ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

Transkript

1 ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.) 4. Estimere, estimat, estimator 5. Itervallestimerig (kofidesitervall) (kp. 5.4) i målemodell med a) ormalatakelse og kjet varias, eller med b) ormaltilærmig i biomisk modell med ormaltilærmig

2 Sasylighetsregig med statistikk Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk. Sasylighetsteori, sasylighetsregig. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig Estimerig i biomisk modell Dersom vi har situasjoe ~Bi(, p), og vi vet verdie på p (og ), ka vi berege alle øskede sasyligheter og relaterte størrelser. I praksis er det ofte e eller flere ukjete parametere i de sasylighetsmodelle som betraktes. 5

3 Estimerig i biomisk modell I praksis er det ofte e eller flere ukjete parametere i de sasylighetsmodelle som betraktes. Eks.: Kvalitetskotroll m/stikkprøver av løpede produksjo. E og ae ehet er defekt; f.eks.: 5% defekte (i det lage løp) ases som ormalt. 6 Estimerig i biomisk modell Eks.: Stikkprøver: tilfeldig valgte eheter hver time; la i være at. defekte i stikkpr. r. i. Ma ser på i /, for i=,,,... 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 st ikkpr. ormal, 5% 0,0 0,

4 Estimerig i biomisk modell Eks.: I slike situasjoer er det ofte rimelig å ata: i ~Bi(, p i ); p i er å e ukjet parameter ( i : tilfeldig variabel) p i : uderliggede defektsasylighet på det tidspuktet stikkpr. r. i blir tatt. 0, p i = 0.05: ormalt 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 stikkpr. ormal, 5% p i > 0.05: ikke ormalt, oe har forårsaket økt adel defekte (uormalt stor adel defekte) 0, Estimerig i biomisk modell Eksempelet: ma estimerer verdie på e ukjet parameter (i e sasylighetsmodell). Geerelle problemstilliger hvorda gjøre estimat (greitt i eks.)? hva med usikkerhet i estimatet? hvorda trekke koklusjoer på bakgru av estimatet? (kp. 6) 0, 0,0 0,08 0,06 stikkpr. ormal, 5% 0,04 0,0 0,

5 Estimerig i biomisk modell La = atall defekte i e stikkprøve på eheter. Vi har da: ~Bi(, p); Resultatet, x, av stikkprøve ses på som et utfall av p = defektsasylighet (ukjet) Estimat : x ( tall somer et aslag på p) Estimator : pˆ (tilfeldig variabel) Estimerig i biomisk modell Estimatore pˆ er forvetigsrett for p. E( pˆ) p Fortolkig: gjeomsittsresultatet av mage (ev. tekte) repetisjoer ærmer seg virkelig p. Bevis : E( pˆ) E E p p 5

6 Estimerig i biomisk modell Mål på statistisk usikkerhet: Var( pˆ) p( p) SD( pˆ) p( p) Bevis : Var(pˆ) Var Var p( p) p( p) 7 Estimerig i biomisk modell Eks.: 7 defekte av =00. Estimat av p:... Estimat av stadardavvik tilhørede estimatet:... 8

7 Estimerig i biomisk modell Eks.: Meigsmålig 400 av 00 spurte vil stemme på et bestemt parti. Resultat av meigsmålig: (400 av 00 er.%).% oppslutig om partiet Statistisk usikkerhet??? Estimerig i biomisk modell Eks.: Meigsmålig 400 av 00 spurte vil stemme på et bestemt parti. Statistisk tekig: tilfeldig utvalg fra de N i populasjoe (der M vil stemme på partiet) De virkelige er adele M N. oppslutige

