ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

Transkript

1 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38

2 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig i ulike sitausjoer: (a) for forvetige, μ, i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. (b) (c) for forvetige, μ, i målemodelle med stor og (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk modell; stor og. (Blir gjemogått i dag!) Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 3/ 38 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Målemodelle m/ormalatakelse og kjet σ 2 : måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,..., X i ormalfordelt og σ 2 kjet. Test (m/ sig.ivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 z α σ 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 4/ 38

3 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Test (m/ sig.ivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 σ Forkast H 0 dersom X μ 0 z 2 α Ekvivalet (stadardisert teststørrelse): Forkast H 0 dersom X μ 0 σ 2 z α Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 5/ 38 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel 10 ph-måliger: 6.00, 5.59, 5.74, 3.43, 5.30, 6.48, 5.15, 4.28, 4.52, 6.20 Gjeomsitt: 5.27; ormalatakelse med kjet varias lik 1.0 Test (m/ sig.ivå α =0.05) for H 0 : μ =6.0 mot H 1 : μ<6.0 1 Forkast H 0 dersom X =5.48 Ekvivalet: Forkast H 0 dersom X Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 6/ 38

4 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Gjeomførig/koklusjo: Data: utfall av X: 5.27 < kritisk verdi= 5.48 Koklusjo: Forkast H 0 Alterativt: Utfall av: X : = 2.31 <k= Koklusjo: Forkast H 0 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 7/ 38 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Test (m/ sig.ivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ>μ 0 σ Forkast H 0 dersom X μ 0 +z 2 α Test med stadardisert teststørrelse: Forkast H 0 dersom X μ 0 z α σ 2 Jf. eksempel med blodsukkermåligee. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 8/ 38

5 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel 10 blodsukkerih.måliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Gjeomsitt: 4.35; ormalatakelse med kjet varias lik Test (m/ sig.ivå α =0.05) for H 0 : μ =4.0 mot H 1 : μ>4.0 Forkast H 0 dersom X 4.26 Ekvivalet: Forkast H 0 dersom X Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 9/ 38 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test (m/ sig.ivå α =0.05) for H 0 : μ =4.0 mot H 1 : μ>4.0 Forkast H 0 dersom X 4.26 Ekvivalet: Forkast H 0 dersom X Lag e test med sigifikasivå 0.025! ( X form og stadardisert form.) Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 10 / 38

6 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig i ulike sitausjoer: (a) for forvetige, μ, i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. (b) for forvetige, μ, i målemodelle med stor og (variase, σ 2, ukjet). Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 11 / 38 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Målemodelle: måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,. σ 2 (og μ ) ukjet; (ige forutsetig om fordelig til X i ee eller om kjet varias) Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 S Forkast H 0 dersom X μ 0 z α Estimator for variase: S 2 = σ 2 = 1 ( 1 i=1 Xi X ) 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 12 / 38

7 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 S Forkast H 0 dersom X μ 0 z α Ekvivalet (stadardisert teststørrelse): Forkast H 0 dersom X μ 0 S 2 z α Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 13 / 38 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ>μ 0 S Forkast H 0 dersom X μ 0 +z α Test med stadardisert teststørrelse: Forkast H 0 dersom X μ 0 z α S 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 14 / 38

8 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Eksempel: E type tabletter ieholder et stoff R. Iholdet pr. tablett må helst ikke overstige 30 mg. I e kotroll ble iholdet i 50 tilfeldig utvalgte tabletter registrert. Resultat (x 1,...,x 50 ): Gjeomsitt: x =30.7; empirisk stadardavvik: s = i=1 (x i x) 2 =4.0 Gir dette grulag for å hevde at iholdet av R er mer e 30 mg? Formuler problemet som et hypotesetestigsproblem, og gjeomfør teste! Ev.: Bruk sigifikasivå... Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 15 / 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 16 / 38

