Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting"

Transkript

1 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA4240 H2006: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere e gjeomsittet av spurte. Størrelse med kjet fordelig For store, og p ikke for ært 0 eller 1, så er Z = ormal- tilærmet fordelt ˆp p ˆp(1 ˆp)/ T = X µ S/ t-fordelt med 1 frihetsgrader. 2 Estimerig og hypotesetestig Feome Bilkjørig Høyde til studeter Spørsmål Hvor stor adel av studetee syes de er flikere e gjeomsittet til å kjøre bil? Hvor høye er studetee? Populasjo Alle studeter, eller evt. me og kvier som to populasjoer. Parameter Utvalg Data, u.i.f og represetative? Adele p som syes de er flikere e gjeomsittet. Alle studeter som svarte på spørreudersøkelse. Flikere eller ikke e gjeomsittet. Alle studeter, eller evt. me og kvier som to populasjoer. Forvetet høyde, µ. Alle studeter som svarte på spørreudersøkelse. Høyde. 4 Estimerig og hypotesetestig Feome Bilkjørig Høyde til studeter Kvatiler i fordelig z α/2 og z α/2 t α/2,( 1) og t α/2,( 1) Itervall Hypotesetestig: [ˆp z α/2 ˆp(1 ˆp), [ X t α/2,( 1)) s, ˆp(1 ˆp) ˆp + z α/2 ] X + s tα/2,( 1)) ] Er adele av studeter som syes de er malige stude- Er dette årets flikere e gjeomsittet til å kjøre bil ter høyerer e gjeomsittet større e 0.5? Tror flere me e kvier at de er gode sjåfører? for værepliktige, 179.8cm? Er byggstudeter høyere e studeter fra mari?

2 5 7 Hypotese Hypotesetestig og rettsak DEF 10.1: E statistisk hypotese er e atakelse eller påstad om egeskaper ved e eller fl ere populasjoer. Nullhypotese: Hypotese vi vil udersøke om vi har grulag fra data for å forkaste. E bestemt verdi for e parameter. Alterativ hypotese: Hvis vi forkaster ullhypotese så aksepterer vi de alterative hypotese. Ofte mer e e verdi for e parameter (større e, midre e og ulik). Spørsmål: Er gru til å tro at skruee som produseres ikke er 15 mm lage? Statistisk hypotesetestig: Udersøke om det er ok bevis som uderbygger at skruee ikke er 15 mm lage. Som i rettssak: tiltalte er atatt uskyldig til ha er bevist skyldig. Null hypotese: skruee som produseres er 15 mm. Alterativ hypotese: skuee som produseres er ikke 15 mm. H 0 : µ = 15mm vs. H 1 : µ 15mm 6 8 Kvalitetskotroll av skruer To typer feil Produksjo av skruer. Legde på produsert skrue skal være 15 mm. Tar jevlig stikkprøve fra prosesse, for å sjekke om skruee som produseres er 15 mm lage. Hvis stikkprøve tyder på at de produserte skruee ikke er 15 mm, må maskie som lager skruee kalibreres på ytt. Hvilke ullhypotese og alterativ hypotese vil vi udersøke? DEF 10.2: Forkastig av ullhypotese år dee er sa, kalles e type-i-feil. Vi vil være sikre på at skruee ikke er 15 mm før vi bestemmer oss for å stoppe produksjoe for å kalibrere. Produksjosstopp for kalibrerig av maski gjør at produsete taper peger pga. forsiket produksjo. DEF 10.3: Å ikke forkaste ullhypotese år de er gal, kalles e type-ii-feil. Vi vil gjere kalibrere maskie på ytt hvis skruee som produseres ikke er 15 mm. For lage og for korte skruer påfører kjøper problemer.

3 9 Type-I og type-ii-feil 11 Ett utvalg: test for µ med σ kjet H 0 sa H 0 falsk Aksepter H 0 Korrekt Type-II feil Forkast H 0 Type-I feil Korrekt Geerell fremgagsmåte Kvalitetskotroll av skruer 4 z α z 0.05 = Observerer x fra utvalget x = mm. (stikkprøve) Bereger z = x µ 0 σ/ z 0 = / = Sammeliger z α, z 2 0 og z α -1.96<1.58< Forkast H 0 og kokluder med Beholder H 0. Har ikke sterke H 1, eller behold H 0. ok bevis for at µ 15mm. 10 Ett utvalg: test for µ med σ kjet Geerell fremgagsmåte 0 X 1, X 2,..., X u.i.f. ormal(µ, σ) der σ er kjet. Kvalitetskotroll av skruer Stikkprøve (utvalg) av = 10 skruer, atar ormalfordelig og kjeer σ =0.1mm. 1 To-sidig test Er gru til å tro at skruee som produseres ikke er 15 mm lage? H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ µ 0 H 0 : µ = 15 vs. H 1 : µ 15 2 Sigifikasivå α bestemmes. Velger α = Testobservator Z 0 = X µ 0 σ/ er uder H 0 stadard ormalfordelt Forkast H 0 hvis z 0 > z α eller z 2 0 < z α Ett utvalg: tosidig test for µ med σ kjet X 1, X 2,..., X u.i.f. ormal(µ,σ) der σ er kjet. To-sidig test: 1. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ µ 0 2. Sigifikasivå α bestemmes. 3. Testobservator uder H 0 er Z 0. Z 0 = X µ 0 σ/ er uder H 0 stadard ormalfordelt. Forkast H 0 hvis Z 0 > z α Bereg x fra utvalget, og videre z 0 = x µ 0 σ/. Sammelig z 0 og z α 2, og forkast H 0 hvis z 0 > z α 2.

