OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z"

Transkript

1 OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke vaskelig, me veldig ofte vil det være tidkrevede. Det er ettopp i slike sammeheger at ma ka utytte Maples regekapasitet. I stedet skal vi kosetrere oss om å forstå ideee som ligger bak. Mage av fuksjoee ma møter i praksis er defiert på e slik måte at det er umulig å rege ut eksakt verdiee av disse fuksjoee i de fleste puktee : dette gjelder f.eks. fuksjoer det det igår trigoometriske, ekspoesial-, eller logaritmefuksjoer. Me ma ka berege approksimative verdier av slike fuksjoer, og Taylor polyomer gir e måte å gjøre dette på som er effektiv i mage tilfeller.. Som e oppvarmig begyer vi med de ekleste form for approksimasjo. Vi betrakter vi e fuksjo f som er deriverbar år = a. Tagete til grafe til f i puktet a, f a er som kjet defiert som de rette lije L som går gjeom puktet a, f a og som har stigigstall s = f ' a. Likige for L i y -plaet er da gitt ved y Kf a = s K a, dvs. y = f a C f ' a K a. Poeget å er at lije L og grafe til f vil ligge tett opp til hveradre i ærhete av puktet a, f a. Dette ka vi se fra selve defiisjoe av f ' a : f ' a = lim / a f K f a K a ; dette betyr at f ' a z f K f a K a år er ær a, altså at f Kf a z f ' a K a år er ær a. Så vi har at f z f a C f ' a K a år er ær a. Dee formele agir e lieær approksimasjo av f vi har liearisert f rudt = a. rudt = a, og beskrives gjere ved å si at

2 Omskrives de på forme kalles de ofte for tilvektsformele. f a C Da z f a C f ' a $ Da der Da er lite (i tallverdi), Polyomet F = f = a. a C f ' a K a kalles Taylor-polyomet til f av grad (opptil) rudt Vi ka da skrive at f z F år er ær a. Alt dette ka vi lett illustrere med Maple. Eksempel. Vi velger f.eks. f = e si og a = 0 : Da er f 0 = e si 0 = e 0 =. Videre er f ' = e si $ cos (ved kjereregele), så f ' 0 = e 0 $ cos 0 =. Dermed vil tagete L til f i puktet 0, f 0 = 0, ha likige y = f 0 C f ' 0 K 0, dvs. y = C. Dette gir også at F = C. Vi får følgede bilde : y L : y = C 2 0, f 0 = 0, f = e si F = C Kp K0.5 p p p

3 La oss å approksimere e si 0.2 = f a = ved hjelp av det vi har gjort, ved å betrakte 0.2 som ær Vi får da at e si 0.2 = f 0.2 z F 0.2 = C 0.2 =.2. Til sammelikig ka vi sjekke hva Maple sier : e si 0.2 at 5 digits.298. For å få et itrykk av hvor god approksimasjo vi får år vi beytter F til å berege f ka vi tege grafe til feilfuksjoe E = f KF = e si K C i et passede itervall rudt a = 0 : 0.5 E = e si K C 0.0 e si K C / 0.05 K0.4 K Ved å klikke på grafe (i Maple) ser det f.eks. ut som feile E er midre e 0.0 for alle i itervallet K0.4, 0.4, mes de er midre e 0.05 for alle i itervallet K0., 0.. Geerelt sett treger ma metoder for å estimere hvor stor feile E ka være. Vi skal kort beskrive e av disse på slutte. 2. Vi betrakter å e fuksjo f som er deriverbar rudt = a, og to gager deriverbar i = a. Idée å er å fie et 2. grads polyom som oppfører seg som f i ærhete av a, f a. Først legger vi merke til at F er. grads polyomet som er bestemt ved at F a = f a, F ' a = f ' a. Grafe til F er jo de rette lije som går gjeom a, f a og har stigigstall f ' a.

