Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Transkript

1 Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av de mest valig forekommede sasylighetsfordeligee. La I være e tilfeldig variabel som agir om et bilag ieholder feil eller ikke: I =, dersom bilaget ieholder feil 0, dersom bilaget ikke ieholder feil Idikatorfordelig:, dersom suksess I = 0, dersom ikke suksess La p=p(i=. Får da: E(I=0(-p+p = p E(I =0 (-p+ p = p Var(I= E(I - E(I = p-p = p(-p I er da et eksempel på e tilfeldig variabel med e fordelig som kalles idikatorfordelig (ofte også kalt Beroulli-fordelig.

2 Biomisk fordelig = 50 bilag skal sjekkes, og ma vet at sasylighete for at et tilfeldig bilag har feil er La X = atall av de 50 bilagee som har feil. Hva er sasylighetsfordelige til X? Dersom vi ka ata at bilagee har feil eller ikke feil uavhegig av hveradre ka vi resoere på følgede måte: X=I +I + +I der Me hva med P(X=x? For å få x bilag med feil må vi få e sekves av bilag der x bilag har feil (hvert med sasylighet p og -x bilag ikke har feil (hvert med sasylighet -p. Sasylighete for e slik sekves er p x (-p -x. Totalt fies det slike sekveser slik at vi får: x P( X x p p x x ( x I j =, dersom bilag j ieholder feil 0, dersom bilag j ikke ieholder feil E(X = E(I +E(I + +E(I =p+p+ +p=p Var(X = Var(I + +Var(I = p(-p+ +p(-p = p(-p

3 Eksemplet: =50 bilag, sas. for feil er p=0.05. Atar at bilagee har feil eller ikke feil uavhegig av hveradre. Hva er P(X, E(X og SD(X? P( X P( X E( X p SD( X P( X Var( X P( X p( p ( Biomisk fordelig geerelt: Dersom vi har e situasjo karakterisert ved:. Gjetatte ekeltforsøk som resulterer i suksess / ikke suksess. p = P( suksess de samme i alle ekeltforsøk 3. Ekeltforsøkee er uavhegige 4. Et bestemt atall,, ekeltforsøk Da har vi at X = atall suksesser i løpet av de forsøkee er biomisk fordelt, med parametre og p. Vi ka skrive dette X~Bi(,p og vi har: P( X x E( X p p x og x ( p x Var( X p( p

4 Eksempler på situasjoer der biomisk fordelig ka være aktuell: Atall bilag med feil i e revisjo. Atall defekte varer i et vareparti. Atall kompoeter som fugerer etter tid t. Atall brøer hvor ma fier olje. Atall som svarer Ja i e spørreudersøkelse. Atall pasieter som blir friske med e bestemt behadlig. Atall persoer på e arbeidsplass som blir smittet av e sykdom. Atall rekker med 7 rette i e lottotrekig. Atall seksere i kast med terig. Atall frø i e frøpose som spirer. Vareparti med =0 varer. E vare er defekt med p=0.03. Atar at varee er defekte eller ikke defekte uavhegig av hveradre. Med X= atall av de 0 som er defekte har vi da X~Bi(0, Fi P(ige defekte, P(to defekte og P(mer e to defekte.

5 Bilutleigefirma med 3 biler. X=atall biler utleid e tilfeldig dag. Av erfarig vet ma at: x 0 3 P(x Ata at det er uavhegig fra dag til dag hvor mage biler som er utleid. Hva er sasylighete for at firmaet i løpet av e uke (7 dager har mist to biler utleid: a Alle dagee, b Mist 5 av dagee? Hva er forvetet atall dager i løpet av e uke med mist to biler utleid? Hypergeometrisk fordelig Brukes i situasjoer karakterisert ved: N eheter totalt S av ehetee er suksesser N-S av ehetee er ikke suksesser Trekker ut eheter ute tilbakeleggig. Typisk eksempel: Lotteri: N lodd S vierlodd ( suksesser N-S taperlodd Trekker ut lodd ute tilbakeleggig.

