Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen

Transkript

1 Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen

2 . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen: P( A ) = P(A) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Utfallene A og B er disjunkte dersom AB = Ø. Kombinatorikk Fra en populasjon på N enheter trekkes et utvalg på s enheter. Trekkemåte Ordnet med tilbakelegging Antall forskjellige utvalg N s Ordnet uten tilbakelegging (N) s = N (N ) (N ) (N s + ) Ikke-ordnet uten tilbakelegging N s ( N) s! s N! s!( N s)! Av N enheter kan det dannes N! = N (N ) 3 forskjellige rekkefølger. Vi definerer dessuten 0! =..3 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Betinget sannsynlighet for A gitt B, der P(B) > 0, er gitt ved: P(A B) = P(A B) P(B) Multiplikasjonssetningen: P(AB) = P(B) P(A B) P(B) > 0 P(AB) = P(A) P(B A) P(A) > 0 Bayes lov: P(B A) = P(B)P(A B) P(A) P(A) > 0 P(B) > 0

3 Lov om total sannsynlighet P(A) = P(B ) P(A B ) + P(B ) P(A B ) + + P(B r ) P(A B r ) B, B,, B r er disjunkte utfall, alle med positiv sannsynlighet, og B B B r = B-ene sies å være en oppdeling av utfallsrommet. Spesialtilfelle oppdeling i deler P(A) = P(B) P(A B) + P( B ) P(A B ) Her er r =, B = B og B = B Uavhengighet A og B er uavhengige utfall dersom P(AB) = P(A) P(B). Stokastiske variabler. Generelle formler Kumulativ fordelingsfunksjon F(x) = P( X x ) P( a < X b ) = F(b) F(a) Sannsylighetsfordeling Diskret: P( X = x j ) j =,, 3, Punktsannsynligheter Kontinuerlig: f (x) = F (x) Sannsynlighetstetthet Forventning Diskret: = E(X ) = x P ( X x ) Kontinuerlig: = E(X ) = x f ( x ) dx 3

4 Regneregler: E( ax + b ) = a E(X) + b E( g(x) ) = g ( x ) P ( X x ) (diskret) E( g(x) ) = g ( x) f ( x) dx (kontinuerlig) E(X + Y) = E(X) + E(Y) Varians = Var(X) = E[(X ) ] = E( X ) Regneregler: Var( ax + b) = a Var(X) Var( X + Y ) = Var(X) + Var(Y) dersom X og Y er uavhengige. Gjennomsnitt Dersom X, X,., X n er uavhengige alle med forventning og varians, så er forventning og varians for gjennomsnittet gitt ved: E( X ) = Var( X ) = n Binomisk fordeling X er antall forekomster av et utfall A på n uavhengige delforsøk og p = P(A). Sannsynlighetsfordeling P(X = x) = Forventning og varians n x p x nx ( p) x = 0,,,, n Normaltilnærmelse E(X) = np Var(X) = np ( p) X N ( np, np ( p) ) God tilnærmelse for np ( p) 0 4

5 .3 Hypergeometrisk fordeling I en populasjon på N enheter har M enheter egenskap A. = M/N er andelen av enheter med egenskap A i populasjonen. X er antall enheter med egenskap A i et utvalg på n enheter som er trukket tilfeldig uten tilbakelegging. Sannsynlighetsfordeling P(X = x) = Forventning og varians M x N M N n n x x = 0,,, Normaltilnærmelse E(X) = n Var(X) = N n N n ( ) X N ( n, n ( ) ) God tilnærmelse for n ( ) 0 og N mye større enn n..4 Poissonfordeling X er antall forekomster av et utfall A i t enheter av tid, areal eller volum. er forventet antall forekomster av A pr enhet. Sannsynlighetsfordeling P(X = x) = ( t) x! x e t x = 0,,, Forventning og varians E(X) = t Var(X) = t Normaltilnærmelse X N( t, t ) Brukbar tilnærmelse for t 0 Ofte vil en innrette seg slik at t =. Da angir X antall forekomster av A på enhet, f.eks. time, mål eller liter. 5

