Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10

Transkript

1 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L <U er to fuksjoer av X 1,...,X,som er slik at: 1 α = P L θ U, sier vi at det utregete itervallet l, u er et 1 α 100% for θ. Typisk: L = θ z α/2 SD θ, U = θ + z α/2 SD θ Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 31 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Obs. 1: 1 α: kofidesgrad Obs. 2: Det utregete itervallet l, u: Framkommer år vi setter dataverdiee x 1,...,x i i fuksjoee L og U. Obs. 3: a Evetuelt tilærmede itervall; b Bytt z α/2 med t 1,α/2 for t-itervall Obs. 4, fortolkig Stregt tatt: Itervallet l, u er et; Vi ka ikke si: P l θ u =1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 2 / 31

2 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Situasjo 1; 1 α 100% for μ er σ X z 2 α/2, X + z α/2 Situasjo 2; 1 α 100% for μ er X t α/2, 1 X + t α/2, 1 S 2, Situasjo 3; til. 1 α 100% for μ er S X z 2 α/2, X + z S 2 α/2 σ 2 S 2 Biomisk modell; til. 1 α 100% for p er p1 p p1 p p z α/2, p + z α/2 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 3 / 31 Kommetar til biomisk modell og Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable. I biomisk situasjo: Y B, p; da ka vi repesetere Y som: Y = X 1 + X X, der X i er 0 fiasko eller 1 suksess avh. av resultatet i delforsøk r. i, i =1, 2,...,. Da er X 1,...,X u.i.f. tilfeldige variable, EX i =p og VarX i =p1 p,x = Y Y = X i = i=1 S 2 = 1 1 i=1 Xi 2.Derfor: i=1 = Y 1 p2 X i X 2 = 1 1 i=1 = p p 2 = 1 X 2 i X 2 = p, og = 1 Y p 2 1 } { p1 p p1 p 1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 4 / 31

3 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Legde av et Hvor stor må være for å få itervall av bestemt legde?... Les selv; bl.a. teorem 9.1 og 9.2; for ettutvalgsaalyser. øvigsoppgaver seiere; Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 5 / 31 Kp. 8.3 Normalplott og Normal kvatil-kvatil-diagram Hvorda udersøke om ormalatakelse er rimelig? Histogram over dataee Normalplott Data: x 1,x 2,...,x ; sortert: x 1 <x 2 <...<x Lag et diagram med x i på y-akse og [ 4.91 F 0.14 x i { 1 F x i } ] 0.14 på x-akse. Dersom puktee ligger lags e rett lije, er ormalatakelse rimelig! Illustrasjoer EXCEL! Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 6 / 31

4 Kp. 8.3 Normalplott og Begruelse.: X Nμ, σ 2 : F x =P X x = P Z x μ σ der Φv = v =Φ x μ σ 1 2π e 1 2 x2 dx; N0,1 kumulativ fordeligsfuksjo. Dvs.: for e fordeligsfuksjo, F x, fårvi: Φ 1 F x = x μ σ, dersom fordeligsfuksjoe er e ormalfordelig, F x =Φ x μ σ I så tilfelle vil vi ha lieær sammeheg mellom x og Φ 1 F x Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 7 / 31 Kp. 8.3 Normalplott og I så tilfelle vil vi ha lieær sammeheg mellom x og Φ 1 F x Dataees fordeligsfuksjo, F x, er ukjet; bruker estimat: F x i = i 3/8 +1/4 atall x i er x i Φ 1 er vaskelig å berege, bruker tilærmig: Φ 1{ F xi } [ 4.91 F 0.14 x i { 1 F x i } ] 0.14 EXCEL-rutier! Dersom plottet ser omtret lieært ut, vil ormalatakelse ikke være urimelig. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 8 / 31

5 Kp Estimere og Eks.: Vekt av laks. Vi er iterssert i spredige i laksevekte. Data: x 1,x 2,...,x Variase til X i ee, VarX i =σ 2,eretmålpåspredigivekt. Estimat av e: s 2 = 1 1 i=1 x i x 2 =0.276 Usikkerhet i estimatet? Vi vil ha et for σ 2. Vi treger å vite oe om fordelige til estimatore: S 2 = 1 1 X i X 2 i=1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 9 / 31 Kp Estimere og Kp. 8.5, fordelig til S 2. Teorem 8.4: Dersom X 1,X 2,...,X er u.i.f. N μ, σ 2,såer 1 S2 σ 2 = 1 σ 2 X i X 2 χ 2 1, i=1 kji-kvadratfordelt med 1 frihetsgrader. Def.: Dersom U er χ 2 ν-fordelt, defieres tallet χ α,ν ved at P U >χ α,ν =α. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 10 / 31

