Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130"

Transkript

1 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler. 1 Geerell iledig med oe presiseriger og et regeeksempel La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) i e statistisk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verdie av θ i populasjoe er ukjet. Når vi setter opp e statistisk modell (som represeterer populasjoe vi trekker data fra og trekigsprosedyre), atar vi i utgagspuktet at modelle er sa for e viss (ukjet) verdi av parametere θ og usa for alle adre verdier. Aførselstegee rudt sa ovefor skyldes at begrepet sa parameterverdi ku gir god meig i relasjo til populasjoe dersom forutsetigee som er foretatt i modelle er realistiske forutsetiger om populasjoe og måte data er trukket på. La ˆ θ være e aktuell estimator for θ, og E = E( ˆ θ ) står for e eller ae estimert versjo av stadardfeile til ˆ θ. (Husk (NB!) at hvis ˆ θ er forvetigsrett, er stadardfeile til ˆ θ ikke oe aet e stadardavviket til ˆ θ, emlig var( ˆ θ ).)

2 Det viser seg at alle kofidesitervall (KI) i pesum (iklusivt regresjosaalyse) - med et utak i tabell koker ed til samme form: ˆ θ ± c E( ˆ θ) der c er e kvatil bestemt av de valgte kofidesgrade. Dee kvatile er som oftest fra N(0, 1) -fordelige og oe gager fra t-fordelige (se situasjo i tabell 1 (. Med kofidesgrade 1 α, er for eksempel c= z α (dvs α -kvatile i N (0, 1) ) i situasjo 1 og 3 i tabell 1 og i alle situasjoer i tabell 3. Årsake til at dee type av KI er så valig er at det ofte fies teoremer (som for eksempel setralgreseteoremet og regel 5.0 og adre ligede) som viser at estimatore ˆ θ er tilærmet (i oe få tilfeller eksakt) ormalfordelt, ˆ θ ~ N( θ, var( ˆ θ)) = N( θ, E( ˆ θ)). Dette iebærer (jfr. regel R1 i otat til kap. 5 om ormalfordelige) at tilærmet (*) ˆ θ θ E( ˆ θ ) tilærmet ~ N(0, 1) (*) gjelder bare utvalgsstørrelse (atall observasjoer) ikke er for lite (se eksempel 1 uder). Løvås viser side 6 hvorda utsaget (*) leder til kofidesitervallet formulert i regel 6.7. Dessverre er regel 6.7 uødvedig severt formulert hos Løvås med få avedelser (det er få situasjoer der ˆ θ er eksakt ormalfordelt, me mage situasjoer der ˆ θ er tilærmet ormalfordelt ). Vi blir derfor ødt til å gi e modifisert reformulerig av regel 6.7 for å gjøre de mer avedelig:

3 3 Regel 6.7 (Løvås side 5) modifisert. (Kofidesitervall basert på ormalfordelige). (a) Hvis estimatore ˆ θ er forvetigsrett og tilærmet ormalfordelt med stadardfeil 100(1 α)% kofidesitervall for θ (**) [ ˆ θ z ˆ ˆ ˆ α E( θ), θ + zα E( θ)] E( ˆ θ ), vil følgede itervall være et tilærmet Hvis ˆ θ θ E( ˆ θ ) i (*) er eksakt ormalfordelt, N (0, 1), vil itervallet ha eksakt kofidesgrad 1 α (eller 100(1 α)% ). (b) Videregåede teoremer i sasylighetsteori viser at i situasjoer der stadardfeile, E( ˆ θ) = var( ˆ θ) er ukjet (dvs avheger av ukjete parametre i modelle) så vil uder geerelle betigelser kofidesitervallet fortsatt ha kofidesgrad tilærmet 100(1 α)% om stadardfeile byttes ut med e estimert versjo. Med adre ord, utsaget (*) - og dermed (**) - gjelder fortsatt om E( ˆ θ ) å står for estimert stadardfeil. (a) begrues som i Løvås side 6 der de eeste forskjelle er at det første likhetsteget byttes ut med : ˆ θ θ 1 α P zα zα = som i Løvås side 6 = P θ zα E( θ) θ θ + zα E( θ) E( ˆ θ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) (b) bygger på videregåede sasylighetsteori (delvis tatt opp i tat-kurset og mye brukt i økoometrisk teori) og som ikke behadles her i tat1. Eksempel 1 (Basert på oppgave 5.6 i Løvås med y problemstillig). E spesialpedagog skal udersøke læreeve til = 900 tilfeldig utvalgte elever. I oppgave 5.6 atas at adele av alle skolebar (populasjoe) som har lærevasker, er p = 0,15, altså kjet. Vi skal å i stedet ata at p er ukjet og at 0,15 er et estimat for p basert på utvalget av 900 elever. Vi er iteressert i å berege usikkerhete ved dette aslaget uttrykt ved et 95% kofidesitervall for p. For å komme oe vei, treger vi e statistisk modell for populasjoe og utvalgsmetode.

