TMA4240/4245 Statistikk 11. august 2012

Transkript

1 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA424/4245 Statistikk. august 22 Eksame - løsigsforslag Oppgave Vi har N Nµ,σ 2, µ 85 og X > 88. a X µ X > 88 σ > 88 µ Z > Z > 3/σ.. σ σ Z 3/σ..2 3/σ.28 σ 3/ X µ X > 9 σ > 9 µ Z > 9 85 Z σ b Vi har 6 uavhegige forsk spydkast, kast over 88 meter suksess, suksess. p, mao. e biomisk fordelig. X 3 X < 3 X 2+X +X.6 6 X 2 p x p x x 2 6 X X X Legste kast over 88 meter mist e suksess. c Gjeomsitt: X X x x i 5 5 x i m.2 5 i i aug2-lf 6. september 22 Side

2 Empirisk stadardavvik: s x i x 2 4 i 5 x i i m.4 d Vi får følgede hypotese: Teststatistikk: H : µ 85m mot H : µ > 85m.5 t x µ s/ / Kritisk verdi: t α, t.5, Side t < t.5,4 ka vi ikke forkaste H ved sigifikasivå.5. Alterativt, p-verdi:.5 < T > t <.75, side p-verdi>.5 ka vi ikke forkaste H ved sigifikasivå.5. e Et kofidesitervall er et itervallestimat av e parameter. Et prediksjositervall er et itervallestimat av e y observasjo. Et prediksjositervall er gitt ved x t α/2, s +, x+t α/2, s + 87.± /5.7 Så prediksjositervallet til det sjette spydkastet er 79.66, Oppgave 2 Normalfordelig: Dybdemåligee fra Rybekke ser ormalfordelt ut fordi. og 3. kvatil er tilærmet like lagt fra mediae og det er få ekstremobservasjoer. Dette vil gi e ærmest symmetrisk fordelig som kjeeteger bl.a. ormalfordelige. Dataee fra Sylsjødamme har e mer skjev fordelig da 3. kvatil ligger betraktelig legre fra mediae e. kvatil. De har i tillegg flere og mer ekstreme observasjoer. Derfor er disse trolig ikke ormalfordelt. Forvetet sødybde: Vil være høyere ved Sylsjødamme e ved Rybekke pga oe ekstremt høye verdier, me de store variasjoe i dataee vil trolig gjøre at forskjelle mellom stedee ikke er statistisk sigifikat, mao forvetet sødybde er like. Varias: ser ut til å være betraktelig større ved Sylsjødamme e ved Rybekke pga legre avstad mellom mediae og 3. kvatil og de store ekstremobservasjoee. Oppgave 3 Vi fier først de kumulative sasylighetsfordelige: F X x X x x f X udu x u e du x e u x e 3.

3 a X 2 e 2 4 e EX xf X xdx Setter i u x og du dx du dx, ue u du u e u e u x x e e u du + dx 3.3 e u du mg 3.5 X < 4 X > 2 b La x x...,x. X < 4 X > 2 e 4 4 +e 2 4 e x dx e x 2 < X < 4 e x/4 4 2 e e u e u 2/ 2/ e u du EX X > e + e u 2/ 2 2 e +e e mg 3. Lx f X x i i i lx llx l lx x i e e x i i 3. x i 3.2 i + 2 x i 2 x i i i 3.3 x i x 3.4 i Side lx ˆ SME x. > for < x og lx Eˆ E x E < for > x er x et globalt maksimum og x i i Ex i i 3.5 i

4 Fier Ex 2 : x 2 x e x 2 x e x 2 Ex 2 x 2 f X xdx dx dx dx 2e u 2 e u du u 2 2 e u 2 u e u du ue u du 2 u e 2 u e u du Dermed er Varx Ex 2 Ex Ma ka også gjekjee f X x e x som ekspoetialfordelige med forvetig og varias 2. Varˆ Var x i i 2 i Varx i 2 i 2 2 x 3.9 c Side X i ee er uavhegige og idetisk fordelt, sier setralgreseteoremet at X er ormalfordelt med forvetig og varias 2 /. Dette ka brukes til å tilærme kofidesitervallet til da z α/2 < X X/ < z α/2 α 3.2 X z α/2 X < < X +z α/2 X α 3.2 Med α.5 og X 5.2 mg får vi: 5.2± , Alterativt, ka ma rege kofidesitervallet eksakt: z α/2 < X / < z α/2 α 3.23 X +z α/2 / < < X z α/2 / α 3.24 Med α.5 og X 5.2 mg får vi: / 5 4.7, d Vi har Y 2X og f Xx e x. Vi setter y 2x x y 2 wy 3.26 og får w y 2. Vi fier tetthetsfuksjoe til Y: g Y y f X wy w y e y e y 2 y > 3.27

5 Videre er e kjikvadratfordelig defiert som h Y y ν 2 ν/2 Γν/2 yν/2 e y/ ogviseratg Y y h Y y νårν 2,maoY er e kjikvadratfordelig med 2 frihetsgrader. La Ỹ i Y i. Dette er e sum av uavhegige kjikvadratfordelte variabler med 2 frihetsgrader, derfor er Ỹ kjikvadrafordelt med ν i2 2 frihetsgrader. Vi ka skrive Ỹ Y i 2X i / 2 X i / 2 X/ 3.29 i i Et kofidesitervall for e kjikvadrafordelt variabel er χ 2 α/2,ν < Ỹ < χ2 α/2,ν α 3.3 χ 2 2 X α/2,ν < < χ2 α/2,ν α X 2 X < < α 3.32 χ 2 α/2,ν χ 2 α/2,ν i < < Så det eksakte 95% kofidesitervallet for er 4.,