6 Ki-kvadrat-tettheter og df=4 ad x df= x Dersom U χ 2 ν,så E U = ν og Var U =2ν. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 11 / 31 Kp Estimere og Dersom U χ 2 ν,så E U = ν ; Av dette ser vi S 2 er forevtigsrett for σ 2 : E S 2 = σ2 1 E χ σ 2 S 2 }{{}, jf. teorem 8.4 = σ2 1 = σ2 1 Kofidesitervall for σ 2 : Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 12 / 31

7 Kp Estimere og Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i =μ og VarX i =σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt. Side 1 S2 σ 2 χ2 1, har vi: P χ 1 α/2, 1 1 S2 σ 2 χ α/2, 1 = 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 13 / 31 Kp Estimere og Me: χ 1 α/2, 1 1 S2 σ 2 1S 2 χ α/2, 1 σ 2 χ α/2, 1 1S2 χ 1 α/2, 1 Derfor har vi: P 1S 2 χ α/2, 1 σ 2 1S2 = 1 α, χ 1 α/2, 1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 14 / 31

8 Kp Estimere og Derfor er 1S 2 χ α/2, 1, for σ 2. 1S 2 χ 1 α/2, 1,et1001 α% Eks., laksedata: =25; for å lage et 95% for σ 2, treger vi α =0.05 χ 0.025,24 = og χ 0.975,24 = s 2 = , =0.168, Itervallet er ikke symmetrisk omkrig puktestimatet s 2 = Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 15 / 31 Oversikt, kp. 9 og I kp. 9 har vi til å vært gjeom: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.10 og 9.12 Videre: : , 9.9, 9.11, 9.13:, to-utvalg Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 16 / 31

9 Kp. 9.6 og Kofidesitervall, P L θ U =1 α: itervallet, L, U, ieholder virkelig verdi til parameter, θ, med sasylighet 1 α. : Vi øsker et itervall som er slik at utfallet av e y tilfeldig variabel, faller i itervallet med sasylighet 1 α. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 17 / 31 Kp. 9.6 og Eks.: Bruddstyrke til bærebjelker har tidligere blitt målt =12,gj.s. bruddstyrke: 3.16 og emp. stadardavvik: Vi skal å bruke e slik bjelke, og øsker å berege et itervall hvor bruddstyrke til dee ee bjelke, X 0, med stor sasylighet ligger. Et slikt itervall kalles et prediksjositervall. For de tidligere måligee: X 1,...,X Vi har: X 1,...,X og X 0 er u.i.f. og atar videre at X i Nμ, σ 2, i =0, 1,...,. Vår beste prediksjo av utfallet av X 0,erX som er estimator til forvetigsverdie, μ. Forskjell mellom prediksjo og utfall: X 0 X. Fordelige til X 0 X gir sasyligheter for forskjellee mellom prediksjo og virkelig utfall. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 18 / 31

10 Kp. 9.6 og E X 0 X = EX 0 EX =μ μ =0 Var X 0 X = VarX 0 +VarX =σ 2 + σ2 Vi baserer oss på: Z = X 0 X σ 2 + σ2 N0, 1 eller T = X 0 X S 2 + S2 t 1, dersom e σ 2 er ukjet. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 19 / 31 Kp. 9.6 og Med t-fordelig ka vi stille opp: P t α/2, 1 som er det samme som at: P X 0 X S 2 + S2 X t α/2, 1 S 2 + S2 X 0 X + t α/2, 1 t α/2, 1 = 1 α, S 2 + S2 = 1 α. Dvs.: et 1001 α% prediksjositervall for X 0 er gitt ved: X t α/2, 1 S 2 + S2, X + t α/2, 1 S 2 + S2. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 20 / 31