4 4 Modell. La X være atall bar med lærevasker i et ret tilfeldig utvalg på = 900 elever trukket fra populasjoe av alle skolebar. Ata X~ bi( p, ) der p er adele av skolebar i populasjoe med lærevasker og atas ukjet. Merkad til modelle. Merk at utvalget er forutsatt represetativt. Dette ligger i forutsetige om at utvalget er ret tilfeldig som ideelt sett (sjelde eksakt oppfylt i praksis, me ofte akseptabelt bra oppfylt) betyr at alle mulige utvalg på 900 fra populasjoe har samme sasylighet for å bli trukket ut. Ata at pedagoge fat 135 bar med lærevasker i utvalget. Tallet 135 er å å oppfatte som e observasjo av de stokastiske X variabele, X. De valige estimatore i dee modelle er =. Estimatet (dvs de observerte verdie p ˆ obs basert på data) får vi 135 ved å sette data i i estimatore, p ˆ obs = = 0,15. Oppgave er altså å berege et kofidesitervall for de ukjete p med 900 kofidesgrad (tilærmet) 95%: Om estimatore ˆp vet vi følgede ut fra teorie som er etablert i kurset til å: (a) ˆp er forvetigsrett. X 1 1 [Begruelse: E( ) = E = E( X ) = p = p ] (b) tadardfeile for ˆp er E( ) = p(1 p) X [Begruelse: 1 1 p var( ˆ) var var( ) (1 ) (1 p p = = X = p p = ). Dermed p(1 p) E( ) = var( ) = ] (c) ˆp er tilærmet ormalfordelt, tilærmet ~ N( E( ), var( )) = N( p, E( )).

5 5 [ Dette følger av regel 5.0 som sier at hvis σ = var( X ) = p(1 p) 5 og p ikke er veldig ær 0 eller 1, så er X tilærmet tilærmet ormalfordelt, X ~ N( E( X ), var( X )) = N( p, p(1 p)). ide = 900, syes betigelse klart å være oppfylt. Dermed ka vi bruke regel R1 (i otat til kap. 5) som viser at 1 tilærmet 1 1 p(1 p) = X ~ N E( X ), D( X ) = N p, = N p, E( p) ( ˆ ) ] p Av dette følger at de stadardiserte ˆp,, er tilæmet N(0, 1) -fordelt. Nå er stadardfeile, E( p ˆ ) ukjet side p er E( ) ukjet. Dermed, år er stor ok (slik at var( X ) = p(1 p) 5 ), vil i følge modifisert regel 6.7 (b) dee tilærmelse fortsatt (1 ) være akseptabel om vi erstatter de ukjete stadardfeile med estimert stadard feil. I tråd med otasjoe slik Løvås (og Excel og TATA og adre pakker) bruker de, lar vi å E( p ˆ) stå for de estimerte versjoe. Utsaget (*) blir i dee situasjoe dermed seede ut som ˆ θ θ p = E( ˆ θ ) (1 ) tilærmet ~ N(0, 1) (1 ) som gir et tilærmet (1 α)100% KI for p: ± z ˆ ˆ α E( p) = p± zα Med øsket kofidesgrad 95% treger vi kvatile z 0,05 = 1, 96, og kofidesitervallet blir utreget som (1 ˆ obs pobs ) (0,15)(0,85) obs ± 1,96 = 0,15 ± 1,96 = 0,15 ± 0.0 = [0,13, 0,17] 900

