Løsningsforslag eksamen 27. februar 2004
|
|
- Julia Magnussen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag eksamen 7 februar 004 Oppgave a) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon) Alternativt: Y ij = µ + α i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ er gjennomsnittlig forventa kopperinnhold, α i er effekten av legering i, 4 i= α i = 0 og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon) Residual: e ij = y ij ȳ i Fra det første plottet av residualene får vi en sjekk av om variansen er lik i alle grupper (alle legeringer) Det ser ut til å være oppfylt her da residualene ser ut til å ha lik spredning i alle tilfellene Fra det andre plottet av residualene får vi en sjekk av antagelsen om normalfordeling Denne antagelsen ser også ut til å være oppfylt da residualene ligger noenlunde langs en rett linje b) Fra plottet kan det se ut som at legering og 4 tenderer til å ha noe lavere kopperinnhold enn legering og 3 Kilde SS df M S F Legering Feil Total H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 mot H : minst en ulik Vi forkaster H 0 dersom F f 005,3, = 307 Dvs med de observerte dataene forkaster vi H 0 på 5% nivå Forventet kopperinnhold er ulikt ved de ulike legeringene c) Vi antar at Y,, Y n er N(µ, σ )-fordelte og at Y,, Y n er N(µ, σ )-fordelte og at alle observasjoner er uavhengige Hva vi velger å anta om variansen avgjør hvordan vi går frem videre De finnes tre muligheter ) Antar at σ = σ = σ (lik varians): Konfidensintervall for µ µ : ˆµ ˆµ = Ȳ Ȳ Z = Ȳ Ȳ E(Ȳ Ȳ ) Var(Ȳ Ȳ ) = Ȳ Ȳ (µ µ ) = σ n + σ n Ȳ Ȳ (µ µ ) σ + n n N(0, )
2 Her er σ ukjente, estimeres ved Spooled = (n )S +(n )S n +n og når σ erstattes med Spooled har vi fra pensum at T = Ȳ Ȳ (µ µ ) t S pooled n + n +n n P ( t α/,n +n T t α/,n +n ) = α P ( t α/,n +n Ȳ Ȳ (µ µ ) S pooled n + n t α/,n +n ) = α P ( t α/,n +n S pooled n + n Ȳ Ȳ (µ µ ) t α/,n +n S pooled n + n ) = α P (Ȳ Ȳ t α/,n +n S pooled n + n µ µ Ȳ Ȳ + t α/,n +n S pooled n + n ) = α Dvs med t α/,n +n = t 005,3 = 60, ȳ = 83043, ȳ = 8993 og s pooled = ( )/(8 + 7 ) = 0095 får vi følgende 95% konfidensintervall for µ µ : [ , ] = [007, 0083] ) Antar at σ σ (ulik varians): Konfidensintervall for µ µ : ˆµ ˆµ = Ȳ Ȳ Z = Ȳ Ȳ E(Ȳ Ȳ ) Var(Ȳ Ȳ ) = Ȳ Ȳ (µ µ ) N(0, ) σ n + σ n Når σ og σ erstattes med estimatorene S og S har vi fra pensum at T = Ȳ Ȳ (µ µ ) S n + S n t ν der ν = (s /n + s /n ) (s /n ) n + (s /n ) n = (0004/ /7) (0004/8) 7 + (000056/7) 6 = 48
3 P ( t α/,ν T t α/,ν ) α S P (Ȳ Ȳ t α/,ν + S S µ µ n n Ȳ Ȳ + t α/,ν + S ) α n n Dvs med t α/,ν = t 005, = 79, ȳ = 83043, ȳ = 8993, s = 0004 og s = får vi følgende (tilnærmede) 95% konfidensintervall for µ µ : [ , ] = [007, 0083] 3) Dersom vi også antar at observasjonenene fra de to andre legeringene er normalfordelte og antar at alle har samme varians kan variansen estimeres ved ˆσ = SSE/(N k) = SSE/(5 4) (generelt er N = k i= n i og k antall grupper) Siden SSE/σ χ N k får vi at når vi erstatter σ i Z = Ȳ Ȳ (µ µ ) σ + N(0, ) n n med estimatoren ˆσ vil T = Ȳ Ȳ (µ µ ) ˆσ n + n t N k P ( t α/,n k T t α/,n k ) = α P (Ȳ Ȳ t α/,n kˆσ + µ µ n n Ȳ Ȳ + t α/,n kˆσ + ) n n = α Dvs med t α/,n k = t 005,5 4 = t 005, = 080, ȳ = 83043, ȳ = 8993, ˆσ = SSE/ = = får vi følgende 95% konfidensintervall for µ µ : [ , ] = [008, 008] Uansett hvilken fremgangsmåte vi bruker så får vi et konfidensintervall som ikke inneholder 0, dette viser at det er forskjell i forventet kopperinnhold i de to legeringerne Legering har høyrere forventet kopperinnhold (Pga at 0 ikke er inneholdt i 95% konfidensintervallet vil vil forkaste H 0 : µ = µ mot H : µ µ på 5% nivå) 3
