HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: Tirsdag 3. desember 03 Varighet/eksamestid: 5 timer Emekode: TALM005-A Emeav: Statistikk og Økoomi Klasse(r): Kjemi, Material, Logistikk Bygg Elektro, Forybar eergi Maski Studiepoeg: 0 studiepoeg Faglærer(e): (av og telefor på eksamesdage) Kotaktperso(adm.) (fylles ut ved behov ku ved kursemer) Hjelpemidler: Oppgavesettet består av: (atall oppgaver og atall sider ikl. forside) Kjetil Liestøl Nielse ( ), Perille Friis, Lars Egvik Audu Grøm ( ), Eirik Spets Kalkulator gruppe C, formelark (statistikk) på 5 sider, tabeller (statistikk) på 9 sider, formelark (økoomi) på sider, retetabeller med forklarig. 7 oppgaver (totalt 5 deloppgaver), 6 sider (ikl dee forside) + vedlegg. Vedlegg består av: (atall sider) Formelark (statistikk) på 5 sider, tabeller (statistikk) på 9 sider, formelark (økoomi) på sider og retetabeller. Merkader: Oppgavetekste ka beholdes av studeter som sitter eksamestide ut. Studetee skal levere statistikkdele (oppg. -4) og økoomidele (oppg. 5-7) separat i hvert sitt omslagsark. NB! Les gjeom hele oppgavesettet før du begyer arbeidet, og dispoer tide. Statistikkdele og økoomidele teller 50% hver (gitt at lærigsmålee er tilfredsstillede oppfylt). Beregigsmetode(r) skal vises og svar skal begrues tilstrekkelig. Ved bruk av tabell skal det refereres til de aktuelle tabelle. Dersom oe virker uklart i oppgavsettet, skal du gjøre die ege atagelser og forklare dette i besvarelse. Lykke til!

2 Del - Statistikk Oppgave Hva er mest sasylig av å få mist é sekser på 6 terigkast eller mist to seksere på terigkast? Reg ut begge sasylighetee. Oppgave Det atas at e test for e bestemt sykdom gir feil utslag i 5 % av tilfellee for persoer som ikke har sykdomme, og i % av tilfellee for persoer som har sykdomme. 3 % av befolkige atas å ha sykdomme. Fi sasylighete for at e tilfeldig perso ikke har sykdomme, gitt at teste idikerer sykdom. Oppgave 3 Atall utrykiger fra e legevakt ka beskrives med e Poisso-fordelig med e itesitet på.5 utrykiger per dag. a) Reg ut sasylighete for at det skjer mer e tre utrykiger i løpet av e dag. b) Reg ut sasylighete for at det skjer mist 0 utrykiger i løpet av e periode på fire dager. c) Bereg (tilærmet) sasylighete (ute bruk av statistikkverktøyee på kalkulator) for at gjeomsittlig atall utrykiger per dag i løpet av år (365 dager) er høyst.4. Oppgave 4 (NB: I dee oppgave skal sasyligheter bereges ute bruk av statistikkverktøyee på kalkulator. E maski aalyserer jordprøver ved et laboratorium. Ata at tide maskie bruker på å aalysere e tilfeldig prøve, X, er ormalfordelt med µ = 50 sekuder og σ = 36 sekuder. a) Hva er sasylighete for at maskie bruker mer e 00 sekuder på å aalysere e jordprøve? b) Ata at maskie bruker mer e 00 sekuder på å aalysere e bestemt jordprøve. Hva er da sasylighete for at dee aalysetide er høyst 50 sekuder? (oppgave 4 fortsetter på este side)

3 Etter e kalibrerig av maskie, vil ma udersøke om maskie fortsatt har e forvetet aalysetid på 50 sekuder. Det blir tatt 5 måliger, og gjeomsittlig aalysetid blir målt til 30 sekuder. Vi atar at aalysetide på e tilfeldig valgt jordprøve fortsatt er ormalfordelt med σ = 36 og at måligee er uavhegige av hveradre. c) Bereg et 95% kofidesitervall for forvetet aalysetid etter kalibrerig. d) Still opp e hypotesetest med sigifikasivå 5 % for å avgjøre om vi ka påstå at forvetet aalysetid for maskie etter kalibrerig er ulik 50 sekuder. Gjeomfør hypoteseteste med måligee etter kalibrerig. e) Grafe over viser styrkefuksjoe for hypoteseteste i oppgave d). i. Hva er sasylighete for å kokludere rett ved hypoteseteste i d) hvis vi atar at maskies forvetede aalysetid ikke har edret seg etter kalibrerig? ii. Gitt at maskie faktisk hadde e forvetet aalysetid på 30 sekuder etter kalibrerig, hva er da sasylighete for at vi kommer til å kokludere feil ved hypoteseteste i d)? 3

