TMA4240 Statistikk H2010

Transkript

1 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer : Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper, som har vuet hoppuka 5 gager. Ha la opp i 008, me gjorde et come-back for OL i 00. Åge Aleksaderse har laget sag om smilet til Ahoe. Me, før OL i 006 i Torio - så gikk treere til Jae Ahoe ut i presse og mete at orske hoppdommere kosekvet gir Jae Ahoe lavere stilkarakterer e adre dommere. Norsk Regesetral kikket på tallee fra sesogee (t.o.m. OL) og fat at de var eig med Ahoes treer. Vi ser på tall fra 36 hoppre, gjeomsittlig karakter til Ahoe fra orske dommere og fra iterasjoale dommere (ikke orske og fiske) Hvorda skal vi rege på dette? 3 To utvalg: estimatorer (REPETISJON) A, X A,..., X A er et tilfeldig utvalg fra e populasjo som beskrives av e ormalfordelig med forvetig µa og varias σ A. B, X B,..., X B er et tilfeldig utvalg fra e populasjo som beskrives av e ormalfordelig med forvetig µb og varias σ B. Estimator for µa µb: ˆµA ˆµB = X A X B = A i= X A i B j= X B j (ituitiv og SME). A X B er ormalfordelt med E(X A X B) = µa µb Var(X A X B) = σ A + σ B 4 To uavhegige utvalg: kofidesitervall ( α)00% kofidesitervall for µa µb : år σ A og σ B er kjet: [(x A x B) ± z α σ A + σ B år σ A = σ B = σ, me ukjete:,( A+ )sp + år σ A og σ B er ukjete (ikke like): der,ν s A + s B (s A ν = / A + s B / B) [(s A / A) /( A ) + [(s B / B) /( B )

2 5 Ahoe: to uavhegige utvalg A, X A,..., X A er et tilfeldig utvalg fra e populasjo av stilkarakterer til Ahoe fra orske dommere. Atar ormalfordelt med forvetig µa og varias σ A = σ. B, X B,..., X B er et tilfeldig utvalg fra e populasjo av stilkarakterer til Ahoe fra iterasjoale dommere (ikke orske og fiske). Atar ormalfordelt med forvetig µb og varias σ B = σ. Atar A-utvalget er uavhegig av B-utvalget! Lik, me ukjet varias: Estimator S p. Kofidesitervall,( A+ )sp + 6 To utvalg: σ A = σ B, me ukjete Defier: S A = i= (X A i X A) og S B = (X j B X B) j= Hvis vi vet at σ A = σ B = σ så ka vi lage e estimator S p (pooled) basert på summe av kvadratavvikee i de to utvalgee: S p = + [ (X i A X A) + (X j B X B) i= j= = ( A )S A + ( B )S B + der X A = A i= X A i og X B = B j= X B j. Ahoe-data fra 36 re Ahoe-data som differaser fra 36 re

3 9 Kofidesitervall for µa µb for parvise observasjoer Hvis d og er gjeomsittet og stadardavviket til ormalfordelte differaser av par av tilfeldige observasjoer, så er et (-α)00% kofidesitervall for µd = µa µb d t α,( ) < µd < d + t α,( ) hvor t α,( ) er verdie i t-fordelige med frihetsgrader som har areal α til høyre, dvs. P(T > t α,( ) ) = α. Ser at dette er i tråd med ett utvalg, kofidesitervall for µ: x t α,( ) s < µ < x + t α,( ) s 0 Kofidesitervall for µa µb for parvise observasjoer Hvis d og er gjeomsittet og stadardavviket til ormalfordelte differaser av par av tilfeldige observasjoer, så er et (-α)00% kofidesitervall for µd = µa µb d t α,( ) < µd < d + t α,( ) hvor t α,( ) er verdie i t-fordelige med frihetsgrader som har areal α til høyre, dvs. P(T > t α,( ) ) = α. Ser at dette er i tråd med ett utvalg, kofidesitervall for µ: x t α,( ) s < µ < x + t α,( ) s 9.: Kofidesitervall for varias La X, X,..., X være et tilfeldig utvalg fra e populasjo som beskrives av e ormalfordelig med forvetig µ og varias σ. S = i= (X i X) er e estimator for σ (forvetigsrett, me ikke SME). Størrelse V = ( )S σ er kjikvadrat-fordelt med frihetsgrader. 9.: Kofidesitervall for varias Et ( α)00% kofidesitervall for σ er ( )S χ α,( ) < σ < ( )S χ α,( ) hvor χ α,( ) er verdie i kjikvadrat-fordelige med frihetsgrader som har areal α til høyre, dvs. P(V > χ α,( )) = α, og χ α,( ) er verdie i kjikvadrat-fordelige med frihetsgrader som har areal α til vestre, dvs. P(V < χ α,( )) = α.

4 3 Studeter og bilkjørig Følgede tabell er tatt fra TMA440 spørreudersøkelse i 00. Her agir atall studeter i utvalget som hadde sertifikat, og x atall studeter som svarte at de er bedre e gjeomsittet av Norges befolkig til å kjøre bil. Talle i paretes er fra (37) (9) 0.0 (0.4) 56 (39) 8 (59) 0.3 (0.4) x x Me (0) 6 (50) 0.46 (0.49) Kvier Alle a) Fi puktestimat og 99% kofidesitervall for adele av studeter som syes sie kjøreegeskaper er bedre e gjeomsittet. b) Fi puktestimat og 99% kofidesitervall for differese mellom adele av malige studeter og kvilige studeter som syes sie kjøreegeskaper er bedre e gjeomsittet. 4 Estimerig av adel: ett utvalg er atall suksesser i et biomisk forsøk med parametere atallet og adele p. Vi vil estimere p. ( er kjet.) Estimator ˆp = X (ituitiv og SME). E(ˆp) = p og Var(ˆp) = p( p). Tilærmet ( α)00% kofidesitervall for p (ormaltilærmig): [ˆp ± z α ˆp( ˆp) 5 Estimerig av adel: to utvalg A er atall suksesser i et biomisk forsøk med parametere atallet og adele pa. B er atall suksesser i et biomisk forsøk med parametere atallet og adele pb. Vi vil estimere pa pb. Estimator ˆpA ˆpB = X A X B. E(ˆpA ˆpB) = pa pb og Var(ˆpA ˆpB) = p A( pa) + p B( pb). Tilærmet ( α)00% kofidesitervall for pa pb (ormaltilærmig): [(ˆpA ˆpB) ± z α ˆpA( ˆpA) + ˆp B( ˆpB)

5 Forsikrigsselskapee sluttet i 006 med å føre detaljert statistikk over kvier og mes skaderisiko i bil. Da ble det forbudt å gi kvier og me forskjellig priser på si bilforsikrig.