4 Oppgave a) Når σ er ukjent har vi fra pensum at: H 0 : µ = mot H : µ T = X µ 0 S/ n t n under H 0 Med α = 0 og n = forkaster vi nullhypotesen dersom T t α/,n = t 005, = 796 eller T t α/,n = t 005, = 796 Observert: x = 465/ = 054, s = ni= n (x i x) = 037/ = , dvs s = 074 og dermed t obs = 074/ = 08 Dataene gir ingen grunn for å påstå at forvent- Dvs, vi forkaster ikke H 0 på 0% nivå ningsverdien er ulik b) En god estimator skal være forventningsrett og ha så liten varians som mulig Fra resultatene i formelsamling får vi at nˆσ σ = n σ (X i µ) χ n og i= (n )S σ = n σ (X i X) χ n i= som sammen med resultatet at i en χ ν-fordeling er forventningsverdien ν og variansen ν gir oss: E(ˆσ ) = σ E(nˆσ n σ ) = σ n n = σ E(S σ )S ) = E((n n σ ) = σ (n ) = σ n Var(ˆσ ) = Var( σ n nˆσ σ ) = σ4 Var(nˆσ n σ ) = σ4 n Var(S ) = Var( σ (n )S n σ ) = σ4 n = n σ 4 )S Var((n (n ) σ ) = σ 4 σ4 (n ) = (n ) n Dvs begge estimatorene er forventningsrette, men ˆσ har minst varians og er derfor å foretrekke c) Vi bruker ˆσ og resultatet at og får: n ˆσ σ = n i= (X i µ) σ χ n P (χ α/,n n ˆσ σ χ α/,n ) = α ( χ α/,n P nˆσ ) σ χ α/,n nˆσ = α ( ) nˆσ P σ nˆσ = α χ α/,n χ α/,n 4
5 Observert: n = og nˆσ = n ni= n (x i µ) = i= (x i ) = 0363 og med α = 005 χ 005, = 3337 og χ 0975,3 = 4404 gir dette 95% konfidensintervall for σ: Oppgave 3 a) Y = Xβ + E der [ ] , 0363 = [006, 008] 4404 Y = Y Y n, X = x x x 3 x x x 3 x n x n x 3n X =, β = β 0 β β β 3 og E = E E n Fra datautskriften ser vi at: ŷ = b 0 +b x +b x +b 3 x 3 = x 0008x x 3 som spesielt gir ŷ(5, 50, 0) = = 569 b) H 0 : β = β = β 3 = 0 mot H : minst en β i 0 Vi forkaster H 0 dersom F f 005,3, = 305, dvs med f obs = 8380 forkaster vi H 0 på 5% nivå De 3 variablene har samlet sett innflytelse på ph-verdien Fra datautskriften ser vi at vi på 5% nivå vil forkaste H 0 : β i = 0 mot H : β i 0 for både β, β og β 3 (alle p verdier mindre enn 005), dvs alle variablene har betydning c) Vi har at H 0 : β 3 = mot H : β 3 Z = B 3 E(B 3 ) Var(B3 ) = B 3 β 3 Var(B3 ) = B 3 Var(B3 ) = B 3 Var(B3 ) N(0, ) under H 0 og med ukjent varians får vi at T = B 3 = B 3 Var(B 3 ) ŜD(B 3 ) t n 4 under H 0 Vi forkaster H 0 dersom T t α/,n 4 = t 005, = 074 eller T t α/,n 4 = 074 Observert: t obs = = 059 Dvs, vi forkaster ikke H 0 på 5% nivå, dataene gir ikke grunnlag for å hevde at påstanden er gal 5
6 d) Tar utgangspunkt i: Ŷ 0 Y 0 = ˆµ Y x0 Y 0 der Y 0 er den nye målingen Når x 0 = (, 5, 50, ) T får vi Tallsvar: E(Ŷ0 Y 0 ) = E(ˆµ Y x0 ) E(Y 0 ) = µ Y x0 µ Y x0 = 0 Var(Ŷ0 Y 0 ) uavh = Var(Ŷ0) + Var(Y 0 ) = 007σ + σ = 07σ T = Ŷ0 Y 0 S 07 t n 4 P ( t α/,n 4 T t α/,n 4 ) = α P ( t 005, Ŷ0 Y 0 S 07 t 005,) = 095 P (Ŷ0 t 005, S 07 Y 0 Ŷ0 + t 005, S 07) = 095 Innsatt ŷ 0 = b 0 + b x 0 + b x 0 + b 3 x 30 = = 569, s = 007 = 07 og t 005, = 074 gir dette følgende 95% prediksjonsintervall: [ , ] = [545, 593] 6
Oppgave 1. Kilde SS df M S F Legering Feil Total
MOT30 Statistiske metoder, høste0 Løsninger til regneøving nr. 0 (s. ) Oppgave Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig
DetaljerOppgave 14.1 (14.4:1)
MOT30 Statistiske metoder, høste006 Løsninger til regneøving nr. 0 (s. ) Modell: Oppgave 4. (4.4:) Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk, der ε ijk uavh. N(0, σ ) der µ er gjennomsnittseffekten, α i
DetaljerLøsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y
Statistiske metoder 1 høsten 004. Løsningsforslag Oppgave 1: a) Begge normalplottene gir punkter som ligger omtrent på ei rett linje så antagelsen om normalfordeling ser ut til å holde. Konfidensintervall
DetaljerLøsningsforslag eksamen 25. november 2003
MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius
DetaljerOppgave N(0, 1) under H 0. S t n 3
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr 9 (s 1) Oppgave 1 Modell: Y i β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + ε i der ε 1,, ε n uif N(0, σ 2 ) e) Y Xβ + ε der Y Y 1 Y n, X 1 x 1 x 2 1
DetaljerOppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 σ2
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.27 (11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal finne konfidensintervall
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:
MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.25 (11.27, 11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal nne
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 27. FEBRUAR 2004 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 5
DetaljerOppgave 1. Vi må forutsette at dataene kommer fra uavhengige og normalfordelte tilfeldige variable,
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag til eksamen vår 0 s. Oppgave a Vi har x = 6. og x i x = 4.6. Herav s x = n Et 90% kondensintervall er gitt ved x i x = 4.6 = 0.89 6 SX X t 0.056 X + t S X 0.056
DetaljerMOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave Scriptet run confds.m simulerer n data x,..., x n fra en normalfordeling med
DetaljerKandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt
DetaljerKp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger
andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA440 Statistikk Høst 009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Løsningsskisse Oppgave a) n 8, i x i 675, x 37.5, i y i 488, i x i 375, i x iy i
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
Detaljer+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1
Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerTilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015
Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0
Detaljerα =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)
TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer
DetaljerOppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerOppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)
MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige.
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerOppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2018
TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerEksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland a, Øyvind Bakke b Tlf: a 73 59 02 39, 926 63 096, b 73 59 81 26, 990 41 673 Eksamensdato:
DetaljerLøsningsforslag til oppgaver brukt i STA100
Universitetet i Stavanger Løsningsforslag til oppgaver brukt i STA100 Oppgave 1 a) Populasjonen er alle studenter ved Universitetet i Stavanger, og utvalget er de (ca 100) studentene hun velger ut i undersøkelsen
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerNorske hoppdommere og Janne Ahonen
TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen
DetaljerLøsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave.
Løsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave. Oppgave 1 a) Legg merke til at X er gamma-fordelt med formparameter 1 og skalaparameter λ. Da er E[X] = 1/λ. Små verdier av X tyder derfor på at
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerLøsningsforslag: STK2120-v15.
Løsningsforslag: STK2120-v15 Oppgave 1 a) Den statistiske modellen er: X ij = µ i + ϵ ij, j = 1,, J, i = 1,, I Her indekserer i = 1,, I gruppene og j = 1,, J observasjone innen hver gruppe Feilleddene
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne
DetaljerKapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerEKSTRAOPPGAVER I STK1110 H2017
EKSTRAOPPGAVER I STK0 H207. Simuleringer for å illustrere store talls lov og sentralgrenseteoremet Oppgave.. I denne oppgaven skal vi bruke kommandoen rbinom(n,size,prob). Kommandoen trekker n tilfeldige
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 30. oktober, 2011 Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 15 -tabell
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 12 Denne øvingen består av oppgaver om enkel lineær regresjon. De handler blant
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerKp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt
Bjørn H. Auestad Kp. 11: Regresjonsanalyse 1 / 57 Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt 11.1 Introduction to Linear Regression 11.2 Simple Linear Regression 11.3 Least Squares and the Fitted Model 11.4 Properties
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerKp. 12 Multippel regresjon
Kp 12 Multippel Bruk av Kp 12 Multippel ; oversikt Kp 12 Multippel Bjørn H Auestad Kp 11: Regresjonsanalyse 1 / 46 Kp 12 Multippel ; oversikt Kp 12 Multippel Bruk av Kp 12 Multippel ; oversikt 121 Introduction
DetaljerFasit og løsningsforslag STK 1110
Fasit og løsningsforslag STK 1110 Uke 36: Eercise 8.4: a) (57.1, 59.5), b) (57.7, 58, 9), c) (57.5, 59.1), d) (57.9, 58.7) og e) n 239. (Hint: l(n) = 1 = 2z 1 α/2 σ/n 1/2 ). Eercise 8.10: a) (2.7, 7.5),
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Fredag 7. juni 2013. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerOppgave 1. Det oppgis at dersom y ij er observasjon nummer j fra laboratorium i så er SSA = (y ij ȳ i ) 2 = 3.6080.
EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. FEBRUAR 2005 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 4 OPPGAVER PÅ
DetaljerÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1
ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P
DetaljerSnøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk
Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerEksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (frå til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 Ei bedrift produserer ein type medisin i pulverform Medisinen seljast på flasker
DetaljerOppgave 13.1 (13.4:1)
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) Modell: Oppgave 13.1 (13.4:1) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ 2 ) Boka opererer her med spesialtilfellet der man
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerEksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00
Detaljern n i=1 x2 i n x2 n i=1 Y i og x = 1 n i=1 (x i x)y i = 5942 og n T = i=1 (x i x) 2 t n 2
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 12, blokk II Denne øvingen består av oppgaver om enkel lineær regresjon. De handler
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (frå til): 09.00-13.00
DetaljerSTK juni 2016
Løsningsforslag til eksamen i STK220 3 juni 206 Oppgave a N i er binomisk fordelt og EN i np i, der n 204 Hvis H 0 er sann, er forventningen lik E i n 204/6 34 for i, 2,, 6 6 Hvis H 0 er sann er χ 2 6
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert )
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73593538/48221896 Ola Diserud 93218823 EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
Detaljeri x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (20)
TMA4240 Statistikk H2010 (20) 10.5: Ett normalfordelt utvalg, kjent varians (repetisjon) 10.4: P-verdi 10.6: Konfidensintervall vs. hypotesetest 10.7: Ett normalfordelt utvalg, ukjent varians Mette Langaas
DetaljerOppgave 1. (x i x)(y i Y ) (Y i A Bx i ) 2 er estimator for σ 2 (A er minstek-
MOT310 Statitike metoder 1 Løningforlag til ekamen vår 010,. 1 Oppgave 1 a) Modell: Y i α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N 0, σ ). b) Vil tete: Tettørrele H 0 : β 0 mot H 1 : β 0 B β T t n under
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (frå til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne
Detaljerj=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.
FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da
Detaljer