Oppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)

Transkript

1 MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige. Vi skal teste H 0 : µ µ = 0 mot H : µ µ 0 Med lik me ukjet varias atatt har vi fra pesum at der T = X X S p t + uder H 0 Sp = ( )S + ( )S. + Observert: x = 37900, x = 39800, s = 500 og s = 5900 som gir s p = ( )s + ( )s + = ( )500 + ( ) = 555 og videre t obs = = 0.84 p-verdi = P (T t obs µ = µ ) = P (T 0.84) me dee er det vaskelig å e oe god tilærmig til i tabelle. Vi ka imidlertid e e edre grese. Vi ser fra tabelle at med ν = så er i alle fall P (T 0.84) > 0.5 slik at p-verdi > 0.5 = 0.3 slik at vi ka kokludere at for ethvert foruftig ivå vil vi ikke forkaste H 0. Ikke grulag for å påstå at det er forskjell i dekkslitasje med de to dekktypee. Alterativt ka vi utføre teste ute bruk av p-verdi. Dersom vi velger ivå f.eks. α = 0.05 får vi med = = at vi forkaster ullhypotese dersom T t α/, + = t 0.05, =.07 eller T t α/, + = t 0.05, =.07. Med t obs = 0.84 har vi dermed at vi forkaste ikke H 0 på 5% ivå. NB! Geerelt: Dersom sigikasivå ikke står oppgitt, bruk 5% ivå. X=høyde jete. Vi skal teste: Oppgave 0.49 (0.0:3) H 0 : µ = 6.5 mot H : µ 6.5 Hvor mage observasjoer må gjøres for å oppå e styrke (sasylighet for å forkaste) på 0.95 år µ µ 0 = µ 6.5 = δ = 3.? Merk at styrke = P (forkaste H 0 H ) = P (ikke forkaste H 0 H ) = P (type II feil) = β, dvs vi øsker P (type II feil) = β = styrke = 0.95 = 0.05 for δ = 3..

2 MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Dersom vi ser på µ = µ 0 + δ får vi: β = P (ikke forkasteh 0 µ = µ 0 + δ) = P ( z α/ X µ 0 σ/ z α/ µ = µ 0 + δ) = P ( z α/ δ σ/ X µ 0 δ σ/ P ( X µ 0 δ σ/ z α/ z α/ δ σ/ = z β z α/ + z β = δ σ = (z α/ + z β ) σ δ z α/ δ σ/ ) δ σ/ ) = P (Z z α/ δ σ/ ) Dersom vi ser på µ = µ 0 δ får vi akkurat samme svar. Dvs med β = 0.05, α = 0.0, δ = 3. og σ = 6.9 blir atall måliger vi må gjøre: (z α/ + z β ) σ δ = (z z 0.05 ) σ δ = ( ) = 78. Dvs vi må måle mist 79 studeter for å oppå øsket styrke. (Feil i fasite.) Vi skal teste: Oppgave 0.50 (0.0:3) H 0 : µ A = µ B mot H : µ A > µ B Vi øsker å ha e styrke (sasylighet for å forkaste) på 0.95 dersom µ A er 8 større e µ B. Hvor mage måliger må vi gjøre? Samme resoemet som i oppgave (se boka side 34-35) gir at atall måliger som må gjøres er = A = B = (z α + z β ) (σ A + σ B) δ dvs med β = 0.95 = 0.05, α = 0.05, δ = 8, σ A = 6.8 og σ A = 5.6 får vi: = (z z 0.05 ) ( ) 8 = ( ) ( ) 8 =.99 Dvs vi må gjøre måliger av begge trådtypee (4 måliger til samme).

3 MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. 3) Oppgave 0.66 (0.:) Iuesamedisi X =atall som ble friske på to dager blat de som brukte medisie bi(, p ). X =atall som ble friske på to dager blat de som ikke brukte medisie bi(, p ). Øsker å teste om medisie virker, dvs: H 0 : p = p mot H : p > p E estimator for dierase p p er: ˆP ˆP = X X. E( X X ) = Var( X X ) uavh. = E(X ) E(X ) = p p = p p = 0 uder H 0 Var(X ) + Var(X ) = p ( p ) + p ( p ) = p ( p ) + p ( p ) = p( p)( ) uder H 0 : p = p = p Z = ˆP ˆP p( p)( ) ˆP ˆP N(0, ) ˆP ( ˆP )( ) uder H 0 (SGT) der de ukjete p er erstattet med estimatore ˆP = X +X +. Dette er e rimelig estimator side vi uder H 0 har at p = p = p. Side vi her skal teste mot alterativet p p > 0 forkaster vi H 0 dersom Z blir tilstrekkelig stor, f.eks. på 5% ivå dersom Z Z 0.05 =.645. Observert: ˆp = x = 9 = 0 0.4, ˆp = x = 56 = og ˆp = x +x + = 9+56 = 0.5 gir: 0+80 z obs = ˆp ˆp ˆp( ˆp)( ) = ( 0.5)( + ) = Vi ser at vi ikke forkaster H 0 på 5% ivå og p-verdi = P (Z z obs ) = P (Z < 0.896) = 0.85 = 0.85 gir at vi forkaster ikke H 0 på oe rimelig sigikasivå (bruker aldri så høyt sigikasivå som 8.5%). Dvs, det er ikke grulag for å hevde at medisie har oe eekt.