6 6 Merkad 1. Usikkerhete ved aslaget p ˆ obs = 0,15 er således i dette eksemplet bereget til ± 0,0 (geerelt ± z ˆ α E( θ )). Vi ser dermed at begrepet usikkerhet ved e estimerig ikke er oe absolutt størrelse. De avheger ikke bare av utvalgsstørrelse () og populasjosvariase (her p(1 p) som er variase for atall suksesser i et ekelt biomisk forsøk), me også av de subjektivt valgte kofidesgrade! Merkad. (For å berolige lesere). Om du til eksame blir bedt om å berege et kofidesitervall som i eksemplet, treger du aturligvis ikke, om du ikke eksplisitt blir spurt om det, å komme opp med hele begruelse ovefor. Det vil valigvis være tilstrekkelig simpelthe å velge riktig formel i forhold til de aktuelle modelle og å kue sette i tallee korrekt. Du ka aturligvis ved tilleggsspørsmål risikere å bli bedt om å gjeomføre deler av argumetasjoe ovefor for aktuelle modell-typer som omfattes av pesum. Aktuelle modelltyper 1 E valig modelltype er uid-modelle (egelsk iid) (1) La X1, X,, X være uavhegige og idetisk fordelte stokastiske (uid) variable med EX ( i) = µ og var( Xi) = σ, der µ og σ tolkes som størrelser (som oftest ukjete) i e eller ae populasjo som data, x1, x,, x trekkes fra. 1 Aktuelle estimatorer: ˆ µ = X og ˆ σ = = ( Xi X) som begge er forvetigsrette (jfr avsittet uder regel 6. og regel 6.13). 1 i= 1 La α -kvatile i N(0,1) - fordelige beteges med z α (slik at P( zα Z zα ) = 1 α, der Z ~ N (0, 1) ) La α -kvatile i t 1 - fordelige beteges med t 1, α (slik at P( t 1, α T t 1, α ) = 1 α, der T ~ t 1 ).

7 7 Merk at fordeligee t 1 og N(0,1) liger på hveradre: De er begge etoppet (klokkeformet) og symmetrisk rudt 0. Når er stor (dvs. 30 omtret), er forskjelle eglisjerbar. For små er t 1 karakterisert ved litt tygre haler e N (0, 1) og litt flatere kurve rudt 0 (jfr. figur 5.6 side 19 i Løvås). Tabell 1 Kofidesitervall for µ ituasjo Forutsetiger (modell) σ (1) i tillegg til forutsetige X ~ N( µσ, ), i = 1,,, Vilkårlig Kjet i (1) i tillegg til forutsetige X ~ N( µσ, ), i = 1,,, Vilkårlig Ukjet i Bare (1) der X er vilkårlig fordelt i Bare (1) der X er vilkårlig fordelt i stor, 30 (til ød 0) Ukjet tadardfeil var( ˆ µ ) σ σ σ Estimert stadardfeil σ Pivotal ˆ µ µ E( ˆ µ ) X µ ~ N(0, 1) σ X µ X µ tilærmet ~ t 1 ~ N(0, 1) 1 α KI for µ X ± z X ± t X ± z α 1, α lite Ukjet Ikke pesum α σ Kofidesgrad Eksakt 1 α Eksakt 1 α Tilærmet 1 α Merkad 3. Uttrykket pivotal beteger e stokastisk variabel som avheger av ukjete parametre i modelle - e variabel som derfor ikke er observerbar - me som har kjet sasylighetsfordelig. Pivotaler er bl.a yttige ved kostruksjo av kofidesitervaller og tester. Merkad 4. ide t 1-fordelige er tilærmet lik N(0,1) for 30, vil forskjelle mellom KI-ee i situasjo og 3 være eglisjerbar år 30.