6 La X=atall suksesser blat de som trekkes ut. Et gustige/mulige-resoemet gir da at: Dette er fordeligsfuksjoe for hypergeometrisk fordelig. Det ka også vises at: Merk: Dersom trekige skjer med tilbakeleggig vil X bli biomisk fordelt med p=s/n. N x S N x S x P(X ( Var( og E( N S N S N N X N S X Kakelotteri. N = 00 lodd, S = 3 vierlodd. Trekker ut = 5 lodd. X = atall vierlodd blat de truke 0.38 P( P( P( X X x X x x

7 Hypergeometrisk vs biomisk: Forskjelle mellom hypergeometrisk og biomisk fordelig er at det i hypergeometrisk fordelig ikke er uavhegighet og ikke like sasylighet i hvert ekeltforsøk. (For eksempel edrer sas. for å trekke et vierlodd seg fra trekig til trekig. Dette pga at vi har trekig ute tilbakeleggig. Trekker vi med tilbakeleggig er situasjoe lik i hver trekig og vi får biomisk fordelig. Dersom N 0 (dvs vi trekker ut maksimalt 5% av ehetee er det lite forskjell på trekig med og ute tilbakeleggig. Hypergeometrisk fordelig ka da tilærmes med biomisk fordelig med p=s/n. I kakelotterieksemplet hadde vi N=00 og =5, dvs N 0 er akkurat oppfylt. Ka da tilærme X= atall vierlodd med e biomisk fordelig med =5 og p=s/n=3/00=0.03. Dersom vi bruker dee tilærmige får vi: P( X 0 P( X Meigsmålig, N =3.5 millioer persoer, S =.4 millioer meer ja og =000 trekkes tilfeldig. X = atall av de uttrekte som svarer ja.

8 Poisso-fordelig Poisso-fordelig beskriver typisk situasjoer der vi ser på forekomste av e hedelse iefor et tidsitervall eller et spesifisert område. Eksempler: Atall telefoer til et setralbord i løpet av e time. Atall visiger av e webside per time. Atall utrykiger fra e brastasjo i løpet av ei uke. Atall trafikkulykker på e veistrekig i løpet av ett år. Atall bakterier i e vaprøve av et visst volum. Atall trykkfeil per side i e bok. Atall feil per tuse lijer programkode. Atall trær per mål skog. La X=atall gager e hedelse skjer i et itervall. Bl.a. er X Poisso-fordelt dersom:. Hedelser skjer med lik sasylighet overalt i itervallet.. To eller flere hedelser skjer ikke samtidig. 3. Atall hedelser i disjukte itervaller er uavhegige. Ka da vises at: P( X x E( X, x e x! Var( X

9 Atall telefoer til et kotor per time atas Poisso-fordelt med forvetigsverdi 8. La Y=atall telefoer per time. P(Y y y 0 0,0003 0,007 0, , , , , 7 0, , ,4 0 0,0993 0,07 0, , , , , ,00 8 0, , ,000 0,000 0, y! y 0,5 0,0 0,05 0,00 e 8 for y 0,,, 3,... Poissofordelig, m/forv Eksempel (forts: Hva er sasylighete for mer e 5 telefoer i løpet av e time? La Y=atall telefoer per time. P( Y 5 P( Y (P(0 P( P( P(3 P(4 P(5 ( 8 0 0! 5 e 8 3! 8 8 8! e E sekretær skriver i det lage løp i gjeomsitt feil per side. Hva er sasylighete for at ha på este side gjør eller færre feil? e ! e 8 8! e ! e 8

10 Atall stormer (på Sola per år i åree fom.957 tom Totalt 7 stormer; i gjeomsitt 7/4 = /6 per år. Sammeligig med Poissofordelig med =7/4=0.67. At. per år rel.frek. Sas. 0 0, ,846 0,9 0,4 0,04 0,0 3 eller flere 0,000 3 eller flere 0,00 frekves 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 Stormer, relativfrekveshistogram. 0 3 eller flere Atall stormer i et år. data Poisso Biomisk Poisso Når er stor og p er lite (ok år 50 og p0.05 ka biomisk fordelig tilærmes med Poissofordelig med =p. Nyttig fordi det er eklere å rege med Poissofordelig e med biomisk fordelig med stor (me boka gjør litt vel mye ut av dette. Atall vierrekker i Lotto La X=atall ileverte rekker som får 7 rette X~Bi(,p der =atall ileverte rekker og p=p(e rekke gir 7rette=/ Dvs X Poisso med =p= / =4.09 x P(x

11 Normalfordelig De viktigste og mest brukte av alle fordeliger er ormalfordelige. Normalfordelige er e kotiuerlig fordelig. Normalfordelige brukes både til å beskrive e lag rekke feome direkte, og som e tilærmig i mage ulike situasjoer. For eksempel ka ormalfordelig brukes til å beskrive feome som folks høyde, vekt på et produkt, edrig i aksjekurs, blodtrykk, IQ, temperatur, målefeil, etc. Uder visse betigelser, ka ormalfordelig også brukes som tilærmig til adre fordeliger. For kotiuerlige fordeliger gir det ikke meig å sakke om P(X=x (vil ha at P(X=x=0 for alle x, me ma ka agi sasyligheter for å få e verdi i et itervall, f.eks. P(a X b, P(X <b, eller P(X a. For kotiuerlige variable vil P(X <b= P(X b (fordi P(X=b=0, NB - dette er ikke tilfelle for diskrete variable! For kotiuerlige fordeliger har ma e såkalt sasylighetstetthet. Sasylighetstetthete er e fuksjo, og sasylighete for å få e verdi i et bestemt itervall fier ma som arealet uder dee fuksjoe over itervallet. For e ormalfordelt tilfeldig variabel X med forvetigsverdi og varias er sasylighetstetthete: f ( x ( x e Vi skriver: X~N(, Vi ka å f.eks. fie P(a X b som arealet uder f(x mellom a og b.