4 Del - Økoomi Oppgave 5 Vakraft AS øsker å bygge e kraftstasjo. Kraftstasjoe vil koste 4.8 millioer kroer. Kraftstasjoe har e levetid på fem år, og de vil i gjeomsitt produsere strøm til e bereget salgspris på, millioer kroer i året. Kraftstasjoe vil være verdiløs etter fem år. Avkastigskravet er satt til 7 %. Lø og vedlikeholdskostader vil beløpe seg på millio kroer i året. a) Bereg ivesteriges åverdi. Er ivesterige løsom? b) Vakraft AS vurderer å søke om støtte fra state side de produserer grø eergi. Hvor mye må de få i støtte i året for at prosjektet skal bli løsomt? c) Nev de ulike risikofaktoree til dette prosjektet? Kom med e kort begruelse hvorfor det er satt et avkastigskrav på 7 %. d) Vakraft AS vurderer å ta opp et lå. De vil låe kroer som de plalegger å ha i 3 år. Lået er avdragsfritt i 3 år. Rete på 7 % skal betales etterskuddsvis hvert år. På låetidspuktet betales et gebyr på kr Dessute må de betale et termigebyr på kroer 500 ved hvert betaligstidspukt. Reg ut de effektive rete for lået. e) Normalt vil e betale reter på et lå etterskuddsvis, i hvilke retig ville de effektive rete bevege seg om retee + gebyr ble krevd forskuddsvis? Hvorfor? 4

5 Oppgave 6 To dyktige igeiørstudeter vurderer å starte opp e ege bedrift i starte av 03. De har spart opp kr hver, me har ikke råd til å tape oe utover dette. Side det er mage aktører som driver på med det samme, og at itrede i markedet krever store ivesteriger vil dette være ivesterig med høy risiko. a) Hvilket type foretak bør de to studetee opprette og hvorfor? De plalegger å kjøpe i e maski til kr som skal lage et helt ytt og revolusjoerede produkt. Kalkyle for produktet ser slik ut: Direkte materiale Direkte lø i produksjosavdelig Betalbare salgs - og admiistrasjoskostader Sum betalbare kostader 5 kr kr 3 kr 0 kr Vi reger med at salgsprise per ehet vil ligge på 5 kr. De kommer til å produsere stykk hvert år. Materialee settes i med e gag, mes løskostadee påløper jevt uder produksjo. Bedrifte vil operere med følgede fakta: Råvarelager: Tilvirkigsprossese tar: Omløpshastighet for ferdigvarelager: Kredittid til kuder: Likviditetsreserve: Kredittid til leveradører: måeder uke 60 gager per år måed kr måed b) Bereg det totale kapitalbehovet. c) Hva går forsiktighetsprisippet ut på? Trodheim IgStud AS hadde i fjor e gjeomsittlig dekigsgrad på 40 %. Bedriftes faste kostader var på kroer per år. Overskuddet beløp seg til kroer. d) Bereg dekigspuktsomsetig og sikkerhetsmargi i proset. e) For å øke salget plalegger bedrifte å redusere de gjeomsittlige prise med 0 %. Bereg de ye dekigsgrade. 5

6 Oppgave 7 Ved slutte av året har e bedrift følgede balaseposter: Fiaskostader Varelager Maski Itekter Egekapital Patelå Løskostader Kudefordriger Leveradørgjeld Kortsiktig lå Fiasitekter Bakiskudd Varekostader kr kr kr kr kr kr kr kr kr kr kr kr kr Evetuelt overskudd eller uderskudd er lagt til/trukket fra egekapitale. a) Utarbeid balase og resultatkoto for dee bedrifte. b) Bereg totalretabilitete og kommeter de. Hvorda ka de forbedre de? c) Kommeter soliditete til bedrifte ved slutte av året. d) Maskie ble kjøpt i ved slutte av året. Maskie har e lieær avskrivig på 0 år med e utragerigsverdi på kr. Bereg årlig avskrivig este år og vis hvorda dette ville blitt ført regskapsmessig ved bruk av t-koto. I tillegg kommeter om dette vil påvirke resultatet for este år. e) E bedrift har et lå i e bak. Bake setter opp retee, oe som medfører høyere retekostader for bedrifte. Hvorda påvirker de økte retekostader totalretabilitete for bedrifte? 6

