HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi 2 Material 2 Studiepoeg: 10 studiepoeg Bygg 2, Maski 2 Elektro 2 Forybar eergi 2 Faglærere: av og telefor på eksamesdage Kjetil L. Nielse , Lars Egvik, Eirik Spets, Ketil Arese Kotaktpersoadm. fylles ut ved behov ku ved kursemer Hjelpemidler: Oppgavesettet består av: atall oppgaver og atall sider ikl. forside Vedlegg består av: atall sider Kalkulator type B, formelark med tabeller. 6 oppgaver 10 deloppgaver, 4 sider ikl. dee forside Formelark 3 sider og tabeller 2 sider Merkad: Oppgavetekste ka beholdes av studeter som sitter eksamestide ut. NB! Les gjeom hele oppgavesettet før du begyer arbeidet, og dispoer tide. Dersom oe virker uklart i oppgavsettet, skal du gjøre die ege atagelser og forklare dette i besvarelse. Lykke til!

2 Oppgave 1 E datamaski geererer 7 tilfeldige tall mellom 0 og 1. Hva er sasylighete for at øyaktig 3 av tallee ligger i itervallet 1 2 til 1? Oppgave 2 Ata at vi har to uavhegige, stokastiske variable, X N10, 2 2 og Y N3, La Z være e stokastisk variabel gitt ved Z = X 3Y. Fi P Z > 2 Oppgave 3 Ata at atall gager e tilfeldig studet dupper av i løpet av e økoomiforelesig, X, er gitt ved fordelige: 1 x P X = x = a, x = 0, 1, 2, 3 2 a Vis at vi må ha a = 8, for at fordelige skal være e gyldig sasylighetsfordelig. 15 b Fi forvetige og variase til X. c I e time la forelesere merke til at e bestemt studet duppa av mist è gag. Fi sasylighete for at studete duppa av øyaktig tre gager. d I e økoomiforelesig er det 300 studeter til stede. La X i være atall gager studet r. i dupper av; i = 1, 2, 3,..., 300. Vi atar at studetee dupper av uavhegige av hveradre og at hver X i har samme fordelig, som fordelige gitt ovefor. Bereg sasylighete for at det blir til samme mellom 200 og 250 avdupiger dee forelesige. Oppgave 4 E forsker vil publisere to artikler. Fra erfarig aslår forskere at det er 0.7 sasylighet for at de ee artikkele blir akseptert, mes det er 0.4 sasylighet for at de adre blir akseptert. I tillegg aslår forskere at det er 75% sasylighet for at mist è artikkel blir avvist. Hva er sasylighete for at mist è artikkel blir akseptert? 2

3 Oppgave 5 Kalium-argodaterig er e valig metode for å aslå aldere til mieraler. Metode går ut på å måle adele av de radioaktive kaliumisotope 40 K og des datterprodukter. Prosedyre er derimot ikke ute usikkerhet. Vi foretar 19 måliger på e mieralprøve. Ata at måligee er uavhegige og idetisk ormalfordelte. Oppgitt: Målig r. Alder millioer av år, y y i = y 2 i = Lag et 95% kofidesitervall for aldere til mieralprøve. 3

4 Oppgave 6 Etterhvert som temperature øker, løser atriumitrat NaNO 3 seg bedre opp i va. Vi gjør 9 måliger av hvor mye atriumitrat som oppløses i 100g va ved ulike temperaturer: Oppgitt: Målig r. Temperatur Celsius, x Gram oppløst, Y x i = x 2 i = Y i = x i Y i = a Ata at Y i er uavhegige og ormalfordelte med forvetig EY i = β 0 + β 1 x i og varias σ 2 = Bestem de estimerte regresjoslije. Det blir påstått at megde atriumitrat som oppløses i 100g va, øker med 0.85g per grad Celsius. Våre resultater tyder på at dette tallet er for lite. b Sett opp og utfør e hypotesetest med α = 0.01 for å avgjøre om vi har grulag til å påstå vår hypotese om at tallet 0.85 er for lite. 4

5 Formler og tabeller for statistikk 1 Sasylighetsregig Geerell addisjossetig P A B = P A + P B P A B Betiget sasylighet P A B = P A B P B Ge. multiplikasjosregel P A B = P B P A B P A B = P A P B A Total sasylighet P A = Bayes lov r P B i P A B i P B A = P B P A B P A Hvis A og B uavhegige P A B = P A P B P A B = P A P B A = P B 2 Kombiatorikk Atall forskjellige utvalg år s eheter trekkes fra e populasjo på N eheter: Ordet utvalg med tilbakeleggig N s Ordet utvalg ute tilbakeleggig N s = NN 1...N s + 1 = Uordet utvalg ute tilbakeleggig N = N s N! = s s! s!n s! N! N s! 3 Sasylighetsfordeliger geerelt 1 variabel Fordeligsfuksjo Diskret Kotiuerlig x F x = P X x F x = fudu P a < X b = F b F a Forvetig Diskret µ = EX = x E[gX] = x Kotiuerlig µ = EX = E[gX] = Varias Diskret x P X = x gx P X = x x fxdx gx fxdx fx = d dx F x σ 2 = VarX = E[X µ 2 ] = EX 2 µ 2 = x 2 P X = x µ 2 Kotiuerlig σ 2 = VarX = Stadardavvik σ = SDX = V arx x µ 2 fxdx 4 Regler for forvetig og varias EaX + b = aex + b EX 1 + X 2 = EX 1 + EX 2 VaraX + b = a 2 VarX VarX 1 + X 2 = VarX 1 + VarX 2 X 2 er uavhegige. år X 1 og 1