4 Nå fies det (akkurat) et 2. grads polyom som er slik at a = f a, ' a = f ' a, '' a = f '' a, emlig = f a C f ' a $ K a C 2 f '' a $ K a 2. Dette er lett å sjekke : a = f a C f ' a $0 C 2 f '' a $0 = f a, ' = 0 C f ' a $ C 2 $2$ f '' a $ K a, så F ' a = f ' a C f '' a $0 = f ' a, og 2 ' = 0 C f '' a $, så '' a = f '' a. Polyomet kalles Taylorpolyomet til f av grad (opptil) 2 rudt = a. Eksempel. Vi velger igje f = e si og a = 0. Vi vet allerede at f 0 =, f ' = e si $ cos og f ' 0 =. Ved produktregele får vi f '' = e si $cos $ cos C e si $ Ksi = e si $ cos 2 K si. Dermed er f '' 0 = e 0 $ cos 0 2 K si 0 =. Vi fier derfor at = C $ C 2 $$2 = C C 2 2. Grafee til f, F og rudt puktet 0, f 0 = 0, ser slik ut : 2 F (0, ) f Kp K0.5 p p p

5 Vi ser at grafe til ligger tettere opptil grafe til f e grafe til F. Vi ka å sjekke at 0.2 gir e gaske god approksimasjo av f 0.2 = e si 0.2 : Vi får at 0.2 = C 0.2 C =.22, og det er gaske ært Maples approksimasjo av e si 0.2 at 5 digits.298. Et itrykk av hvor godt approksimerer f får vi ved å tege grafe til feile E 2 = f K : K0.6 K0.4 K K0.002 e si K C C 2 2 / K0.004 K0.006 E 2 K0.008 K0.00 som idikerer at feile å er midre e 0.0 for alle i itervallet K0.58, Vi betrakter å e fuksjo f som vi atar er deriverbar så mage gager vi øsker rudt = a. La være et aturlig tall. Vi vil ha bruk for følgede otasjo : vi beteger produktet av alle aturlige tall fra til og med med! ( som uttales -fakultet ). Vi har spesielt at! =, 2! = $2 = 2,! = $2$ = 6, 4! = $2$$4 = 24. Vi setter også 0! =. Legg merke til at! = K! $. Så 5! = 4! $ 5 = 24$5 = 20, osv.

6 Det ka da vises at det fis (akkurat) et polyom F av grad (opptil) som er slik at F a = f a, F ' a = f ' a, F '' a = f '' a, $$$, F a = f a, emlig F = f a C f ' a! $ K a C f '' a 2! $ K a 2 C $$$ C f a! $ K a. Dette polyomet kalles Taylorpolyomet til f av grad (opptil) rudt = a. Videre ka det vises at f z F år er ær ok a, m.a.o. at feile E = f K F er lite i tallverdi år er ær ok a. Mere presist formulert har vi at det fis et itervall som ieholder a slik at for ehver i dette itervallet, så fies det et tall c som ligger mellom a og der E % f C c C! $ K a C ( Lagrages formel ) ; det følger da at det fies e M O 0 slik at E % som gir et estimat for feile. M C! $ K a C, Eksempel. Vi velger f = e og a = 0. Da er f 0 = og f = e, så f 0 = for alle. Vi får at e z F = C C og Lagrages formel sier da at E = Velger vi f.eks. = og = 5 gir dette 2! 2 C $$$C!, e c C! e z C C 2 C 6 C 24 C 20 = 6 60 der vi vet 0! E 5 = ec 6! 6! Maple oppgir e at 5 digits 2.78, så det stemmer bra. C for e c mellom 0 og. at 5 digits 2.767, 720! 0.0 (fordi ec! e! år c er mellom 0 og ).