7 ALM00M STATISTIKK FORMELSAMLING [/3] Gruleggede formler i sasylighetsregige Geerell addisjossetig P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Betiget sasylighet P(A B) P(A B) = P(B) Ge. multiplikasjosregel P(A B) = P(B) P(A B) eller P(A B) = P(A) P(B A) Total sasylighet r P(B) P(A B) P(A) = P(B i) P(A B i) Bayes lov P(B A) = i= P(A) A og B uavhegige P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Kombiatorikk Atall forskjellige utvalg år s eheter trekkes fra e populasjo på N eheter: Ordet utvalg, med tilbakeleggig! Ordet utvalg, ute tilbakeleggig ( N) = N( N N ) ( N s + ) = s ( N s)! N (N) s N! Uordet utvalg, ute tilbakeleggig ( ) s = s! = s!(n s)! N s Geerelt om sasylighetsfordeliger for variabel Fordeligsfuksjo F(x) = P(X x) Forvetig Varias P(a < X b) = F(b) F(a) Stadardavvik σ= SD(X) = Var(X) x x F(x) = f (u) du f(x) = F'(x) µ= E(X) = x P(X = x) µ= E(X) = x f(x) dx E [g(x)] = g ( x ) P ( X = x ) E [g(x)] = g(x) f (x) dx x σ = Var(X) = E[(X µ ) ] = E(X ) µ = ( x P(X = x)) µ x Geerelt om sasylighetsfordeliger for variable Simultafordelig for X og Y P[(X = x) (Y = y)] Forvetig E[g(X, Y)] = g(x, y) P[(X = x) (Y = y)] Kovarias Cov(X,Y) = E[(X µ )(Y µ )] = E(X Y) µ µ Korrelasjoskoeffisiet Cov(X, Y) ρ (X,Y) = σ σ x y

8 Spesielle diskrete sasylighetsfordeliger Biomisk fordelig X ~ bi(, p): x = ( ) x x P(X = x) p ( p) E(X) = p Var(X) = p ( p) Hypergeometrisk fordelig X ~ hypergeom(n, M, ): P ( X = x ) = ( M x ) ( N M x ( N ) ) E(X) = θ N Var(X) = θ( θ) N der θ= M N Poissofordelig X ~ Po(λ): Her er λ = α t eller α v eller α f x λ P(X = x) = e x! E(X) = λ λ Var(X) = λ Spesielle kotiuerlige sasylighetsfordeliger Ekspoesialfordelig T ~ eksp(α): f(t) = α e αt for t > 0 F(t) = e αt for t > 0 E(T) = Var(T) = α α Rektagulær fordelig X R(a, b): f(x) = b a for a < x < b a+ b E(X) = Var(X) = (b a) Stadard ormalfordelig U N(0,): P(U u) = G(u) G( u) = G(u) Geerell ormalfordelig X N(µ, σ ): x µ F(x) = P(X x) = G σ

9 Regler for forvetig og varias E(aX + b) = a E(X) + b E(X + X ) = E(X ) + E(X ) Var(aX + b) = a Var(X) Var(X + X ) = Var(X ) + Var(X ) år X og X er uavhegige. Puktestimerig av forvetig µ og varias σ i målemodelle Puktestimator for forvetig: Puktestimator for varias: µ= ˆ X= Xi i = σ E( µ ɵ ) = µ Var( µ ɵ ) = S = (X X) = ( X X ) i i= i= i ES ( ) =σ Tilærmiger Setralgresesetige (gjelder alle fordeliger): Dersom X, X,, X er uavhegige og idetisk fordelte stokastiske variable med forvetig µ og varias σ, så er for store verdier av ( 30): X + X + + X N ( µ, σ ) og σ X = (X+ X+ + X ) N µ, Sammeheg mellom spesielle fordeliger: hypergeom(n, M, ) N , θ ( θ ) 0 N N(µ, σ ) p( p) 0 λ 0 bi(, p) 50 p 0.05 Po(λ) 3

10 Itervallestimerig og hypotesetestig i målemodelle σ kjet, ormalfordelte observasjoer eller stort atall observasjoer ( 30): ( α) 00 % kofidesitervall for forvetige µ: u α σ Utvalgsstørrelse: = d X± u α σ der d er kofidesitervallets feilmargi. X µ 0 µ µ 0 Testobservator for H 0 : µ = µ 0 : U 0 = ~ N, σ σ σ ukjet, ormalfordelte observasjoer: ( α) 00 % kofidesitervall for forvetige µ: X± t S α, X µ 0 Testobservator for H 0 : µ = µ 0 : T0 = S Når H 0 er sa, er T 0 t-fordelt med ( ) frihetsgrader. Itervallestimerig og hypotesetestig i Poissomodell, vha. ormaltilærmig Tilærmet ( α) 00 % kofidesitervall for λ: λ λ ˆ 0 Testobservator for H 0 : λ = λ 0 : U0 = λ 0 λ± ˆ λ ˆ der λ ˆ = X u α Itervallestimerig og hypotesetestig i biomisk modell, vha. ormaltilærmig Tilærmet ( α) 00 % kofidesitervall for p: p( ˆ p) ˆ ˆp± uα der ɵp = Testobservator for H 0 : p = p 0 : U0 = ˆp p0 p( 0 p) 0 Itervallestimerig og hypotesetestig i hypergeometrisk modell, vha. ormaltilærmig Tilærmet ( α) 00 % kofidesitervall for Testobservator for H 0 : θ = θ 0 : X M θ= : Aalogt med biomisk modell. N Aalogt med biomisk modell. 4