6 5 Sasylighetsfordeliger geerelt 2 variable Simultafordelig for X og Y P [X = x Y = y] Expoesialfordelige T expα : ft = α e αt for t > 0 F t = 1 e αt for t > 0 Forvetig E[gX, Y ] = x gx, y P [X = x Y = y] y ET = 1 α VarT = 1 α 2 8 Tilærmiger Kovarias CovX, Y = E[X µ 1 Y µ 2 ] = EX Y µ 1 µ 2 Korrelasjoskoeffisiet ρx, Y = CovX, Y σ 1 σ 2 6 Diskrete sasylighetsfordeliger Biomisk fordelig X bi, p : P X = x = x px 1 p x EX = p VarX = p 1 p Poissofordelig X P oλ = P oα t : P X = x = λx x! e λ EX = λ VarX = λ 7 Kotiuerlige sasylighetsfordeliger Normalfordelige X Nµ, σ 2 : fx = 1 µ2 x e 2σ 2 2πσ F x = P X x = G x µ σ Stadard ormalfordelig X N0, 1 : F x = P X x = Gx G x = 1 Gx Setralgresesetige Dersom X 1, X 2,...,X er uavhegige og idetisk fordelte stokastiske variable med forvetig µ og varias σ 2, så er for store verdier av 30: 1 X 1 + X X Nµ, σ 2 2 X = 1 X 1 + X X Nµ, σ2 9 Puktestimerig Puktestimator for forvetig ˆµ = X = 1 Eˆµ = µ X i Varˆµ = σ2 Puktestimator for varias S 2 = 1 1 ES 2 = σ 2 X i X 2 = Hypotesetestig Sigifikassasylighet - p-verdi Xi 2 X 2 Sasylighete for å få et resultat som er lik eller mer ekstrem e de observerte verdie, gitt at H 0 er sa. Styrkefuksjoe βθ = P Påstå H 1 θ

7 Hypotesetestig med kjet σ Atar ormalfordelte, eller tilærmet ormalfordelte observasjoer: 1-α 100 % Kofidesitervall for µ X ± u α σ 2 Utvalgsstørrelse u α 2 = σ 2, d = feilmargi. d Testovervator for H 0 : µ = µ 0 U 0 = X µ 0 σ N µ µ 0 σ, 1 Hypotesetestig med ukjet σ Atar ormalfordelte observasjoer: 1-α 100 % Kofidesitervall for µ S X ± t α 2, 1 Testovervator for H 0 : µ = µ 0 T 0 = X µ 0 S Når H 0 er sa, er T 0 t-fordelt med -1 frihetsgrader. Poissofordelige ormaltilærmig Tilærmet 1-α 100 % Kofidesitervall for λ ˆλ ± u α 2 ˆλ, der ˆλ = X Testovervator for H 0 : λ = λ 0 U 0 = ˆλ λ 0 λ0 Biomisk fordelig ormaltilærmig 11 Korrelasjo S 2 X = 1 S 2 Y = 1 S XY = 1 X i X 2 = Y i Y 2 = 1 1 X i XY i Y = Empirisk korrelasjoskoeffisiet R = S XY S X S Y 12 Regresjosmodelle X 2 i Y 2 i 1 X 2 Y 2 X i Y i X Y Vi atar at vi har par observasjoer av x og Y : x 1, Y 1, x 2, Y 2,..., x, Y, der Y 1, Y 2,..., Y er uavhegige og ormalfordelte stokastiske variable, og der x 1, x 2,..., x er kjete tall.. EY i = β 0 + β 1 x i VarY i = σ 2 i = 1, 2,..., Miste kvadraters estimatorer ˆβ 1 = 1 x i xy i = 1 x i Y i xy, M M der M = x i x 2 = x 2 ˆβ 0 = Y ˆβ 1 x Estimert regresjoslije Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x x 2 i ˆβ1 Nβ 1, σ2 M ˆβ0 Nβ 0, σ2 M 1-α 100 % Kofidesitervall for β 1 kjet σ ˆβ 1 ± u α σ 2 M Testovervator for H 0 : β 1 = β1 0 kjet σ U 0 = ˆβ 1 β1 0 β 1 β1 0 σ N σ, 1 M M x 2 i Tilærmet 1-α 100 % Kofidesitervall for p ˆp1 ˆp ˆp ± u α, der ˆp = X 2 Testovervator for H 0 : p = p 0 U 0 = ˆp p 0 p0 1 p 0

8 N0, 1-FORDELINGEN : Gx = PX x Eksempel: x = 2.04 gir PX 2.04 = G2.04 = For egative verdier beyttes formele: G x = 1 Gx. x Kvatiltabell: α u α

9 KVANTILTABELL FOR t-fordelingen Tabelle gir t α, m som er α-kvatile i t-fordelige med m frihetsgrader. PT > t α, m = α der T ~ t m Eksempel: t 0.10, 12 = Det betyr at PT > = 0.10 år T ~ t 12. m α