8 8 Tabell. Kofidesitervall for σ år X1, X,, X er uavhegige og ormalfordelte med Xi ~ N ( µσ, ). (Hvis e stokastisk variabel, V, er kji-kvadratfordelt (avsitt 5.9.1) med k frihetsgrader, skriver vi kort: V ~ χ k. p-kvatile i dee fordelige kaller Løvås, χ p, som er det tallet som oppfyller PV ( > χ p) = p. Noe kvatiler fies i tabell D6. Merk at kji-kvadrat fordelige ikke er symmetrisk (jfr. figur 5.5 side 190 i Løvås) slik at vi treger kvatiler i begge eder av fordelige for å utlede kofidesitervallet. e merkad 6.) Modell Estimator Pivotal X1, X,, X er uavhegige og ( 1) ~ χ idetisk fordelte (uid) Vilkårlig ˆ σ = σ med X ~ N( µσ, ), i = 1,,, (Regel 5.) i 1 Nedre kofidesgrese ( 1) χ α Øvre kofidesgrese Kofidesgrad ( 1) χ1 α Eksakt 1 α Merkad 5. Har vi fuet et KI for populasjosvariase, σ, ka vi lett fie et for stadardavviket, σ, også. Hvis [ AB, ] er et 1 α KI for σ (slik at PA ( σ B) = 1 α ), så vil et 1 α KI for σ rett og slett være gitt ved [ A, B ]. Dette skyldes at begivehetee ( A σ B) og ( A σ B) er logisk ekvivalete (og derfor like sasylige) side fuksjoe y = x er e voksede fuksjo av x. [Illustrer selv de siste setige med et diagram over fuksjoe y = x!]. Merkad 6. Utledig av kofidesitervallet for σ. (Jfr. avsitt i Løvås.) ett V = ( 1) σ. I følge regel 5. er V ~ χ 1. For kvatilee 1 χ og α χα har vi i følge defiisjoe og det at kji-kvadratfordelige er kotiuerlig, 1 1 Hvis geerelt V er χk -fordelt (med k frihetsgrader), er p-kvatile i Løvås defiert som et tall, ofte skrevet χ p, som oppfyller PV> = p. ( χ p )

9 9 PV ( < χ ) = 1 PV ( χ ) = 1 PV ( > χ ) = 1 (1 α ) = α og 1 α 1 α 1 α P( χ1 α V χα ) = 1 α. Ved isettig for V får vi dermed PV ( > χ ) = α. Dermed blir (teg figur) α ( 1) 1 σ 1 1 α = P χ1 α χ α = P = σ χ1 α ( 1) χ α ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = P σ = P σ χ1 α χ α χα χ 1 α I de siste likhete har vi bare ordet om på ulikhete slik at de miste verdie kommer til vestre. Merk også at de adre likhete skyldes at år ma tar de iverse av begge sider av e ulikhet mellom positive tall, sur ulikhete rudt (for eksempel 4> 14< 1). Regeeksempel. For de = 46 kviehøydee (døtree), y1, y,, y46 vi samlet i på forelesige. mars 011, ble 1 estimatet for populasjos-stadardavviket, σ, lik ˆ σ obs = obs = ( yi y) = Vi øsker et 95% KI for σ. om modell i= 1 bruker vi (1) for de bakeforliggede stokastiske variablee, Y1, Y,, Y46, og atar i tillegg at de er ormalfordelte, Yi ~ N( µσ, ) for i = 1,,,. (Normalfordeligsatakelse ases valigvis for realistisk for høydemåliger i homogee grupper.) Kofidesgrad 0,95, gir α = 0, 05 og α = 0, 05. Vi treger altså kvatilee χ og χ i kjikvadratfordelige med 1 = 45 frihetsgrader. Tabell D6 gir σ bereget til 0,975 0, χ0.05 χ0.975 obs 0,975 0,05 χ =8,37 og χ = 65, 41. Ut fra merkad 5 blir 95% kofidesitervallet for, =, = (0,83), (1.6) = 4,76, 7, 3 obs 65, 41 8,37 obs [ ] [ ]

