ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

Transkript

1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 1/ 55 Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 2/ 55

2 Oversikt, rep. uke 11 Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor H 0, H 1 ; teststørrelse, nullfordeling, kritisk verdi, forkastningsområde, signifikansnivå Hypotesetesting i ulike sitausjoner: 1. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, μ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 3/ 55 μ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen m/normalantakelse og kjent σ 2 : n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 4/ 55

3 μ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 σ 2 n z α Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ>μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 σ 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 5/ 55 μ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen: n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,n. σ 2 (og μ ) ukjent; (ingen forutsetnning om fordeling til X i ene eller om kjent varians) Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n ( n 1 i=1 Xi X ) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 6/ 55

4 μ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 S 2 n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ>μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 S 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 7/ 55 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Generelt Situasjon: Binomisk modell (ev. som tilnærming til hypergeom.) Data: antall suksesser av n mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av den tilfeldige variable Y der Y B(n, p) n og p er slik at fordelingen til Y kan tilnærmes med normalfordelingen. La p = Y n (estimator for p). Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 8/ 55

5 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 μ, målemodell, 1 μ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for Forkast H 0 dersom H 0 : p = p 0 mot H 1 : p<p 0 p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p>p 0 Forkast H 0 dersom p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 9/ 55 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 10 / 55

6 Oversikt, del 3 Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, μ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 11 / 55 Styrke Signifikansnivå til test = P (forkaste H 0 H 0 riktig) Dvs.: signifikansnivå til test = P (gjøre type I-feil ) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Lavt sign.nivå: sannsynlighet for type I-feil. Type II-feil. Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig har med testens styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boken. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 12 / 55

7 Styrke Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig: = P (forkaste H 0 H 1 riktig) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 13 / 55 Styrke Styrke: = P (forkaste H 0 H 1 riktig) ph-eksempel: Test (m/ sign.nivå α =0.05) for H 0 : μ =6.0 mot H 1 : μ<6.0 (Forkast H 0 dersom X 5.48.) Dersom ph en i virkeligheten var 5.5 (H 1 riktig), hva er da sannsynligheten for at vi vil oppdage det (at H 1 er riktig i virkeligheten)? Tenk: vi skal innhente dataene; vi skal få et utfall av X. Se inntil videre bort fra utfallet (x =5.27) viipraksishar. Mao.: Hva er sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten μ =5.5? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 14 / 55

8 Styrke Sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten μ =5.5, er: P (forkaste H0 μ =5.5) = P (X 5.48 μ =5.5) = P ( X μ =5.5) 1 } 10 {{ } = 0.06 = P (Z 0.06) = (Her er Z N(0, 1). Kritisk verdi, 5.48 = ) Dvs.: En dag virkelig ph er 5.5, er det 47.61% sjanse for at vi vil konludere at ph< 6 med bruk av vår test. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 15 / 55 Styrke Styrke til testen i alternativet μ =5.5 Styrken vil åpenbart variere avhengig hvilken alternativ μ-verdi vi betrakter. Styrken til testen er en funksjon av aktuell parameter; her: P (forkaste H 0 μ = μ 1 ) = P (X 5.48 μ = μ 1 ) = P ( X μ μ 1 μ = μ 1 ) 1 10 = P (Z 5.48 μ 1 )=γ(μ 1 ) 1 10 Obs.: boken bruker β som symbol for styrke; Vi bruker γ Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 16 / 55

9 Styrke Styrken: γ(μ 1 ) = P (forkaste H 0 μ = μ 1 )=P(Z 5.48 μ 1 ) er en funksjon av μ 1 Styrke i alternativene μ 1 =5.75, 5.25 og 5.0: μ (6.0) 5.48 μ 1 1/ γ(μ 1 ) 0.48 μ (6.0) 5.48 μ 1 1/ γ(μ 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 17 / 55 Styrke Plott av styrkefunksjonen: Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. μ (6.0) 5.48 μ 1/ ( 1.645) γ(μ 1 ) (0.05) μ 1 på x-aksen og γ(μ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 18 / 55

10 Styrke Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. 0 Ideell styrkefunksjon: μ 1 på x-aksen og γ(μ 1 ) på y-aksen μ 1 på x-aksen og γ(μ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 19 / 55 Styrke Styrke vs. signifikansnivå For fast n (antall data) kan vi ikke få både lavt sign.nivå og stor styrke. Vi prioriterer lavt sign.nivå. (Usymmetri i valg av H 0 og H 1 ) Lag en test med sign.nivå 0.01 for ph-dataene. Beregn styrken i alternativene 5.75, 5.5, 5.25, og skisser grafen til styrkefunksjonen. Kommenter! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 20 / 55