9 Oversikt 1. Geerelt om hypotesetestig 2. Hypotesetestig i ulike sitausjoer: (a) for forvetige, μ, i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. (b) (c) for forvetige, μ, i målemodelle med stor og (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk modell; stor og. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 17 / 38 Geerelt om hypotesetestig Vi ka kokludere feil. To typer feil ka gjøres: type I-feil, ogtype II-feil Virkelighete Koklusjo på test: Forkast H 0 Koklusjo på test: Behold H 0 H 0 riktig I-feil ok! H 1 riktig ok! II-feil Kp. 6: Hypotesetesig del 2 18 / 38

10 Geerelt om hypotesetestig Def.: Sigifikasivå til test = P (forkaste H 0 H 0 riktig) Sigifikasivået er sasylighete at utfallet faller i forkastigsområdet ved e tilfeldighet (og at vi kokluderer med H 1 ), år i virkelghete H 0 er riktig. ph-eks; Forkast H 0 dersom X Nullfordelig til X: N (6, 0.1) Forkastigsområde: (0, 5.48) 1 10 = Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 19 / N (6, 0.1) tetthet Geerelt om hypotesetestig Eks.: ph-måliger Det ble av oe hevdet at ma ikke skulle påstå at ph e var lavere e 6.0 dersom ikke gjeomsittet var lavere e 5.0. Dvs. bruke teste: Forkast H 0 dersom X 5.0 Hva er sigifikasivået til dee teste? Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 20 / N (6, 0.1) tetthet

11 Geerelt om hypotesetestig Sigifikasivå til test = P (forkaste H 0 H 0 riktig) Dvs.: sigifikasivå til test = P (gjøre type I-feil ) Virkelighete H 0 riktig H 1 riktig Koklusjo på test: Forkast H 0 I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H 0 ok! II-feil Lavt sig.ivå: lite sasylighet for type I-feil. Type II-feil. Sasylighete for å ikke gjøre type II-feil år H 1 riktig har med testes styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boke (seiere). Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 21 / 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig i ulike sitausjoer: (a) for forvetige, μ, i målemodelle med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. (b) (c) for forvetige, μ, i målemodelle med stor og (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk modell; stor og. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 22 / 38

12 p, i biomisk modell; stor og Eksempel: Et bestemt parti hadde 20% oppslutig ved sist valg. Meigsmålig å: 91 av 500 spurte (18.2%) vil stemme på partiet. Problem: Har oppslutige gått ed? Ved sist valg: Problem: Hva er å M? Hva er å p = M/N? N stemmebrettigede M stemte på aktuelt parti M/N =0.2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 23 / 38 p, i biomisk modell; stor og p = M : adel som vil stemme partiet å N (ukjet parameter) Estimat av p: =0.182 Er det grulag for å hevde at (virkelig) oppslutig har gått ed? Vi vil teste: H 0 : p =0.2 mot H 1 : p<0.2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 24 / 38

13 p, i biomisk modell; stor og Vi betrakter resultatet av meigsmålige (91 av 500) som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p), = 500, p: ukjet adel. (Egetlig: Y hyperg.(m,n,), me til. Y B(, p)) Dersom H 0 er riktig, har Y fordelige B(500, 0.2): Dette beskriver hva som er tekelige utfall uder H 0 Kp. 6: Hypotesetesig del 2 25 / 38 p, i biomisk modell; stor og Normaltilærmiger: 0.05 Rød kurve: N (100, 80) tetthet Geerelt har vi, år Y B(, p) og p(1 p) 10: tilærmet. ( p = Y ) Y p p(1 p) = p p p(1 p) Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 26 / N(0, 1),

14 p, i biomisk modell; stor og Teststørrelse: vi ka bruke p = Y Nullfordelig (tilærmet): N (forvetigsrett estimator for p) Kp. 6: Hypotesetesig del 2 27 / 38 ( 0.2, 0.2(1 0.2) 500 Små verdier av p idikerer at H 1 er riktig. ) p, i biomisk modell; stor og Kritisk verdi (hva er lite ok?) k =0.2 z α 0.2(1 0.2) 500 gir test med tilærmet sigifikasivå α: sig.ivå = P (forkaste H 0 H 0 riktig) 0.2(1 0.2) = P ( p 0.2 z α p =0.2) 500 = P ( p (1 0.2) 500 z α p =0.2) P (Z z α )=α, der Z N(0, 1) Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 28 / 38