10 10 Merk at estimatet ˆ σ obs = 5,74 ikke ligger midt i kofidesitervallet (det er altså større usikkerhet til høyre for estimatet e til vestre). Dette iebærer at begrepet stadardfeil ikke kommer i som oe yttig begrep her (og blir derfor ikke brukt i forbidelse med estimerig av σ eller σ ), i motsetig til kofidesitervall basert på ormalfordelige eller t-fordelige som ovefor. Merkad 7. Noe gager fier vi ikke akkurat de fraktile i tabelle vi er ute etter. For eksempel, ata vi hadde hatt = 4 observasjoer istedefor 46. Da ville vi ha tregt χ0,975 og χ 0,05 i kji-kvadrat-fordelige med 41 frihetsgrader som ikke er represetert i tabell D6. I så fall ser vi på de to ærmeste fordeligee som er represetert: Frihets- χ 0,975 χ 0,05 grader 40 4,43 59, ,37 65,41 På øyemål aslår vi for eksempel χ =5, og χ = 60,9 omtret for 41 frihetsgrader. 0,975 0,05 Øyemålsmetode er fullt akseptabel til eksame. Ellers ville lieær iterpolasjo (ikke pesum) gi litt bedre resultat. Aller best er å bruke CHIINV-fuksjoe i Excel (dersom ma har tilgag til Excel) som bereger de to kvatilee øyaktig til 5,145 og 60,56057 heholdsvis.

11 11 3 Aktuelle modelltyper Tabell 3 Tilærmet kofidesitervall basert på regel 5.0 (ormaltilærmig for biomisk, hypergeometrisk og poisso fordelig) Modell Estimator ˆ θ X X~ bi( p, ) = X ~ hypergeom. ( M,, N) ( p = M N) X = tadardfeil var( ˆ θ ) Estimert stadardfeil E( ˆ θ ) Betigelse for akseptabel ormaltilærmelse p(1 p) (1 ) var( X ) 5 ( p(1 p) 5 p(1 p) N N 1 (1 ) N N 1 var( X ) 5 p (1 ) Pivotal ˆ θ θ E( ˆ θ ) tilærmet ~ N(0,1) Kofidesitervall ( kofidesgrad tilærmet 1 α ) ˆ θ ± z E( ˆ θ) α ± z α p (1 ) N N 1 tilærmet ~ N (0,1) (1 ) (1 ) N ± zα N 1 X ~ pois( tλ) 3 ˆ X λ = t λ t ˆ λ var( X ) 5 t ( tλ 5 ) ˆ λ λ ˆ λ t tilærmet ~ N(0, 1) ˆ λ ± z α ˆ λ t 3 Husk at otasjoe X ~ pois( m ) er valgt slik at det som står på m s plass alltid er lik EX ( ) (som også er lik var( X ) i poisso-fordelige). Hvis det for eksempel i e oppgave fremgår at X ~ pois(3,7), følger automatisk at EX ( ) = var( X) = 3,7. Av modelle i tabelle følger således at EX ( ) = var( X) = tλ som impliserer at ˆλ er forvetigsrett side ˆ X 1 1 E( λ) E = = EX ( ) = tλ = λ t t t. Variase (lik kvadrert stadardfeil) blir ˆ X 1 1 λ var( λ) = var = var( X) = tλ = t t t t.