11 Styrke Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå: rød, og test m/1% nivå: grønn μ 1 på x-aksen og γ(μ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 21 / 55 Styrke Generell definisjon... Situasjon og modell fastlagt; test ang. parameteren θ Følgende er også fastlagt: H 0 og H 1 Teststørrelse, sign.nivå og forkastningsområde / kritisk verdi Def.: Styrkefunksjonen, γ, er definert ved: γ(θ) =P (forkaste H 0 θ). For en bestemt verdi θ 1 (slik at H 1 er riktig), kalles sannsynligheten γ(θ 1 ) for styrken i alternativet θ 1. Styrke (ev. tilnærmet styrke) kan finnes for alle testene vi har sett på til nå, på tilsvarende måte som i de to foregående eksemplene. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 22 / 55

12 Styrke Eksempel, meningsmåling: Resultat: 91 av n = 500 vil stemme aktuelt parti. Er det grunnlag for å hevde at (virkelig) oppslutning har gått ned fra 0.2? Vi vil teste: H 0 : p =0.2 mot H 1 : p<0.2 Test med tiln. 5% sign.nivå: Forkast H 0 dersom p = Y/n Styrken til testen er en funksjon av andelen, p. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 23 / 55 Styrke Styrken er en funksjon av andelen, p. Forp 1 < 0.2: P (forkaste H 0 p = p 1 ) = P ( p 0.17 p = p 1 ) = P ( p p 1 p 1 (1 p 1 ) p 1 p = p 1 ) p 1 (1 p 1 ) 500 P (Z 0.17 p 1 )=γ(p 1 ) p 1 (1 p 1 ) 500 p (0.2) γ(p 1 ) (0.05) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 24 / 55

13 Oversikt, del 3 Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, μ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 25 / 55 Tosidige tester Utgangspunkt: målemodellen med normalantakelse og kjent varians. n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Test av H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 Ensidig alternativ ; tilhørende test: Ensidig test (Tilsvarende ved test av H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ>μ 0 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 26 / 55

14 Tosidige tester Ofte vil man være interessert i å teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0 Tosidig alternativ ; tilhørende test: Tosidig test Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 27 / 55 Tosidige tester Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; kjent varians, σ 2 =25 2. Forventningen, μ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : μ = 300 mot H 1 : μ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 28 / 55

15 Tosidige tester Vil teste: H 0 : μ = 300 mot H 1 : μ 300 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) Z = X N(0, 1) Forkaster H 0 dersom μ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N (0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 29 / 55 Tosidige tester Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α =0.05 α/2 =0.025; z =1.96 Data: Utfall av: X : =2.23 Siden 2.23 >z =1.96, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig hardhet, μ, erulik300kg/mm 2. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 30 / 55

16 Tosidig test, Generelt; tosidig test for μ i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2 : Teststørrelse: Z = X μ 0, Nullfordeling: N (0, 1) σ 2 n Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0 Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N (0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 31 / 55 Tosidig test, Generelt; tosidig test for μ i målemodellen med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = X μ 0, Nullfordeling: N (0, 1), (tiln.) S 2 n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0 Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N (0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 32 / 55

17 Tosidig test, Generelt; tosidig test for p i binomisk modell med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = p p 0, Nullfordeling: N (0, 1), (tiln.) p 0 (1 p 0 ) n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p p 0 Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N (0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 33 / 55 Oversikt, del 3 Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, μ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 34 / 55

18 Test, Test for p i binomisk modell, n Eksempel: En ny medisin for en bestemt sykdom skal prøves ut. Gammel medisin for denne sykdommen helbreder i 60% av tilfellene (fastslått etter lang tids erfaring). Forsøk for å prøve ut den nye: 20 tilfeldig valgte individ med sykdommen får medisinen og det blir registrert at 14 blir helbredet; 14 av 20 er 70%. Tyder dette resultatet på at den nye er bedre enn den gamle? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 35 / 55 Test, Statistisk tenking: Vi betrakter resultatet (14 av 20 helbredet) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n =20, p: ukjent. Obs.: det er rimelig med binomisk fordeling for Y! p er helbredelsessannsynligheten for ny medisin. For den gamle har vi: p =0.6. Vi vil teste H 0 : p =0.6 mot H 1 : p>0.6 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 36 / 55

