ST1201 Statistiske metoder

Transkript

1 ST20 Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember 2005 Oppgave a Ma beyttet radomisert blokkdesig. I situasjoe har ma k = 5, b = 5, = kb = 75. ANOVA-tabelle blir Kilde df SS MS F P-verdi Istrumet k = = = Objekt b = = = Error = = Total = der SST R = = Modelle er: Y ij = µ j + β i + ɛ ij ; ɛ ij N0, σ 2, hvor µ j : effekte av istrumet r. j β i : effekte av objekt r. i ɛ ij : tilfeldig feil eksdes05l Jauary 2, 2006 Side

2 b H 0 for p-verdi i første lije: H 0 for p-verdi i adre lije: H 0 : µ = µ 2 =... = µ 5 H 0 : β = β 2 =... = β 5 Forskigsistitusjoe er iteressert i de første p-verdie, dvs. er det forskjell mellom istrumetee. P -verdie er avrudet til ull, så koklusjo blir forkast H 0, dvs. det er forskjell mellom måleistrumetee. Oppgave 2 Teoretiske mometer er E[X] = r λ E[X 2 ] = Var[X] + E[X] 2 = r λ 2 + Mometestimatoree er dermed gitt ved Dette gir Dermed λ 2 = r λ, i= i= [ λ r = λ X 2 i = λ i= Xi 2 = i=. i= i= Xi 2 r 2 r + r = λ λ 2 r + r λ 2, + λ i= 2 ] = i= λ i= = i= X2 i i= X og r = i 2 i= i= 2 i=. 2 i= X2 i eksdes05l Jauary 2, 2006 Side 2

3 Oppgave 3 a Rimelighetsfuksjoe blir L = log-rimelighetsfuskjoe blir l = i= f X x i, = i= i= [ 2π e 2 x i 2 ] ; [ 2 l2π 2 l ] 2 x i 2 = 2 l2π 2 l 2 Deriverer for å fie maksimumspukt, l = x i 2. i= Fier SME ved å sette de partiellderiverte lik ull, x i 2. i= l = 0 = x i 2 = i= x i 2. i= Dermed For at vet ma at = = 2. i= i= Xi 2, N, N0, fordi -ee er uavhegige. Xi 2 χ 2, og dermed Xi 2 χ 2, i= eksdes05l Jauary 2, 2006 Side 3

4 b Vet fra a at b χ2. Dette gir E = E[ ] [ ] = E =, Var = 2 2 Var[ ] [ ] 2 2 = 2 Var =. Beytter Cramer-Rao: f X x; = 2π e 2 x 2 l f X x; = 2 l2π 2 l x 2 2 l f Xx; = 2 + x l f Xx; = x 2 23 [ 2 ] [ E 2 l f XX; = E ] X 2 = Var[X] = = 2 2 { [ ]} 2 E 2 l f XX; = 22 = Var[ ] Ehver forvetigsrett estimator, for har Var[ ] Var[ ]. Derfor er e beste estimator. c Vet at V = b χ2 slik at P χ 2 α 2, χ2 α 2, = α Me χ 2 α 2, χ 2 α 2, eksdes05l Jauary 2, 2006 Side 4

5 dvs. χ2 α 2, χ 2 α 2, P χ 2 α 2, og α00% kofidesitervall for blir: χ 2 α 2, = α, [ ] b ; b. χ 2 α χ 2 2, α 2, d Det er rimelig å forkaste H 0 dersom k l eller k r. Bestemmer k l og k r fra kravee: P k H0 l = α2, P k H0 r = α 2 som er det samme med P k l H0 = α 2, P k r H0 = α 2 dvs. Derfor, er beslutigsregele som k l = χ 2 α 2, og k r = χ 2 α 2, k l = χ2 α 2,, k r = χ2 α 2, Forkast H 0 dersom χ2 α 2, eller χ2 α 2,. Styrkefuksjoe blir β = P Forkast H 0 = P χ2 α 2, + P χ2 α χ2 = P β = P V α 2, χ 2 α 2, χ2 + P α χ 2 α + P V 2, 2, 2,, år V χ 2. eksdes05l Jauary 2, 2006 Side 5

6 Med α = 0.05 og = 0 blir Kvalitativ oppførsel χ 2 α 2, = 3.247, χ2 α β = P V P 2, = V β 0.05 e Her ω = { = } = {} Ω = { } L = 2π /2 P e 2 i= x i 2 /2 L ω = L = L Ω = L = 2π /2 Dermed 2π /2 /2 e P 2 i= x i 2 = P e 2 b i= x i 2 = /2 2π 2π /2 e P 2 i= x i 2 e /2 2, fordi = λ = L ω L LΩ = /2 e 2[ P i= x i 2 ] = /2 e 2[ ] b = /2 e 2 b. x i 2 i= eksdes05l Jauary 2, 2006 Side 6

7 Teste i d er ikke e GLRT fordi λ = /2 e 2 er ikke e mooto fuksjo av. Dette ka ma for eksempel se ved å observere at l λ > 0 for < l λ < 0 for >. eksdes05l Jauary 2, 2006 Side 7