12 1 Merkad 7 Merk at de tre KI-ee i tabell 3 samt KI-ee i situasjo 1 og 3 i tabell 1 alle har de geerelle forme agitt i regel 6.7 der E står for stadardfeil eller estimert stadardfeil dersom E( ˆ θ ) avheger av ukjete parametre. Utak fra regel 6.7 er gitt i tabell og situasjo uder tabell 1. Argumetasjoe fra pivotal-utsaget til kofidesitervallet er gitt i avsitt rett etter regel 6.7. Merkad 8 I mage KI (jfr tabell 1 og 3) bruker vi altså de estimerte versjoe av stadardfeile (i tilfelle stadardfeile er ukjet) år vi utleder et KI. Det er ikke på oe måte opplagt at vi har lov til dette. Det er rimelig å teke seg at e slik fremgagsmåte ville kue ødelegge tilærmelse til N(0, 1), oe som ville gjøre kofidesgrade tvilsom. Det at vi ifølge modifisert regel 6.7 (b) faktisk har lov til å erstatte E med e estimert versjo ute å berøre kofidesgrade vesetlig, er egetlig gaske overraskede sett i lys av e ofte betydelig usikkerhet i estimerige av σ. For eksempel for kviehøydee i merkad 6 ble kofidesitervallet for σ [ 4,76, 7, 3 ] som idikerer e ikke ubetydelig usikkerhet Likevel vil etter regel 6.7 (b) kofidesgrade for KI-et for µ ikke bli vesetlig berørt om vi bytter ut σ med ˆ σ = i stadardfeile. 4 Regresjosmodelle KI-ee for ukjete parametre i de ekle stadard regresjomodelle med ormalfordelte restledd følger samme møsteret som situasjo i tabell 1, med eeste forskjell at frihetsgrader beyttes i t-fordelige istedefor 1 som i situasjo. KI-et har i alle tilfeller forme ˆ θ ± t, α E( ˆ θ) og kofidesgrade 1 α gjelder eksakt for alle 3 regresjo-ii otatet på ettet.. Det du treger i tillegg er formler for ˆ θ og E( ˆ θ ), som du fier i Løvås kap. 7, eller

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 013 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram 2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

Populasjon, utvalg og estimering

Populasjon, utvalg og estimering Populasjo, utvalg og estimerig (Notat til forelesig i estimerig, Kap. 6.) Populasjo og utvalg Med basalkuskap i sasylighetsregig og sasylighetsfordeliger er vi å i stad til å gå videre med statistisk iferes

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

Lineær regresjonsanalyse (13.4)

Lineær regresjonsanalyse (13.4) 2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA4240 H2006: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram

Detaljer

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer

Detaljer

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30 Statistikk HØST 004 Dato for utleverig: Fredag 5. oktober 004 Frist for ileverig: Osdag 7. oktober 004, seest kl. 5.00 Ileverigssted: Ekspedisjoskotoret,.

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG)

Econ 2130 uke 15 (HG) Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter

Detaljer

SAMMENLIGNING AV MINSTE KVADRATERS METODE OG SANNSYNLIGHETSMAKSIMERINGSMETODEN I BINÆR REGRESJON. Henrik Dahl *)

SAMMENLIGNING AV MINSTE KVADRATERS METODE OG SANNSYNLIGHETSMAKSIMERINGSMETODEN I BINÆR REGRESJON. Henrik Dahl *) IO 78/8 7. april 978 SAMMENLIGNING AV MINSTE KVADRATERS METODE OG SANNSYNLIGHETSMAKSIMERINGSMETODEN I BINÆR REGRESJON av Herik Dahl *) INNHOLD Side Sammedrag. Om modeller for biær regresjo 3. Miste kvadraters

Detaljer

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015 LØSNING: Eksame 28. mai 2015 MAT110 Statistikk 1, vår 2015 Oppgave 1: revisjo ) a) Situasjoe som beskrives i oppgave ka modelleres med e ure. I dee ure er fordelige kjet, M atall bilag med feil og N 100

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Statistikk Gruppe(r): Alle ( 2. årskull) Eksamesoppgav Atall sider (ikl. e består av: forside): 5 Tillatte hjelpemidler: Emekode: LO070A Dato: 11.06.2004

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: Fredag 6. Jui 04 Varighet/eksamestid: 5 timer Emekode: TALM005-A Emeav: Statistikk og Økoomi Klasse(r): Kjemi, Material, Logistikk

Detaljer

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert

Detaljer