11 Kp. 9.6 og Eks.: =12, x =3.16 og s =0.31. Øsker et 99% prediksjositervall for styrke til y bjelke. α =0.01 t α/2, 1 = t 0.005,11 = Itervall: , = 2.16, Oppgave: Fi 99% for forvetet bruddstyrke, kommeter! Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 21 / 31 Oversikt og Repetisjo av for μ og p Normalplott Kofidesitervall for σ 2 kp. 9.6 Videre: 9.8, 9.9, 9.11, 9.13: estimerig og, to-utvalg Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 22 / 31

12 Kp. 9: Estimerig og to utvalg og Estimerig og : For forskjell i, μ X μ Y, uder ulike forutsetiger; kp. 9.8 og 9.9. For forskjell i adeler, p 1 p 2 ; kp For forhold mellom ee, σx 2 /σ2 Y ; kp Vi har allerede sett på: kp : ett utvalg. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 23 / 31 Kp. 9.8 Forskjell og Eks.: Trykktest av to typer betogbladig; resultater: Betogbladig r. 2 r gj.s emp.std Trykktest av betogteriger med mål cm; ehet: Newto/mm 2 Mega-Pascal. Har de to bladigee forskjellig styrke i virkelighete? Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 24 / 31

13 Kp. 9.8 Forskjell og Har de to bladigee forskjellig styrke i virkelighete? X Y Prikkdiagram N mm 2 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 25 / 31 Kp. 9.8 Forskjell og Geerelt, situasjo: data: x 1,...,x X og y 1,...,y Y Modell: X 1,...,X X er X u.i.f. tilfeldige variable, og Y 1,...,Y Y er Y u.i.f. tilfeldige variable, og EX i =μ X og VarX i =σ 2 X, i =1,..., X EY i =μ Y og VarY i =σ 2 Y, i =1,..., Y Vi er iteressert i differase μ X μ Y. I eksempelet represeterer forvetige virkelig styrke ukjet. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 26 / 31

14 Kp. 9.8 Forskjell og I aalysee skal vi se på situasjoee der 1 σx 2 og σy 2 er kjete; ormalatakelse 2a σx 2 og σy 2 er ukjete, me σx 2 = σy 2 ; ormalatakelse, og 2b σx 2 og σy 2 er ukjete, og σx 2 σy 2 ; ormalatakelse 3 X og Y store; ormaltilærmig for estimator Estimator for μ X μ Y er μ X μ Y = X Y. For alle fire situasjoee 1, 2a, 2b og 3: E X Y = μ X μ Y Var X Y = Var X + Var Y = σ2 X X + σ2 Y Y Med ormalatakelse får vi: X Y er ormalfordelt fordi det er e li.komb. av uavhegige ormalfordelte tilf. var.; se ev. teorem 7.11, s. 221 utg. 9. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 27 / 31 Kp. 9.8 Forskjell og For situasjo 1: Z = X Y μ X μ Y N0, 1 σ 2 X + σ2 Y X Y Dette betyr at vi ka stille opp: P z α/2 X Y μ X μ Y z σ 2 α/2 = 1 α, X + σ2 Y X Y som gir at ved stadard resoemet! σx 2 X Y z α/2 + σ2 Y σx 2, X Y + z α/2 + σ2 Y, X Y X Y er et 1001 α% for μ X μ Y. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 28 / 31

15 Kp. 9.8 Forskjell og Eks.: Trykktest av to typer betogbladig; resultater: Betogbladig r. 2 r. 3 gj.s emp.std Vi bruker ormalatakelse rimelig? 500 og ata at vi kjeer 480 σx 2 = σ2 Y = Normalplott; samlet for begge datasett. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 29 / 31 Kp. 9.8 Forskjell og Et 95 % for forskjell i virkelig styrke, μ X μ Y, til de to betogbladigee er gitt ved: Isatt data: σx 2 X Y z σ2 Y σx 2, X + Y z σ2 Y. X Y X Y , = 57.64, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 30 / 31

16 Kp. 9.8 Forskjell og I aalysee skal vi se på situasjoee der 1 σx 2 og σ2 Y er kjete; ormalatakelse 2a σx 2 og σ2 Y er ukjete, me σ2 X = σ2 Y ; ormalatakelse, og 2b σx 2 og σ2 Y er ukjete, og σ2 X σ2 Y ; ormalatakelse 3 X og Y store; ormaltilærmig for estimator Ferdigmed1;2aeste! Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 31 / 31