12 Eksempel på ormalfordeliger (fra boka: Megde melk som tappes på -liters melkekartoger, X, ka atas ormalfordelt med forvetig =.0 og stadardavvik = 0.0. Hva er P(X<0.95, P(0.96<X<.04 og P(X>.0? Svaret på dette fier vi som arealet uder sasylighetstetthete for ormalfordelige med =.0 og = 0.0. f(x Problem: Det er vaskelig å rege ut arealer uder ormalfordeligskurver vi bruker derfor et triks med å først trasformere til N(0,-fordelig (stadard ormalfordelig og så bruke tabell over dee.

13 Stadard ormalfordelig: E ormalfordelt variabel, X~N(,, ka trasformeres til e stadard ormalfordelt variabel på følgede måte: Z X E( X Var ( X X For X~N(3,, bereg P(X.5 X P ( X.5 P( P( Z Vi har da: P(X.5 P(Z -0.5 X E( X E( Z E( 0 X Var( Z Var( Var( X Dvs Z~N(0,. N(0, kalles stadard ormalfordelig og det fies tabeller over dee x z

14 Megde melk som tappes på -liters melkekartoger, X, ka atas ormalfordelt med forvetig =.0 og stadardavvik = 0.0. Hva er P(X<0.95, P(0.96<X<.04 og P(X>.0? Høyde me i e befolkig er ormalfordelt med forvetig =78 cm og stadardavvik =7.5 cm. La X være høyde til e tilfeldig ma. Fi P(X >85, og fi de verdie k som er slik at P(X > k =0.0

15 Setralgreseteoremet Setralgreseteoremet sier at summer/gjeomsitt av mage uavhegige variable vil være tilærmet ormalfordelt selv om de ekelte variablee selv ikke er ormalfordelte. terigkast Sasylighetsfordelig for sum av Sasylighetsfordelige for atall biler e bilforhadler selger per dag, X, er: x 0 3 P(x Ata at bilforhadlere har åpet 300 dager i løpet av året og at det er uavhegig fra dag til dag hvor mage biler som selges. Hva er sasylighete for at forhadlere selger mer e 350 biler i løpet av året? La S= X +X + + X 300 være totalt salg i løpet av året. Dvs vi skal fie P(S>350.

16 Setralgreseteoremet: La X, X,, X være uavhegige variable med samme fordelig og E(X i = og Var(X i = for alle i. La S = X +X + + X. Da sier setralgreseteoremet at Z S E( S Var ( S S N (0, Side et gjeomsitt er e sum delt på atall elemeter i summe gjelder også setralgreseteoremet for gjeomsitt. Ata som før at X, X,, X er uavhegige variable med samme fordelig og E(X i = og Var(X i = for alle i. La: X i X i ( X X X S år er tilstrekkelig stor. E tommelfigerregel sier at tilærmige er ok år 30. Dette er faktisk et av de yttigste og mest brukte resultater i statistikkfaget! Setralgreseteoremet sier da at: X E( X X Z Var( X / N(0, Merk: E( S Var( S E( X E( X Var( X E( X Var( X Var( X Ok år 30.

17 Tilbake til bilsalgeksemplet: X=atall biler solgt per dag. Var( X 0 x 0 3 P(x S= X +X + + X 300 er totalt salg i løpet av ett år. Vi skal fie P(S>350. E( X Et ytt boligområde er uder plaleggig. E faktor ma må ta hesy til i plaleggige er hvor mage biler familiee som flytter i har. La X være atall biler e familie har. Ata at ma for de plalagte type boliger aslår at fordelige til X er: x 0 P(x Det skal bygges 65 boliger. Dersom det bygges 90 parkerigsplasser til beboeres biler, hvor stor er sasylighete for at det blir ok parkerigsplasser?