7 I Maple fies det et eget oppsett for å berege og vise frem Taylor polyomer (jf. Lab 2). Det ka brukes til å lage følgede bilde av Taylorpolyomet F 5 til f = e rudt = 0 : 0 f = e y 20 0 F 5 K K2 K 0 2 Eksempel. Vi velger f = l og a =. Da er f = 0. Videre er f ' =, så f ' = ; f '' = K K2, så f '' = K ; f = 2 K, så f = 2. Dermed er Taylorpolyomet av grad til f = l rudt a = gitt ved F = 0 C $ K C så l z K K 2 K 2 K 2 C K 2 C 2 6 K, K år er ær. 0 K F l K2 K

8 4. Hvis f er glatt rudt a vil det i mage tilfeller være slik at f = f a C f ' a! $ K a C f '' a 2! $ K a 2 C $$$ C f a! $ K a C $$$ for alle i et passede itervall rudt a. Uttrykket på høyreside kalles Taylorrekka til f rudt a. Når og i hvilket itervall dee formele holder skal vi ikke si oe om her, bortsett fra å eve følgede kjete formler : e = C C 2! 2 C $$$C! C $$$ for alle. si = K! C 5! 5 K$$$ C K K 2 K! 2 K C $$$ for alle. cos = K 2! 2 C 4! 4 C$$$ C K K 2! 2 C $$$ for alle. l = K K 2. K 2 C K C $$$ C K K K C $$$, 0! % 2.

2. Bestem nullpunktene til g.

2. Bestem nullpunktene til g. Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall

Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp

Detaljer

Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%

Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21% TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011 Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD

KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD KOMPLEKSE TALL KARL K BRUSTAD 1 Defiisjoer og otasjo Defiisjo 1 Et kompleks tall er et objekt på forme x + i der x og er reelle tall og kalles heholdsvis realdele og imagiærdele til det komplekse tallet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

Numeriske metoder: Euler og Runge-Kutta Matematikk 3 H 2016

Numeriske metoder: Euler og Runge-Kutta Matematikk 3 H 2016 Numeriske metoder: Euler og Ruge-Kutta Matematikk 3 H 06 Iledig Differesiallikiger spiller e setral rolle i modellerigsproblemer i igeiør viteskap, matematikk, fsikk, aeroautikk, astroomi, damikk, elastisitet,

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

Kulas posisjon etter 0, 1, 2, 3 og 4 sekund

Kulas posisjon etter 0, 1, 2, 3 og 4 sekund Total rullelegde i løpet av ett sekud: L Total rullelegde i løpet av to sekud: 4 L Total rullelegde i løpet av tre sekud: 9 L Total rullelegde i løpet av fire sekud: 6 L SYSTEM HER? Kulas posisjo etter

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig)

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + = OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1

Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Høgskole i Gjøvik Avdelig for igeiørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 2 I løpet av uke blir løsigsforslag lagt ut på emeside http://www.hig.o/toel/allmefag/emesider/rea2

Detaljer

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1 TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT00 Disret Matemati Forelesig : Mer ombiatori Roger Atose Istitutt for iformati, Uiversitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombiatori 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-04-5 00:06) MAT00 Disret Matemati 5. april

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

Kombinatorikk. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 20: Kombinatorikk. Repetisjon. Repetisjon

Kombinatorikk. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 20: Kombinatorikk. Repetisjon. Repetisjon Kombiatori MAT Disret matemati orelesig : Kombiatori Roger Atose Matematis Istitutt, Uiversitetet i Oslo 7. april 8 Kombiatori er studiet av opptelliger, ombiasjoer og permutasjoer. Vi fier svar på spørsmål

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag

MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag MA 40: Aalyse Uke 48, 00 http://home.hia.o/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskole i Agder Avdelig for realfag Istitutt for matematiske fag Oppgave 8.7:. Vi har f(x) = cosh(x) = ex +e x. f(0) =. Derivasjo gir f (x)

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2013

Eksamen R2, Våren 2013 Eksame R2, Våre 2013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x b) gx x 6si 7 2x c) hx 3e si3x Oppgave 2 (4 poeg) Bestem itegralet a) variabelskifte 2x dx x 4 2 ved å bruke b) delbrøkoppspaltig

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

Løsning eksamen R2 våren 2010

Løsning eksamen R2 våren 2010 Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c.