8 Estimerig i biomisk modell Eks.: Meigsmålig 400 av 00 spurte vil stemme på et bestemt parti. Statistisk tekig: Resultatet av meigsmålige ka oppfattes som et utfall e tilfeldig variabel, Y, der Y er hypergeometrisk fordelt (N, M, ), (=00). Y er et virkelige estimat er av adele de M N. 5 Estimerig i biomisk modell Eks.: Meigsmålig 400 av 00 spurte vil stemme på et bestemt parti. Statistisk aalyse: er lite i forhold til N. Derfor er Y tilærmet biomisk fordelt: Y er tilærmet ~ B( 00, p ), der p M N. 6

9 Estimerig i biomisk modell Eks.: Meigsmålig 400 av 00 spurte vil stemme på et bestemt parti. Statistisk aalyse: estimat av p: y Estimator : pˆ Y ; stadardavvik til estimator : SD( pˆ) p( p) estimat av stadardavvik til estimator : 0.( 0.) Estimerig i biomisk modell Geerelt om estimerig: Estimat (tall) Estimator (tilfeldig variabel) forvetig og varias/std.avvik til estimator estimert std.avvik til estimator Forvetigsrett estimator Best estimator (seiere) 9

10 Estimerig i biomisk modell Estimerig av suksessasylighete i biomisk modell: ~ B(, p) Estimator for p : pˆ Forevtigsrett : E pˆ p Varias til estiamtor : Var pˆ p( p) 0 Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.) 4. Estimere, estimat, estimator 5. Itervallestimerig (kofidesitervall) (kp. 5.4) i målemodell med a) ormalatakelse og kjet varias, eller med b) ormaltilærmig i biomisk modell med ormaltilærmig

11 Målemodelle (kp. 5.) Ofte er situasjoe at våre data er fra e kotiuerlig variabel; f.eks. dataee x, x,..., x er måliger av bruddstyrke måliger av ph i et va måliger av blodsukkerihold for e perso... Målemodelle (kp. 5.) Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x, x,..., x ) av ph i Breiavatet; 6.00, Gjeomsitt: 5.7,00 4,00 5,00 6,00 7,00

12 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x, x,..., x ) av ph i Breiavatet; 6.00, Gjeomsitt: 5.7 Statistisk takegag: Vi oppfatter de 0 måligee som utfall av e (kotiuerlig) fordelig:,00 4,00 5,00 6,00 7,00 målig x i betraktes som utfall av tilfeldig variabel i 4 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x, x,..., x ) av ph i Breiavatet; 6.00, Gjeomsitt: 5.7 Statistisk takegag: Vi oppfatter de 0 måligee som utfall av e (kotiuerlig) fordelig: Målemodelle: måliger, x, x,..., x, betraktes som utfall av tilfeldige variable:,,...,, og,,..., atas å være uavhegige og idetisk fordelte tilfeldige variable.,00 4,00 5,00 6,00 7,00 (Ofte er fordelige til i ee kotiuerlig.)

13 Målemodelle (kp. 5.) Målemodelle: Side,,..., er (atas å være) idetisk fordelte, har alle samme forvetig og varias: Forvetig : Varias : for i,, E( i) Var( ) i,,00 4,00 5,00 6,00 7,00 6 Målemodelle (kp. 5.) Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x, x,..., x ) av ph i Breiavatet; 6.00, Gjeomsitt: 5.7 Målemodelle, fortolkig: E( i ) : virkelig ph,00 4,00 5,00 6,00 7,00 Var(i) : grad av tilfeldig variasjo omkrig virkelig verdi 7

14 Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.) 4. Estimere, estimat, estimator 5. Itervallestimerig (kofidesitervall) (kp. 5.4) i målemodell med a) ormalatakelse og kjet varias, eller med b) ormaltilærmig i biomisk modell med ormaltilærmig 8 (Pukt)Estimerig i målemodelle Ukjete parametere i målemodelle: forvetig og varias, og. Estimatorer: ˆ ˆ S i i 9