18 Normalfordelig som tilærmig til biomisk fordelig Det følger fra setralgreseteoremet at også biomisk fordelig ka tilærmes med ormalfordelig. (Dette side X i biomisk fordelig er atall suksesser, dvs e sum, vi hadde X=I +I + +I Dvs år X~Bi(,p har vi at I e spørreudersøkelse blir 000 tilfeldig valgte ordme spurte om de meer Norge bør blir medlem av EU eller ikke. X=atall av de 000 som er for orsk EUmedlemskap. Ata at p =P( for =0.48 (dvs at 48% av befolkige er for Z X E( X Var( X X p p( p N (0, Da er X~Bi(000, Ser at p(-p= =49.6>0, dvs ormaltilærmig ok. Dee tilærmige er ok år p(-p5 og god år p(-p0. Husk at i biomisk fordelig er E(X=p og Var(X=p(-p.

19 Illustrasjoer: 0,300 0,50 0,00 X~Bi(0,0.3 p(-p= =. X~Bi(50,0.3, 0,40 0,0 0,00 0,080 0,060 p(-p= =0.5 B(50,0.3 N(5,0.5 0,50 0,00 B(0,0.3 0,040 0,00 0,050 0, , ,80 0,60 X~Bi(5,0.3 p(-p= =5.5 X~Bi(00,0.3, 0,070 0,060 0,050 p(-p= =4 0,40 0,0 0,00 B(5,0.3 0,040 0,030 B(00,0.3 N(60,4 0,080 0,060 N(7.5,5.5 0,00 0,040 0,00 0, ,00 0,

20 Normalfordelig som tilærmig til Poisso-fordelig Normalfordelig ka også brukes som tilærmig til Poisso-fordelig. Dersom X er Poisso-fordelt med parameter vil Heltallskorreksjo Når vi tilærmer e diskret fordelig som ku har heltall som mulige verdier med ormalfordelig (som er kotiuerlig ka tilærmige forbedres ved å iføre e korreksjosfaktor på 0.5. Z X E( X Var( X X N (0, P( X b P ( X E( X Var ( X b 0.5 E( X Var ( X Dee tilærmige er god år 0. E tilsvarede tilærmig fies også for hypergeometrisk fordelig, me dette skal vi ikke gå i på. NB! Skriv først om til et uttrykk med før korreksjoe brukes. NB! Bruk ku korreksjoe år du tilærmer e diskret fordelig (med heltall som mulige verdier med ormalfordelig. Aldri ellers! Er du i tvil, dropp korreksjoe! Korreksjoe er midre viktig jo større er.

21 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,080 0,060 0,040 0,00 0, B(5,0.3 N(7.5,5.5 Vi ser at arealet uder ormalfordeligs-kurve treffer bedre dersom vi går opp til 6.5 i stedet for bare opp til 6. P( X 6 P X~Bi(5,0.3 Fi P(X 6 ( ( X ( 0.3 P Z ( 0.3 Lieærkombiasjoer av ormalfordeliger Lieærkombiasjoer av ormalfordeliger er også ormalfordelte. For eksempel dersom X ~N(, og X ~N(, og X og X er uavhegige så er: X + X ~N( +, + Videre dersom Y= ax + bx +c der a, b og c er kostater så er osv. Y ~ N( E(Y,Var(Y = N(a + b +c, a + b Tilsvarede gjelder for lieærkombiasjoer av mer e to ormalfordelte variable. Se boka for eksempler. Eksakt: P(X 6=0.34 Ute korreksjo: P(X60.6

22 Oppsummerig Biomisk fordelig:. Gjetatte ekeltforsøk som resulterer i suksess / ikke suksess. p=p( suksess de samme i alle ekeltforsøk 3. Ekeltforsøkee er uavhegige 4. Et bestemt atall,, ekeltforsøk X = atall suksesser i løpet av de forsøkee ~Bi(,p Hypergeometrisk fordelig:. N eheter totalt. S av ehetee er suksesser 3. N-S av ehetee er ikke suksesser 4. Trekker ut eheter ute tilbakeleggig. Poisso-fordelig: Brukes typisk situasjoer der vi ser på forekomste av e hedelse iefor et tidsitervall eller et spesifisert område Normalfordelig: De viktigste og mest brukte av alle sasylighetsfordeliger Tilærmiger Oppsummerig Hypergeometrisk biomisk, OK år N0 Biomisk Poisso, OK år 50 og p0.05 Biomisk Normal, OK år p(-p5 og god år p(-p0 Poisso Normal, OK år 0 Setralgreseteoremet: X, X,, X uavh. med samme fordelig, E(X i = og Var(X i =.La S = X +X + + X. Uasett hvilke fordelig variablee har er da Z S E( S Var( S S N (0, OK år 30. Tilsvarede gjelder også for gjeomsitt.