19 Test, Vi vil teste H 0 : p =0.6mot H 1 : p>0.6 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.6): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 37 / 55 Test, Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). Kritisk verdi, k, finnes vha. binomisk tabell (n =20,p =0.6) slik at sign.nivå = P (forkaste H 0 H 0 riktig) = P (Y k p =0.6) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 38 / 55

20 Test, Fra binomisk tabell: y P (Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P (Y 16) = 1 P (Y 15) = = Dvs., med k =16fårvientestmed sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 39 / 55 Test, Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 14 k =16 Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at ny medisin har høyere helbredelsessannsynlighet. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 40 / 55

21 Tosidig test, Eksempel: Vi har gjort 20 kast med terning; 6 gav partall. Vi er interessert i p = P (partall). Vi betrakter resultatet (6 partall av 20 kast ) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n =20, p: ukjent. Vil teste H 0 : p =0.5 mot H 1 : p 0.5; Ønsker å bruke signifikansnivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 41 / 55 Tosidig test, Vi vil teste H 0 : p =0.5mot H 1 : p 0.5 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.5): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 42 / 55

22 Tosidig test, Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k 1 eller dersom Y k 2, der k 1 og k 2 (kritiske verdier) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). k 1 og k 2, finnes vha. binomisk tabell (n =20,p=0.5) slik at sign.nivå = P (forkaste H 0 H 0 riktig) = P (Y k 1 p =0.5) + P (Y k 2 p =0.5) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 43 / 55 Tosidig test, Fra binomisk tabell: y P (Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k 1 og k 2. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P (Y 5) = , og P (Y 15) = 1 P (Y 14) = = Dvs., med k 1 =5og k 2 =15får vi en test med sign.nivå = Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 44 / 55

23 Tosidig test, Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 6 k 1 =5(eller større enn k 2 ) Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at p 0.5. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 45 / 55 Oversikt, del 3 Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, μ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 46 / 55

24 t-fordeling Rett på definisjon: Utgangspunktet er målemodellen med normalantakelse: X 1,...,X n,u.i.f.tilf.var.derx i N(μ, σ 2 ). La σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2,og T = X μ S 2 n Def. Student s t-fordeling: Dersom X 1,...,X n,ern u.i.f. tilf. var. der X i er normalfordelt med forventning μ og varians σ 2, i =1,...,n,såerT (Student s) t-fordelt med n 1 frihetsgrader: T t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 47 / 55 t-fordeling Obs: I den beskrevne situasjonen har vi: X μ σ 2 n N(0, 1) og X μ S 2 n t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 48 / 55

25 t-fordeling Egenskaper til t-fordelingen: n(x) f1(x) f2(x) f15(x) t-fordelingen er avhengig av n. Den blir mer og mer lik N (0, 1)-fordelingen når n øker. symmetrisk omkring 0 tyngre haler enn N (0, 1)-fordelingen t-tabell!! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 49 / 55 t-fordeling Fraktiler i t-fordelingen: Def. t α,d Dersom T er (Student s) t- fordelt med d frihetsgrader, defineres tallet t α,d ved at P (T >t α,d )=α. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 50 / 55

26 t-test Situasjon der vi bruker t-test: Målemodellen m/normalantakelse og ukjent varians, σ 2 : n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Obs. 1: X i normalfordelt Obs. 2: n (Dersom n er stor, trenger vi ikke bry oss med t-fordeling.) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 51 / 55 t-test Eksempel: 10 blodsukkerinnh.målinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker å teste H 0 : μ =4.0 mot H 1 : μ>4.0 Vi antar at: De n =10målingene: x 1,...,x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. Variansen,σ 2 estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 52 / 55

27 t-test Vil teste: H 0 : μ =4 mot H 1 : μ>4 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 4 S 2 10 t(9) Forkaster H 0 dersom μ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom f9(x) 0.1 Z t α/2, t(9) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 53 / 55 t-test Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α =0.05 t 0.05,9 =1.83 Data: (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ) Utfall av: X 4 S 2 10 : =1.962 Siden >t 0.05,9 =1.83, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig blodsukkerinnhold, μ, er større enn 4. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 54 / 55

28 t-test Generelt, tosidig... Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 55 / 55