6 .5 Normalfordeling Sannsynlighetstetthet: f ( x ) ( x) e Forventning og varians: E(X) = Var(X) = x Kumulativ fordelingsfunksjon: F(x) = P( X x ) = G ( ) G er kumulativ fordelingsfunksjon for N(0, )-fordelingen. G(u) fins i tabellen på side 0-. Omvendingsformelen: G(u) = G(u).6 Eksponensialfordeling Sannsynlighetstetthet: f t ( t) e t > 0 Forventning og varians: E(T) = Var(T) = Kumulativ fordelingsfunksjon: F(t) = P( T t ) = e t t > 0 3. Statistikk 3. Målemodellen Modell: X, X,., X n er uavhengige og normalfordelte med forventning og varians Standardestimatorer: ˆ X ˆ S ( X i X ) n 6

7 3. Konfidensintervall Dersom ˆ er en forventningsrett og normalfordelt estimator for en parameter, så er et konfidensintervall for med sikkerhet 00( )% gitt ved ˆ u / SD( ˆ) der SD( ˆ) Var( ˆ ) er standardavviket til estimatoren, og u / er /-kvantilen i N(0, )-fordelingen. Dersom ˆ er tilnærmet normalfordelt, får vi ved formelen ovenfor et tilnærmet konfidensintervall. Dersom SD ( ˆ ) inneholder parameteren, erstattes denne med estimert verdi ˆ, og konfidensintervallet gjelder fortsatt tilnærmet. 3.3 Hypotesetest ˆ er en forventningsrett og normalfordelt estimator for en parameter. Vi skal teste H 0 : = 0 mot H : > 0 Signifikansnivået skal være, dvs. kritisk verdi k bestemmes slik at P(ˆ > k = 0 ) = Testen blir: Påstå H dersom ˆ k 0 u SD( ˆ) der SD( ˆ) Var( ˆ ) er standardavviket til estimatoren under H 0. Dersom ˆ er en tilnærmet normalfordelt, får vi en test med tilnærmet signifikansnivå. 7

8 3.4 Målemodell med ukjent standardavvik t-fordelingen X, X,., X n er uavhengige og normalfordelte med forventning og varians Da er T X S n t-fordelt med n frihetsgrader der S ( X i X n ) Når σ er ukjent, brukes t-fordelingen i konfidensintervall og hypotesetest for µ i målemodellen. Konfidensintervall med sikkerhet 00( α)% for µ: X t /, n S n der t α /, n er α/-kvantilen i t-fordelingen med n frihetsgrader. En test med signifikansnivå α for hypotesen H 0 : µ = µ 0 mot H : µ > µ 0 får en ved å påstå H dersom T X 0 0, n der t α, n er α-kvantilen i t-fordelingen med n frihetsgrader. S n t 8

9 3.5 Regresjonsanalyse Modell: Y = 0 + x + U U er normalfordelt med forventning 0 og standardavvik, og x er ikke-stokastisk. Dermed er også Y normalfordelt. Forventning og varians: E(Y) = 0 + x Var(Y) = Vi har n uavhengige par av observasjoner av x og Y : ( x, Y ), ( x, Y ),, ( x n, Y n ) Minste kvadraters estimatorer (MKE) ˆ ( xi x ) Yi der M = ( x i x ) M ˆ 0 ˆ x Y Estimatorene er normalfordelte med forventning og varians: E( ˆ ) Var( ˆ ) M E( ˆ0 ) 0 Var( ˆ0 ) x i n M 4. Tabeller 4. Kvantiltabell over N(0, )-fordelingen u

10 4. Tabell over N(0, )-fordelingen Tabellen gir G(x) = P(X x) der X ~ N(0, ). Eksempel: x = 0.54 gir P(X 0.54) = G( 0.54) = x =.86 gir P(X.86) = G(.86) = (neste side) x

11 x

12 4.3 Tabell over t-fordelingen Tabellen gir t α, m som er α-kvantilen i t-fordelingen med m frihetsgrader. Vi har P(T > t α, m) = α der T ~ t m Eksempelvis er t 0.05, 5 =.753. Det betyr at P(T >.753) = 0.05 når T er t-fordelt med 5 frihetsgrader. m

13 3