11 Korrelasjo = X i i = i= i= S (X X) ( X ) X S = (X X)(Y Y) = ( X Y) X Y XY i i i i i= i= SXY Empirisk korrelasjoskoeffisiet: R = S S X = Y i i = i= i= S (Y Y) ( Y ) Y Y Regresjosmodelle par observasjoer av x og Y: (x,y ), (x,y ),, (x,y ) Y, Y,, er uavhegige og ormalfordelte stokastiske variable. Y E(Y i ) = β 0 + β x i Var(Y i ) = σ i =,,, der x, x,, x er kjete tall. i =,,, Miste kvadraters estimatorer: ˆ β = (xi x) Yi = xiyi x Y M i= M i= β ˆ = Y ˆ 0 β der x ˆ σ β ~ N ( β, ) ˆ σ β 0 ~ N ( β0, x i ) M M Estimert regresjoslije: Ŷ=β ˆ ˆ 0 +β x i i i= i= M = (x x) = ( x ) x i = Itervallestimerig og hypotesetestig i regresjosmodelle σ kjet: Kofidesitervall for β : ˆ σ β± u α M Testobservator for H 0 : 0 β =β 0 0 β β ˆ β β U 0 = ~ N, σ σ M M σ ukjet: Ikke pesum 5

12 N(0, )-FORDELINGEN : G(x) = P(X x) Eksempel: x =.04 gir P(X.04) = G(.04) = For egative verdier beyttes formele: G( x) = G(x). x Kvatiltabell: α u α

13 KVANTILTABELL FOR t-fordelingen Tabelle gir t α, m som er α-kvatile i t-fordelige med m frihetsgrader. P(T > t α, m) = α der T ~ t m Eksempel: t 0.0, =.356. Det betyr at P(T >.356) = 0.0 år T ~ t. m α

14 BINOMISK FORDELING : P(X x) Lijer der alle sasylighetee er lik.000 er ikke tatt med i tabelle. x p

19 POISSON FORDELING : P(X x) x λ x λ x λ

20 POISSON FORDELING : P(X x) x λ x λ

21 Formelark Totalretabilitete: (Ordiært resultat før skattekostad + fiaskostader) * 00% Gjeomsittlig totalkapital eller (Driftsresultat + fiasitekter) * 00% Gjeomsittlig totalkapital Egekapitalretabilitete før skatt: Ordiært resultat før skattekostad * 00% Gjeomsittlig egekapital Egekapitalretabilitete etter skatt: Ordiært resultat * 00% Gjeomsittlig egekapital Egekapitalproset: Egekapital * 00% Totalkapital Resultatgrade: (Driftsresultat + fiasitekter) * 00% Driftsitekter Kapitales omløpshastighet: Driftsitekter Gjeomsittlig totalkapital Likviditetsgrad : Omløpsmidler Kortsiktig gjeld Likviditetsgrad : Omløpsmidler varebeholdigee Kortsiktig gjeld Varelagerets lagrigstid: Gjeomsittlig varelager * 360 dager Varer solgt i året Kredittid til kuder: Beholdig av kudefordriger * 360 dager Ibetalt fra kuder i året Kredittid til leveradører: Beholdig av leveradører * 360 dager Betalt til leveradøree i året

22 Optimal ikjøpsmegde per gag: M= * Å * O P * L Hvor Å= Årsforbruk i eheter P= Pris per ehet O= Ordrekostader per gag L= Lagrigskostader i proset M= Megde per ikjøp ep: Edrig i megde : Edrig i pris Gjeomsittlig megde Gjeomsittlig pris Sikkerhetsmargi: Forskjell fra dekigspukt * 00% Periodes salg Dekigsgrad: Totalt dekigsbidrag * 00% evt. Dekigsbidrag per ehet * 00% Periodes salg Pris per ehet Dekigspuktet: Faste kostader * 00% Dekigsgrade Tilleggssats: Idirekte kostader * 00% Fordeligsgrulaget

23

24

25

26

27

28

29

30