ) Samlet oljemegde som lekker ut, er summe av de uedelige geometriske rekke med a 3 og k 0,98 a S k 3 S ,98 Det var omtret liter olje i take før lekkasje startet. 33

34 Uedelige geometriske rekker med variable kvotieter Tidligere i dette kapitlet har vi sett at det er verdie på kvotiete k som bestemmer om e uedelig geometrisk rekke kovergerer eller divergerer. E uedelig geometrisk rekke vil kovergere dersom k,. I de uedelige geometriske rekke x 0 3 x x x er kvotiete k. Det betyr at rekke kovergerer år, x x. Vi må altså løse dee dobbeltulikhete for å fie for hvilke verdier av x rekke kovergerer. Disse verdiee kalles rekkes kovergesområde. Dobbeltulikhete ka løses som to ekle ulikheter x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x De første ulikhete gir at x, 0,. De adre ulikhete gir at x,0,. Det betyr at rekke kovergerer år x,,. Rekke har da summe S x S x S x a k x x x 34

35 Summe er e fuksjo av x. Nedefor har vi teget grafe til S i rekkes kovergesområde. Vi ka bruke grafe til å fie hva summe av rekke er for gitte verdier av x. Vi ka også fie de x - verdiee som gir e bestemt sum. Det samme ka vi fie ved regig. Forutsetige er at vi hele tide bruker x - verdier som ligger i kovergesområdet. 35

36 .4 Iduksjosbevis Når vi har arbeidet med tallfølger og tallrekker, har du sett mage formler som ieholder variabele, der står for et aturlig tall større e eller lik. For eksempel har du sett flere eksplisitte formler for ledd ummer i e tallfølge. Matematikere har kommet fram til mage av disse formlee ved å føre e type bevis som vi kaller iduksjosbevis. Dee bevistype bygger på iduksjosaksiomet. Et aksiom er e gruleggede setig som er selvilysede og godtas ute bevis. Iduksjosaksiomet Vi øsker å bevise at e setig som omhadler et aturlig tall, gjelder for alle aturlige tall. Et iduksjosbevis foregår over to tri. Tri Vi viser at formele gjelder for. Dette kalles iduksjosgrulaget. Tri Vi atar at formele gjelder for et vilkårlig tall t der t. Vi viser at da må formele også gjelde for t. Dette kalles iduksjostriet. Iduksjosaksiomet sier at vi å ka kokludere med at formele gjelder for alle. Hvorfor ka vi si at formele å gjelder for alle? I tri viser vi at hvis formele gjelder for e verdi av, så gjelder de også for de este verdie av. I tri har vi vist at formele gjelder år. Det vi har vist i tri, må bety at formele da også gjelder for. Me side formele gjelder for, må de også gjelde for 3. Slik ka vi holde på i det uedelige, og formele må derfor gjelde for alle. 36

37 Eksempel Vi vil bruke iduksjo til å vise at summe av e geometrisk rekke med a og k ka skrives som S Vi skal altså vise at 4... Tri, Iduksjosgrulaget Vi skal vise at formele gjelder for. Bevis Når, har vi bare ett ledd på vestre side. Veste side Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi atar at formele gjelder for t. Vi atar altså at S t t t 4... Vi må vise at formele gjelder for t. Vi må altså vise at t t S t 4... Bevis Dette er e geometrisk rekke med k. S t S t t a t 4... t t t t t t t Vi har dermed vist at formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele da for alle verdier av. 37

38 Eksempel E rekke er gitt ved a og a a. Vi skal bruke iduksjo til å vise at ledd ummer ka skrives som a Tri, Iduksjosgrulaget 3. Vi skal vise at formele gjelder for. Bevis Vestre side a 3 4 Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi atar at formele gjelder for t. Det betyr at a t t t 3 Vi må vise at formele gjelder for t. Vi må altså vise at t t t 3 t 4 t 5t4 at 38

39 Bevis Vi vet at a a Da må vi også ha at a t a t t a t a t t t t 3 t t t t 3 t t t t 3 4 5t 4 Vi har dermed vist at formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele da for alle verdier av. 39

40 Tekst og eksempler Stei Aaese og Olav Kristese Bildeliste Tall Foto: Christoffer Askma/Scapix Damark Fiboacci Foto: Sciece Photo Library/Scapix Myter Foto: Eivid Griffith Bræde/VG/Scapix Sykler Foto: Jo-Are Berg-Jacobse/Afteposte/Scapix Tuselapper Foto: Jo-Michael Josefse/Scapix Drømmehus Foto: Werer Juvik/VG/Scapix Bruktbil Foto: Mage Johase/Afteposte/Scapix CO -utslipp Foto: Marti Meisser/AP/Scapix Lykkepiller Foto: Scapix Olje på våt asfalt Foto: Rolad Schgaguler/Scapix 40