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi

Detaljer

Løsning obligatorisk oppgave 3, ingeniørmatematikk 3.

Løsning obligatorisk oppgave 3, ingeniørmatematikk 3. Oppgave eltet har kompoeter og avheger av variable Jacobimatrise er da av forme Partiell derivasjo gir: ( y) ( y) ( y) y J ( x, y, ) x ( x ) x x x y x x e partielt derivert er polyomer og rasjoale fuksjoer

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag

Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag Eksame INF3350/INF4350 H2006 Løsigsforslag Oppgave. Score (eller bit score) S' er e statistisk idikator på hvor sigifikat e match er. Høyere bit score svarer til høyere sigifikas. Idikatore er uavhegig

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Side1av4 HØGSKOLEN I NARVIK Istitutt for data-, elektro-, og romtekologi Siviligeiørstudiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital sigalbehadlig Tid: Fredag 06.03.2008, kl: 09:00-12:00 Tillatte

Detaljer

f '( x) 28x 6x 2 ( 2) x x 4(3t 2 s) 6s 2x 6(3t 2 s) 2t ln x 2ln y med bibetingelsen 2x y m. Her er m 0

f '( x) 28x 6x 2 ( 2) x x 4(3t 2 s) 6s 2x 6(3t 2 s) 2t ln x 2ln y med bibetingelsen 2x y m. Her er m 0 Fsit obligtorisk oppgve Oppgve (9 poeg) Deriver følgede fuksjoer med hes på lle rgumeter ) f ( ) 7 f '( ) 8 6 svr: b) Svr: g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) c) h( ) f ( )( ) Svr: h( ) f '( )( ) f ( ) d) Svr:

Detaljer

3. Beregning av Fourier-rekker.

3. Beregning av Fourier-rekker. Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +

Detaljer

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver

Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1 Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte

Detaljer

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

Eksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del : Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar: Del 1 skal leverast

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele:

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

I dag: Produktfunksjoner og kostnadsfunksjoner

I dag: Produktfunksjoner og kostnadsfunksjoner ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Hva er dekket i disse otatee? Seks forelesiger av meg i ECON2200 våre 2010 8. og 22. februar, 2., 9. og 15. mars og 3. mai Legges ut på emeside

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

Refleksjon og brytning av bølger

Refleksjon og brytning av bølger Refleksjo og brytig a bølger Når i å skal studere oe bølgefeomeer, bruker i oerflatebølger på a som eksempel. Derfor begyer i med å gjøre oss kjet med abølger. Fotografiee edefor iser to eksempler på bølgeformer

Detaljer

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 9. 3. Faglærer: Christia F Heide Kalkulator

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( +

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater

Detaljer

Prosedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi

Prosedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi Jo Vislie; mars 07 ECO 00 07 Prosedyre for løsig av ogaver Jeg sal ved hjel av oe ogaver/esemler fra rodusetes tilasig, gi forslag til rosedyre/hjel/veivalg til å løse ogaver i ECO 00. Det er tre tyer

Detaljer

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi Forelesig Elkrafttekikk, 7.08.004 Oppdatert 3.08.004 Skreet a Ole-Morte Midtgård HØGSKOEN I AGDER Fakultet for tekologi Komplekse tall og isere Komplekse tall er sært yttige i aalyse a elkraftsystemer.

Detaljer

FINNE n-te RØTTER AV KOMPLEKSE TALL

FINNE n-te RØTTER AV KOMPLEKSE TALL FINNE -TE RØTTER AV KOMPLEKSE TALL SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Vi utdyper det som står helt i slutte av Appediks I i læreboke etter Example 7. Ata at vi vil fie alle -te røttee til et gitt

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer