Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Transkript

1 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler. 1 Geerell iledig med oe presiseriger og et regeeksempel La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) i e statistisk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verdie av θ i populasjoe er ukjet. Når vi setter opp e statistisk modell (som represeterer populasjoe vi trekker data fra og trekigsprosedyre), atar vi i utgagspuktet at modelle er sa for e viss (ukjet) verdi av parametere θ og usa for alle adre verdier. Aførselstegee rudt sa ovefor skyldes at begrepet sa parameterverdi ku gir god meig i relasjo til populasjoe dersom forutsetigee som er foretatt i modelle er realistiske forutsetiger om populasjoe og måte data er trukket på. La ˆ θ være e aktuell estimator for θ, og E = E( ˆ θ ) står for e eller ae estimert versjo av stadardfeile til ˆ θ. (Husk (NB!) at hvis ˆ θ er forvetigsrett, er stadardfeile til ˆ θ ikke oe aet e stadardavviket til ˆ θ, emlig var( ˆ θ ).)

2 Det viser seg at alle kofidesitervall (KI) i pesum (iklusivt regresjosaalyse) - med et utak i tabell koker ed til samme form: ˆ θ ± c E( ˆ θ) der c er e kvatil bestemt av de valgte kofidesgrade. Dee kvatile er som oftest fra N(0, 1) -fordelige og oe gager fra t-fordelige (se situasjo i tabell 1 (. Med kofidesgrade 1 α, er for eksempel c= z α (dvs α -kvatile i N (0, 1) ) i situasjo 1 og 3 i tabell 1 og i alle situasjoer i tabell 3. Årsake til at dee type av KI er så valig er at det ofte fies teoremer (som for eksempel setralgreseteoremet og regel 5.0 og adre ligede) som viser at estimatore ˆ θ er tilærmet (i oe få tilfeller eksakt) ormalfordelt, ˆ θ ~ N( θ, var( ˆ θ)) = N( θ, E( ˆ θ)). Dette iebærer (jfr. regel R1 i otat til kap. 5 om ormalfordelige) at tilærmet (*) ˆ θ θ E( ˆ θ ) tilærmet ~ N(0, 1) (*) gjelder bare utvalgsstørrelse (atall observasjoer) ikke er for lite (se eksempel 1 uder). Løvås viser side 6 hvorda utsaget (*) leder til kofidesitervallet formulert i regel 6.7. Dessverre er regel 6.7 uødvedig severt formulert hos Løvås med få avedelser (det er få situasjoer der ˆ θ er eksakt ormalfordelt, me mage situasjoer der ˆ θ er tilærmet ormalfordelt ). Vi blir derfor ødt til å gi e modifisert reformulerig av regel 6.7 for å gjøre de mer avedelig:

3 3 Regel 6.7 (Løvås side 5) modifisert. (Kofidesitervall basert på ormalfordelige). (a) Hvis estimatore ˆ θ er forvetigsrett og tilærmet ormalfordelt med stadardfeil 100(1 α)% kofidesitervall for θ (**) [ ˆ θ z ˆ ˆ ˆ α E( θ), θ + zα E( θ)] E( ˆ θ ), vil følgede itervall være et tilærmet Hvis ˆ θ θ E( ˆ θ ) i (*) er eksakt ormalfordelt, N (0, 1), vil itervallet ha eksakt kofidesgrad 1 α (eller 100(1 α)% ). (b) Videregåede teoremer i sasylighetsteori viser at i situasjoer der stadardfeile, E( ˆ θ) = var( ˆ θ) er ukjet (dvs avheger av ukjete parametre i modelle) så vil uder geerelle betigelser kofidesitervallet fortsatt ha kofidesgrad tilærmet 100(1 α)% om stadardfeile byttes ut med e estimert versjo. Med adre ord, utsaget (*) - og dermed (**) - gjelder fortsatt om E( ˆ θ ) å står for estimert stadardfeil. (a) begrues som i Løvås side 6 der de eeste forskjelle er at det første likhetsteget byttes ut med : ˆ θ θ 1 α P zα zα = som i Løvås side 6 = P θ zα E( θ) θ θ + zα E( θ) E( ˆ θ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) (b) bygger på videregåede sasylighetsteori (delvis tatt opp i tat-kurset og mye brukt i økoometrisk teori) og som ikke behadles her i tat1. Eksempel 1 (Basert på oppgave 5.6 i Løvås med y problemstillig). E spesialpedagog skal udersøke læreeve til = 900 tilfeldig utvalgte elever. I oppgave 5.6 atas at adele av alle skolebar (populasjoe) som har lærevasker, er p = 0,15, altså kjet. Vi skal å i stedet ata at p er ukjet og at 0,15 er et estimat for p basert på utvalget av 900 elever. Vi er iteressert i å berege usikkerhete ved dette aslaget uttrykt ved et 95% kofidesitervall for p. For å komme oe vei, treger vi e statistisk modell for populasjoe og utvalgsmetode.

4 4 Modell. La X være atall bar med lærevasker i et ret tilfeldig utvalg på = 900 elever trukket fra populasjoe av alle skolebar. Ata X~ bi( p, ) der p er adele av skolebar i populasjoe med lærevasker og atas ukjet. Merkad til modelle. Merk at utvalget er forutsatt represetativt. Dette ligger i forutsetige om at utvalget er ret tilfeldig som ideelt sett (sjelde eksakt oppfylt i praksis, me ofte akseptabelt bra oppfylt) betyr at alle mulige utvalg på 900 fra populasjoe har samme sasylighet for å bli trukket ut. Ata at pedagoge fat 135 bar med lærevasker i utvalget. Tallet 135 er å å oppfatte som e observasjo av de stokastiske X variabele, X. De valige estimatore i dee modelle er =. Estimatet (dvs de observerte verdie p ˆ obs basert på data) får vi 135 ved å sette data i i estimatore, p ˆ obs = = 0,15. Oppgave er altså å berege et kofidesitervall for de ukjete p med 900 kofidesgrad (tilærmet) 95%: Om estimatore ˆp vet vi følgede ut fra teorie som er etablert i kurset til å: (a) ˆp er forvetigsrett. X 1 1 [Begruelse: E( ) = E = E( X ) = p = p ] (b) tadardfeile for ˆp er E( ) = p(1 p) X [Begruelse: 1 1 p var( ˆ) var var( ) (1 ) (1 p p = = X = p p = ). Dermed p(1 p) E( ) = var( ) = ] (c) ˆp er tilærmet ormalfordelt, tilærmet ~ N( E( ), var( )) = N( p, E( )).

5 5 [ Dette følger av regel 5.0 som sier at hvis σ = var( X ) = p(1 p) 5 og p ikke er veldig ær 0 eller 1, så er X tilærmet tilærmet ormalfordelt, X ~ N( E( X ), var( X )) = N( p, p(1 p)). ide = 900, syes betigelse klart å være oppfylt. Dermed ka vi bruke regel R1 (i otat til kap. 5) som viser at 1 tilærmet 1 1 p(1 p) = X ~ N E( X ), D( X ) = N p, = N p, E( p) ( ˆ ) ] p Av dette følger at de stadardiserte ˆp,, er tilæmet N(0, 1) -fordelt. Nå er stadardfeile, E( p ˆ ) ukjet side p er E( ) ukjet. Dermed, år er stor ok (slik at var( X ) = p(1 p) 5 ), vil i følge modifisert regel 6.7 (b) dee tilærmelse fortsatt (1 ) være akseptabel om vi erstatter de ukjete stadardfeile med estimert stadard feil. I tråd med otasjoe slik Løvås (og Excel og TATA og adre pakker) bruker de, lar vi å E( p ˆ) stå for de estimerte versjoe. Utsaget (*) blir i dee situasjoe dermed seede ut som ˆ θ θ p = E( ˆ θ ) (1 ) tilærmet ~ N(0, 1) (1 ) som gir et tilærmet (1 α)100% KI for p: ± z ˆ ˆ α E( p) = p± zα Med øsket kofidesgrad 95% treger vi kvatile z 0,05 = 1, 96, og kofidesitervallet blir utreget som (1 ˆ obs pobs ) (0,15)(0,85) obs ± 1,96 = 0,15 ± 1,96 = 0,15 ± 0.0 = [0,13, 0,17] 900

6 6 Merkad 1. Usikkerhete ved aslaget p ˆ obs = 0,15 er således i dette eksemplet bereget til ± 0,0 (geerelt ± z ˆ α E( θ )). Vi ser dermed at begrepet usikkerhet ved e estimerig ikke er oe absolutt størrelse. De avheger ikke bare av utvalgsstørrelse () og populasjosvariase (her p(1 p) som er variase for atall suksesser i et ekelt biomisk forsøk), me også av de subjektivt valgte kofidesgrade! Merkad. (For å berolige lesere). Om du til eksame blir bedt om å berege et kofidesitervall som i eksemplet, treger du aturligvis ikke, om du ikke eksplisitt blir spurt om det, å komme opp med hele begruelse ovefor. Det vil valigvis være tilstrekkelig simpelthe å velge riktig formel i forhold til de aktuelle modelle og å kue sette i tallee korrekt. Du ka aturligvis ved tilleggsspørsmål risikere å bli bedt om å gjeomføre deler av argumetasjoe ovefor for aktuelle modell-typer som omfattes av pesum. Aktuelle modelltyper 1 E valig modelltype er uid-modelle (egelsk iid) (1) La X1, X,, X være uavhegige og idetisk fordelte stokastiske (uid) variable med EX ( i) = µ og var( Xi) = σ, der µ og σ tolkes som størrelser (som oftest ukjete) i e eller ae populasjo som data, x1, x,, x trekkes fra. 1 Aktuelle estimatorer: ˆ µ = X og ˆ σ = = ( Xi X) som begge er forvetigsrette (jfr avsittet uder regel 6. og regel 6.13). 1 i= 1 La α -kvatile i N(0,1) - fordelige beteges med z α (slik at P( zα Z zα ) = 1 α, der Z ~ N (0, 1) ) La α -kvatile i t 1 - fordelige beteges med t 1, α (slik at P( t 1, α T t 1, α ) = 1 α, der T ~ t 1 ).

7 7 Merk at fordeligee t 1 og N(0,1) liger på hveradre: De er begge etoppet (klokkeformet) og symmetrisk rudt 0. Når er stor (dvs. 30 omtret), er forskjelle eglisjerbar. For små er t 1 karakterisert ved litt tygre haler e N (0, 1) og litt flatere kurve rudt 0 (jfr. figur 5.6 side 19 i Løvås). Tabell 1 Kofidesitervall for µ ituasjo Forutsetiger (modell) σ (1) i tillegg til forutsetige X ~ N( µσ, ), i = 1,,, Vilkårlig Kjet i (1) i tillegg til forutsetige X ~ N( µσ, ), i = 1,,, Vilkårlig Ukjet i Bare (1) der X er vilkårlig fordelt i Bare (1) der X er vilkårlig fordelt i stor, 30 (til ød 0) Ukjet tadardfeil var( ˆ µ ) σ σ σ Estimert stadardfeil σ Pivotal ˆ µ µ E( ˆ µ ) X µ ~ N(0, 1) σ X µ X µ tilærmet ~ t 1 ~ N(0, 1) 1 α KI for µ X ± z X ± t X ± z α 1, α lite Ukjet Ikke pesum α σ Kofidesgrad Eksakt 1 α Eksakt 1 α Tilærmet 1 α Merkad 3. Uttrykket pivotal beteger e stokastisk variabel som avheger av ukjete parametre i modelle - e variabel som derfor ikke er observerbar - me som har kjet sasylighetsfordelig. Pivotaler er bl.a yttige ved kostruksjo av kofidesitervaller og tester. Merkad 4. ide t 1-fordelige er tilærmet lik N(0,1) for 30, vil forskjelle mellom KI-ee i situasjo og 3 være eglisjerbar år 30.

8 8 Tabell. Kofidesitervall for σ år X1, X,, X er uavhegige og ormalfordelte med Xi ~ N ( µσ, ). (Hvis e stokastisk variabel, V, er kji-kvadratfordelt (avsitt 5.9.1) med k frihetsgrader, skriver vi kort: V ~ χ k. p-kvatile i dee fordelige kaller Løvås, χ p, som er det tallet som oppfyller PV ( > χ p) = p. Noe kvatiler fies i tabell D6. Merk at kji-kvadrat fordelige ikke er symmetrisk (jfr. figur 5.5 side 190 i Løvås) slik at vi treger kvatiler i begge eder av fordelige for å utlede kofidesitervallet. e merkad 6.) Modell Estimator Pivotal X1, X,, X er uavhegige og ( 1) ~ χ idetisk fordelte (uid) Vilkårlig ˆ σ = σ med X ~ N( µσ, ), i = 1,,, (Regel 5.) i 1 Nedre kofidesgrese ( 1) χ α Øvre kofidesgrese Kofidesgrad ( 1) χ1 α Eksakt 1 α Merkad 5. Har vi fuet et KI for populasjosvariase, σ, ka vi lett fie et for stadardavviket, σ, også. Hvis [ AB, ] er et 1 α KI for σ (slik at PA ( σ B) = 1 α ), så vil et 1 α KI for σ rett og slett være gitt ved [ A, B ]. Dette skyldes at begivehetee ( A σ B) og ( A σ B) er logisk ekvivalete (og derfor like sasylige) side fuksjoe y = x er e voksede fuksjo av x. [Illustrer selv de siste setige med et diagram over fuksjoe y = x!]. Merkad 6. Utledig av kofidesitervallet for σ. (Jfr. avsitt i Løvås.) ett V = ( 1) σ. I følge regel 5. er V ~ χ 1. For kvatilee 1 χ og α χα har vi i følge defiisjoe og det at kji-kvadratfordelige er kotiuerlig, 1 1 Hvis geerelt V er χk -fordelt (med k frihetsgrader), er p-kvatile i Løvås defiert som et tall, ofte skrevet χ p, som oppfyller PV> = p. ( χ p )

9 9 PV ( < χ ) = 1 PV ( χ ) = 1 PV ( > χ ) = 1 (1 α ) = α og 1 α 1 α 1 α P( χ1 α V χα ) = 1 α. Ved isettig for V får vi dermed PV ( > χ ) = α. Dermed blir (teg figur) α ( 1) 1 σ 1 1 α = P χ1 α χ α = P = σ χ1 α ( 1) χ α ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = P σ = P σ χ1 α χ α χα χ 1 α I de siste likhete har vi bare ordet om på ulikhete slik at de miste verdie kommer til vestre. Merk også at de adre likhete skyldes at år ma tar de iverse av begge sider av e ulikhet mellom positive tall, sur ulikhete rudt (for eksempel 4> 14< 1). Regeeksempel. For de = 46 kviehøydee (døtree), y1, y,, y46 vi samlet i på forelesige. mars 011, ble 1 estimatet for populasjos-stadardavviket, σ, lik ˆ σ obs = obs = ( yi y) = Vi øsker et 95% KI for σ. om modell i= 1 bruker vi (1) for de bakeforliggede stokastiske variablee, Y1, Y,, Y46, og atar i tillegg at de er ormalfordelte, Yi ~ N( µσ, ) for i = 1,,,. (Normalfordeligsatakelse ases valigvis for realistisk for høydemåliger i homogee grupper.) Kofidesgrad 0,95, gir α = 0, 05 og α = 0, 05. Vi treger altså kvatilee χ og χ i kjikvadratfordelige med 1 = 45 frihetsgrader. Tabell D6 gir σ bereget til 0,975 0, χ0.05 χ0.975 obs 0,975 0,05 χ =8,37 og χ = 65, 41. Ut fra merkad 5 blir 95% kofidesitervallet for, =, = (0,83), (1.6) = 4,76, 7, 3 obs 65, 41 8,37 obs [ ] [ ]

10 10 Merk at estimatet ˆ σ obs = 5,74 ikke ligger midt i kofidesitervallet (det er altså større usikkerhet til høyre for estimatet e til vestre). Dette iebærer at begrepet stadardfeil ikke kommer i som oe yttig begrep her (og blir derfor ikke brukt i forbidelse med estimerig av σ eller σ ), i motsetig til kofidesitervall basert på ormalfordelige eller t-fordelige som ovefor. Merkad 7. Noe gager fier vi ikke akkurat de fraktile i tabelle vi er ute etter. For eksempel, ata vi hadde hatt = 4 observasjoer istedefor 46. Da ville vi ha tregt χ0,975 og χ 0,05 i kji-kvadrat-fordelige med 41 frihetsgrader som ikke er represetert i tabell D6. I så fall ser vi på de to ærmeste fordeligee som er represetert: Frihets- χ 0,975 χ 0,05 grader 40 4,43 59, ,37 65,41 På øyemål aslår vi for eksempel χ =5, og χ = 60,9 omtret for 41 frihetsgrader. 0,975 0,05 Øyemålsmetode er fullt akseptabel til eksame. Ellers ville lieær iterpolasjo (ikke pesum) gi litt bedre resultat. Aller best er å bruke CHIINV-fuksjoe i Excel (dersom ma har tilgag til Excel) som bereger de to kvatilee øyaktig til 5,145 og 60,56057 heholdsvis.

11 11 3 Aktuelle modelltyper Tabell 3 Tilærmet kofidesitervall basert på regel 5.0 (ormaltilærmig for biomisk, hypergeometrisk og poisso fordelig) Modell Estimator ˆ θ X X~ bi( p, ) = X ~ hypergeom. ( M,, N) ( p = M N) X = tadardfeil var( ˆ θ ) Estimert stadardfeil E( ˆ θ ) Betigelse for akseptabel ormaltilærmelse p(1 p) (1 ) var( X ) 5 ( p(1 p) 5 p(1 p) N N 1 (1 ) N N 1 var( X ) 5 p (1 ) Pivotal ˆ θ θ E( ˆ θ ) tilærmet ~ N(0,1) Kofidesitervall ( kofidesgrad tilærmet 1 α ) ˆ θ ± z E( ˆ θ) α ± z α p (1 ) N N 1 tilærmet ~ N (0,1) (1 ) (1 ) N ± zα N 1 X ~ pois( tλ) 3 ˆ X λ = t λ t ˆ λ var( X ) 5 t ( tλ 5 ) ˆ λ λ ˆ λ t tilærmet ~ N(0, 1) ˆ λ ± z α ˆ λ t 3 Husk at otasjoe X ~ pois( m ) er valgt slik at det som står på m s plass alltid er lik EX ( ) (som også er lik var( X ) i poisso-fordelige). Hvis det for eksempel i e oppgave fremgår at X ~ pois(3,7), følger automatisk at EX ( ) = var( X) = 3,7. Av modelle i tabelle følger således at EX ( ) = var( X) = tλ som impliserer at ˆλ er forvetigsrett side ˆ X 1 1 E( λ) E = = EX ( ) = tλ = λ t t t. Variase (lik kvadrert stadardfeil) blir ˆ X 1 1 λ var( λ) = var = var( X) = tλ = t t t t.

12 1 Merkad 7 Merk at de tre KI-ee i tabell 3 samt KI-ee i situasjo 1 og 3 i tabell 1 alle har de geerelle forme agitt i regel 6.7 der E står for stadardfeil eller estimert stadardfeil dersom E( ˆ θ ) avheger av ukjete parametre. Utak fra regel 6.7 er gitt i tabell og situasjo uder tabell 1. Argumetasjoe fra pivotal-utsaget til kofidesitervallet er gitt i avsitt rett etter regel 6.7. Merkad 8 I mage KI (jfr tabell 1 og 3) bruker vi altså de estimerte versjoe av stadardfeile (i tilfelle stadardfeile er ukjet) år vi utleder et KI. Det er ikke på oe måte opplagt at vi har lov til dette. Det er rimelig å teke seg at e slik fremgagsmåte ville kue ødelegge tilærmelse til N(0, 1), oe som ville gjøre kofidesgrade tvilsom. Det at vi ifølge modifisert regel 6.7 (b) faktisk har lov til å erstatte E med e estimert versjo ute å berøre kofidesgrade vesetlig, er egetlig gaske overraskede sett i lys av e ofte betydelig usikkerhet i estimerige av σ. For eksempel for kviehøydee i merkad 6 ble kofidesitervallet for σ [ 4,76, 7, 3 ] som idikerer e ikke ubetydelig usikkerhet Likevel vil etter regel 6.7 (b) kofidesgrade for KI-et for µ ikke bli vesetlig berørt om vi bytter ut σ med ˆ σ = i stadardfeile. 4 Regresjosmodelle KI-ee for ukjete parametre i de ekle stadard regresjomodelle med ormalfordelte restledd følger samme møsteret som situasjo i tabell 1, med eeste forskjell at frihetsgrader beyttes i t-fordelige istedefor 1 som i situasjo. KI-et har i alle tilfeller forme ˆ θ ± t, α E( ˆ θ) og kofidesgrade 1 α gjelder eksakt for alle 3 regresjo-ii otatet på ettet.. Det du treger i tillegg er formler for ˆ θ og E( ˆ θ ), som du fier i Løvås kap. 7, eller