4 MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. 4) Oppgave 0.76 (0.3:) X,..., X u.i.f. N(µ, σ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ) og alle variable er uavhegige. Vi skal teste H 0 : σ = σ mot H : σ σ Merk at dette er det samme som å teste H 0 : σ σ = mot H : σ σ Estimator: ˆσ ˆσ der S = i= (X i X ) og S = i= (X i X ) Teorem 8.8/tabell s. 8 gir at: = S, S F = ( )S /σ ( )S /σ = σ S σ S = S S F (, ) uder H 0 Utreget verdi av σ S ( S : σs = p-verdie til resultatet er: P < H S 0 ). Dee sasylighete ka vi ikke e øyktig vha. tabellee. Me vi ka e e edre skrake for de. Av F-tabellee ka vi e at f 0.95,8,8 = f 0.05,8,8 = = 0.9 ( 3.44 = = 9). ( S Utfallet, 0.864, er større e 0.9, og derfor må vi ha at: P S < H 0 ) > Av dette ka vi slutte at p-verdie til resultatet er større e 0. (!), og koklusjoe blir: behold H 0 Oppgave a) Fordeler med parplaforsøk: Direkte sammeligiger gir Redusert varias Reduserer problemet til et ett-utvalgsproblem Vi har µ D = µ X µ Y. N-dekk er bedre e G-dekk dersom forveta slitasje med N-dekk er midre e med G-dekk, dvs dersom µ X > µ Y eller µ D > 0. Dette er påstade vi skal udersøke, og vi formulerer derfor hypoteseteste: H 0 : µ D = 0 mot H : µ D > 0 b) D,..., D 9 u.i.f. N(µ D, σ D). Estimator: ˆµ D = D Z = D 0 σd/ N(0, ) uder H 0. σ D ukjet T = D SD/ t uder H 0, der SD = (D i D). i=

5 MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. 5) Vi forkaster H 0 dersom T t α, = t 0.05,8 =.86. Observert: t obs = 36/9 =.06 ( 7)/9 9 Dvs vi forkaster H 0. N-dekk har bedre slitasjeegeskaper. c) H 0 : µ X = µ Y mot H : µ X > µ Y Estimator: ˆµ X ˆµ Y = X Ȳ E(ˆµ X ˆµ Y ) = E( X) E(Ȳ ) = µ X µ Y = 0 uder H 0 Var(ˆµ X ˆµ Y ) = Var( X) + Var(Ȳ ) = σ + σ = σ X Ȳ Z = T = der σ X Ȳ S pooled N(0, ) uder H 0 t + uder H 0 S pooled = ( )S X + ( )S Y + Vi forkaster H 0 dersom T t α, = t 0.05,6 =.746. Observert: Vi forkaster ikke H 0. t obs = 5/9 485/9 ( ) = = (S X + S Y ) Vi får altså ikke forkastig år vi betrakter forsøket som et valig toutvalgsforsøk (og vi er også lagt ua å forkaste). Dette illustrere hvor eektivt det er å gjøre parplaforsøk år dette er mulig, de reduserte variase vi oppår ved å gjøre direkte sammeligiger gir e mye sterkere test. Oppgave a) X,..., X u.i.f. N(µ, σ ). Både µ og σ ukjete. Kodesitervall for µ: ˆµ = X Z = X µ σ/ N(0, ) Her er σ ukjet, estimeres ved S der S = i= (X i X), og år σ erstattes med S har vi fra pesum at T = X µ S/ t P ( t α/, T t α/, ) = α P ( t α/, X µ S/ t α/, ) = α P ( t α/, S X µ t α/, S ) = α P ( X t α/, S µ X + t α/, S ) = α

6 MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. 6) Dvs et ( α)00% kodesitervall for µ er gitt ved: [ X t α/, S, X + t α/, S ] Observert: = 0, x = = 5.84, s = = 0.9. α = 0.05 t α/, = t 0.05,9 =.6. Isatt gir dette 95% kodesitervall for µ: [ , ] = [5.65, 6.033] b) Formuler: Utfør: H 0 : σ = 0.5 mot H : σ < 0.5 Estimator: S = i= (X i X) Har at: ( )S χ σ. Dvs uder H 0 : σ = 0.5 er ( )S χ 0.5 Da forkaster vi H 0 på 5% ivå dersom ( )S χ , der P ( ( )S χ , H 0 ) = 0.05 Observert: = 5. > χ 0.95, = 3.35 dvs vi forkaster ikke H 0 på 5% ivå. Dvs dataee gir ikke grulag for å påstå at vi har tilstrekkelig lav varias. c) Vi skal teste: H 0 : µ = 6.0 mot H : µ < 6.0 Vi øsker å ha e styrke (sasylighet for å forkaste) på 0.90 dersom µ er 5.8 eller midre, dvs 0. midre e µ 0 = 6.0. Hvor mage måliger må vi gjøre? Samme resoemet som i oppgave (se boka side 3-33) gir at atall måliger som må gjøres er = (z α + z β ) σ δ dvs med β = 0.90 = 0.0, α = 0.05, δ = 0. og σ = 0. får vi: = (z z 0.0 ) = ( ) =.4 Dvs vi må gjøre mist måliger for å oppå øsket sasylighet for å avdekke e reduksjo til 5.8 eller lavere.