15 p, i biomisk modell; stor og Med 5 % sig.ivå (α =0.05): 0.2(1 0.2) z 0.05 =1.645, k = = Kp. 6: Hypotesetesig del 2 29 / 38 p, i biomisk modell; stor og Gjeomførig/koklusjo: Data: utfall av p: >k=0.17 Koklusjo: behold H 0 ; Det er ikke grulag i dataee for å hevde at virkelig oppslutig har gått ed side sist valg. Kp. 6: Hypotesetesig del 2 30 / 38

16 p, i biomisk modell; stor og Alterativt, stadardisert teststørrelse: p (1 0.2) 500 Nullfordelig (tilærmet): N (0, 1) Små verdier idikerer at H 1 er riktig. Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H 0 dersom p (1 0.2) 500 Ekvivalet med: forkast H 0 dersom 0.2(1 0.2) p k =0.2 z α 500 z α Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 31 / N (0, 1) tetthet p, i biomisk modell; stor og Gjeomførig/koklusjo: Data: Utfall av: p (1 0.2) 500 Kp. 6: Hypotesetesig del 2 32 / 38 : (1 0.2) 500 Koklusjo: Behold H 0 ; Det er ikke... = 1.01 >k= 1.645

17 p, i biomisk modell; stor og Geerelt Situasjo: La p = Y Biomisk modell (ev. som tilærmig til hypergeom.) Data: atall suksesser av mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av de tilfeldige variable Y der Y B(, p) og p er slik at fordelige til Y ka tilærmes med ormalfordelige. (estimator for p). Kp. 6: Hypotesetesig del 2 33 / 38 p, i biomisk modell; stor og Vi vil teste: H 0 : p = p 0 mot H 1 : p<p 0 Teststørrelse: p p 0 p 0 (1 p 0 ) Nullfordelig (tilærmet): N (0, 1) Små verdier idikerer at H 1 er riktig. Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H 0 dersom p p 0 p 0 (1 p 0 ) z α Kp. 6: Hypotesetesig del 2 34 / N (0, 1) tetthet

18 p, i biomisk modell; stor og Vi vil teste: H 0 : p = p 0 mot H 1 : p>p 0 Teststørrelse: p p 0 p 0 (1 p 0 ) Nullfordelig (tilærmet): N (0, 1) Store verdier idikerer at H 1 er riktig. Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H 0 dersom p p 0 z α p 0 (1 p 0 ) Kp. 6: Hypotesetesig del 2 35 / N (0, 1) tetthet p, i biomisk modell; stor og, eksempel Produksjo av tallerkeer; kvalitetsovervåkig Stikkprøve på 200 tilfeldig valgte tallerkeer tas regelmessig av produksjoe og atall defekte registreres. Normalt: 5% defekte i det lage løp Basert på resultatet av e stikkprøve, vil vi teste: H 0 : p =0.05 mot H 1 : p>0.05 Lag e test med tilærmet sigifikasivå 5%, og lag e test med tilærmet sigifikasivå 1%. Hva er tilærmet sigifikasivået til teste: Forkast H 0 dersom det er mist 20 defekte i stikkprøve? Kp. 6: Hypotesetesig del 2 36 / 38

19 p, i biomisk modell; stor og, eksempel Vi vil teste: H 0 : p =0.05 mot H 1 : p>0.05 Teststørrelse: p (1 0.05) 200 Nullfordelig (tilærmet): N (0, 1) Store verdier idikerer at H 1 er riktig. Test (m/ til. sig.ivå 0.05): forkast H 0 dersom p (1 0.05) 200 z 0.05 =1.645 Kp. 6: Hypotesetesig del 2 37 / 38 p, i biomisk modell; stor og, eksempel Test (m/ til. sig.ivå 0.01): forkast H 0 dersom p (1 0.05) 200 z 0.01 =2.326 Sig.ivå = P (forkaste H 0 H 0 riktig) =P (Y 20 p =0.05)... Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 38 / 38