Oppgave 1. Vi må forutsette at dataene kommer fra uavhengige og normalfordelte tilfeldige variable,

Transkript

1 MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. Oppgave a Vi har x = 6. og x i x = 4.6. Herav s x = n Et 90% kondensintervall er gitt ved x i x = 4.6 = SX X t X + t S X ; dvs.: = Vi må forutsette at dataene kommer fra uavhengige og normalfordelte tilfeldige variable X... X. b La µ være forventet kjøretid.. Vi vil teste: H 0 : µ = 5.0 mot H : µ > Teststørrelse: T = X 5 SX 3. Test: forkaster H 0 dersom T > t = = 3.5 > t Konklusjon: vi forkaster H 0 med test på 5% signikansnivå. c La µ X være forventet kjøretid om formiddag og µ Y være forventet kjøretid om ettermiddag. Vi antar at X i 'ene og Y i 'ene ha lik varians og vi denerer: S p = n X S X + n Y S Y n x + n y der S X er S X = n X X i X for de n X = 5 nye formiddagsmålingene og S Y er tilsvarende for de n Y = Y i 'ene. Estimert: =.4

2 MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s.. Vi vil teste: H 0 : µ X µ Y = 0 mot H : µ X µ Y < 0.. Teststørrelse: T = X Y S p Test: forkaster H 0 dersom T < t = =.9 < t Konklusjon: vi forkaster H 0 med test på 5% signikansnivå. Ett minutts forskjell i forsinkelse kan testes mot mer enn ett minutt i forsinkelse ved:. H 0 : µ X µ Y = mot H : µ X µ Y <.. Tetsstørrelse: T = X Y + S p Test: forkaster H 0 dersom T < t = = 0.4 t Konklusjon: vi kan ikke forkaste H 0 med test på 5% signikansnivå. d Vi har estimat av p : 95/00 = Et 96% kondensintervall for p er gitt ved: p p p.96 p +.96 n p p n der p = X og X = antall som er for blant de n = 00. n Utregnet: = La p = X n og X = antall som er for blant de n = 50. Vi vil sammenligne p og p. Estimat av p er 8/50 = Et 90% kondensintervall for forskjellen p p er gitt ved: p p p p p p p p p p p p n n n n Utregnet: = Siden hele intervallet ligger på oversiden av null sier dette at vi kan forkaste nullhypotesen i en test på nivå 5% av H 0 : p = p mot H 0 : p > p.

3 MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. 3 Oppgave a Modell for y ij = elastisitetsmodul for måling nr. j av ståltype nr. i i = : er A i = : er B og i = 3 : er C. Y ij = µ i + ε ij der ε ij uavh. N 0 σ der µ i er forventet elastisitetsmodul for måling nr. j av ståltype nr. i og ε ij er feilleddet tilfeldig variasjon. Diagram av dataene: Gjennomsnitt for hver ståltype indikert med rød strek. b Variansanalysetabell ANOVA: Kilde SS df MS F p verdi Ståltype mellom grupper SSA k SSA/k MSA/MSE P F f obs Feil innen grupper SSE N k SSE/N k = S Total SST N SST = k ni j=y ij Y SSA = k n i Y i Y og SSE = k ni j=y ij Y i og SST = SSA + SSE. Vi har her at utregnede verdier av SSA = 3 n i Y i Y er: = 36 Siden SSE = SST - SSA får vi at utregnet verdi av SSE er: = 8. Fullstendig ANOVA-tabell: Kilde SS df MS F p verdi Ståltype mellom grupper Feil innen grupper 8 9 Total 54 Det forventes ikke at p-verdien skal beregnes i dette tilfellet.

4 MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. 4 c Vil teste H 0 : µ = µ = µ 3 mot H : minst en ulik Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi i hver gruppe er stor i forhold til den tilfeldige feilen mer presist dersom: F = SSA/k SSE/N k = MSA MSE f αk N k = f = 4.6 Fra variansanlysetabellen får vi at f obs = 9 dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. Konklusjonen blir at det er forskjell på forventet elastisitetsmodul til de ulike ståltypene. Oppgave 3 a Spredningsdiagram med inntegnet regresjonslinje: y y x x Når regresjonslinjen skal tegnes inn på øyemål må vi prøve å velge en linje som gjør avvikene mellom linje og datapunktene indikert i gur til høyre samlet minst mulig. b Data: x y... x n y n ; modell: Y i = βx i + ɛ i i =... n ɛ... ɛ n : uif. N0 σ. Parameteren β kan estimeres ved å nne den verdien av b som minimerer de kvadrerte avvikene mellom måling y i og tilsvarende verdi på regresjonslinje bx i. Dvs. vi denerer SSEb ved: SSEb = y i ŷ i = y i bx i ŷ i = bx i Velg stigningstallet b slik at SSE blir minimert. Betrakt SSE som en funksjon av b deriverer funksjonen SSEb mht. b og sett den deriverte lik null.

5 MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. 5 d db SSEb = n d db {y i bx i } = { n {y i bx i }x i == y i x i b } x i = 0 b = n y i x i n. x i Derfor er minstekvadratersestimatoren for β: β = n Y i x i n x i c Estimat: = = Forventing til estimator: E β = E n Y i x n i EY i x i n = x n i x i = n EY i {}}{ βx i x i n x i n x i x i = β n x i = β dvs. estimatoren β er forventingsrett for β.