15 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks.: Vi har gjort =0 måliger (x, x,..., x ) av ph i Breiavatet; 6.00, Gjeomsitt: 5.7 Estimat av forvetig: 5.7 Estimat av varias: {( ) +...+(6.-5.7) }/9 = = 0.90 Obs.: Estimatee er (valige) tall; Estimatoree er tilfeldige variable! 40 (Pukt)Estimerig i målemodelle Estimatoree E(ˆ) E ˆ og ˆ er forvetigsrette: E( ) E( ) 4

16 4 (Pukt)Estimerig i målemodelle Fortolkig av forvetigsretthet?,00 4,00 5,00 6,00 7,00 ˆ) E( 4 (Pukt)Estimerig i målemodelle Varias til estimatore : ˆ 0) (kovariaser ) Var( Var( ) Var Var(ˆ)

17 (Pukt)Estimerig i målemodelle Estimatore ˆ er forvetigsrett: E ˆ E i i 44 (Pukt)Estimerig i målemodelle Geerelt: Vi har måliger, x, x,..., x, og tilhørede tilfeldige variable,,,...,. La være e (ukjet) parameter i fordelige til i ee, og ˆ e estimator av. ˆ Vi sier er forvetigsrett for, dersom E( ˆ) (Begrepet og defiisjoe gjelder ikke bare for målemodelle, aturligvis også for biomisk modell, Poissomodell, osv....) 45

18 (Pukt)Estimerig i målemodelle Geerelt om best estimator: Dersom vi ka velge mellom flere forvetigsrette estimatorer, velger vi de med mist varias. 46 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: Det var plalagt 5 måliger av ph i et bestemt va. 0 måliger med bra apparat; 5 måliger med reserveapparat (midre presist). Gj.s. av 0 første: 5.8 Gj.s. av 5 siste : 6. Er gjeomsittet (5.8+6.)/ = 6.0 det beste aslaget (estimatet) av virkelig ph? 48

19 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: Det er oppgitt fra måleistrumetleveradøre at måliger med bra app. har tilh. std.avvik =, og måliger med det adre app. har tilh. std.avvik=4. 0 første måliger: x,..., x 0 5 siste måliger : y,..., y 5 49 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: 0 første måliger: x,..., x 0 ; 5 siste måliger : y,..., y 5 ; Metoder: : x y x y 6.0 : 5 x x 0 y y x 5 5 y 6.06 : x y

20 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: ph: 6.0, 6.06 eller 5.86???? Hva skal vi rapportere? Hva skal begruelse for valget være? : x y : : 5 x x 0 y y 5 x 0 x 5 x y 5 y y (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: Statistisk aalyse vha. målemodell (x) og estimerigsteori!,, 0 ; E( ), (0 uavhegige og idetisk i SD( ) i fordelte tilf.var.) Y,,Y 5 ; E(Y ), i SD( ) 4 (5 uavhegige og idetisk fordelte tilf.var.) i 5

21 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator:,, 0 ; E( ), (0 uavhegige og idetisk i SD( ) i fordelte tilf.var.) Y,, Y 5 ; E(Y ), i SD( ) 4 (5 uavhegige og idetisk fordelte tilf.var.) i Vi vil estimere forvetige, estimator!, med best De tre metodee aalyseres som tre estimatorer! 5 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: 5 uavhegige tilfeldige variable:,..., 0, Y,..., Y 5 ; Estimatorer: ˆ Y ˆ Y ˆ Y 54

22 (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: Vi ka vise at alle tre estimatoree er forvetigsrette. Vis dette! Vi bør da velge de som har mist varias. Vi får: ˆ ˆ ˆ 0 5 Y 5 5 Y Y Var Var ˆ ˆ Var ˆ (Pukt)Estimerig i målemodelle Eks., Best estimator: Med adre ord: estimator r. er de beste. Vi bør rapportere (og ha mest tillit til) resultatet: x y 5.86 ˆ ˆ ˆ 0 5 Y 5 5 Y Y Var ˆ 0.9 FORTOLKNING Var ˆ 0.40 Var ˆ Demo-best estimator-4.xls 56