4 13 Kvalitetskotroll av skruer 15 To typer feil Type-I: forkaste H 0 gitt at H 0 er sa. Justismord. Type-II-feil: ikke forkaste H 0 gitt at H 0 er falsk. La skyldig tiltalt gå fri. Produksjo av skruer. Legde på produsert skrue skal være 15 mm. Tar jevlig stikkprøve fra prosesse, for å sjekke om skruee som produseres er 15 mm lage. Hvis stikkprøve tyder på at de produserte skruee ikke er 15 mm, må maskie som lager skruee kalibreres på ytt. Hvorda skal vi bestemme om maskie skal rekalibreres? H 0 sa H 0 falsk Aksepter H 0 Korrekt Type-II feil Forkast H 0 Type-I feil Korrekt 14 Hypoteser og tester Hypoteser: Nullhypotese (H 0 ): Hypotese vi vil udersøke om vi har grulag fra data for å forkaste. Ieholder e bestemt verdi for e parameter. Alterativ hypotese (H 1 ): Hypotese vi aksepterer dersom vi forkastar ullhypotese. Ofte mer e e verdi for e parameter. Statistisk hypotesetestig: Udersøke om dataee gir tilstrekkelig "bevis" for at de alterative hypotese er sa. To typer tester: To-sidig test: H 0 : θ = θ 0 mot H 1 : θ θ 0 E-sidig test: H 0 : θ θ 0 ( evt. θ = θ 0 ) mot H 1 : θ < θ 0, eller H 0 : θ θ 0 ( evt. θ = θ 0 ) mot H 1 : θ > θ 0 16 Ett utvalg: tosidig test for µ med σ kjet [10.5] X 1, X 2,..., X u.i.f. N(µ,σ 2 ) der σ er kjet. To-sidig test: 1. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ µ 0 2. Sigifikasivå α bestemmes. 3. Testobservator uder H 0 er Z 0. Z 0 = X µ 0 σ/ er uder H 0 stadard ormalfordelt. Regel: Forkast H 0 hvis Z 0 > z α Bereg x fra utvalget, og videre z 0 = x µ 0 σ/. Sammelig z 0 og z α 2, og forkast H 0 hvis z 0 > z α 2.

5 17 P-verdi [10.4] DEF 10.5: E P-verdi er det laveste ivået hvor de observerte verdie til testobservatore er sigifikat. Utregig: P-verdi = P(for det vi har observert eller oe verre H 0 er sa) Steg: Bestem ull- og alterativ hypotese. Velg testobservator. Bereg P-verdie basert på testobservatore. Bestem om vi vil forkaste eller beholde ullhypotese basert på P-verdie og kuskap om systemet. Tilleggsiformasjo: Ka også gjøre hypotesetestig basert på sigifikasivå og forkastigsregio og oppgi P-verdi som tilleggsiformasjo. 19 Kvalitetskotroll: legde av skruer Estimerig 95% kofidesitervall for µ. x z α σ 2 < µ < x + z α 2 σ 95 % kofidesitervall: [14.99, 15.11] Hypotesetest Forkast H 0 hvis z 0 > z α eller z 2 0 < z α. Behold H 2 0 hvis z α < z 2 0 < z α σ < dvs. behold hvis x z α 2 2 µ 0 < x + z α σ 2 z 0 = 1.58, z = 1.96, dermed ikke forkast H 0. p-verdi Hvis et (1 α)100% kofidesitervall ieholder µ 0 vil vi med e tosidig hypotesetest med sigifikasivå α ikke forkaste H 0 på ivå α. Hvis et (1 α)100% kofidesitervall ikke ieholder µ 0 vil vi med e tosidig hypotesetest med sigifikasivå α forkaste H 0 på ivå α. 18 Kvalitetskotroll: legde av skruer X 1, X 2,...,X er legde på skruer. Ata at X 1, X 2,...,X er u.i.f N(µ, σ 2 = ). Estimerig Gi et aslag (puktestimat) og itervall (kofidesitervall) der vi har 95% tillit til at sa legde for produserte skruer ligger. Hypotesetest Udersøk om det er gru til å tro at de produserte skruee ikke er 15 mm lage (test hypotese). Bruk sigifikasivå 5%. H 0 : µ = 15 vs. H 1 : µ 15 Z = X µ σ/ er stadard ormalfordelt, Z 0 = X µ 0 σ/ 20 Ett utvalg: esidig test for µ med σ kjet [10.5] X 1, X 2,..., X u.i.f. N(µ, σ 2 ) der σ er kjet. E-sidig test (større): 1. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ > µ 0 2. Sigifikasivå α bestemmes. 3. Testobservator Z 0 = X µ 0 σ/ er uder H 0 stadard ormalfordelt. Forkast H 0 hvis Z 0 > z α. 4. Observerer x fra utvalget, bereg z 0 = x µ 0 σ/. Sammelig z 0 og z α, og forkast H 0 hvis z 0 > z α. E-sidig test (midre): H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0... Forkast H 0 hvis z < z α.

6 21 Ett utvalg: esidig test for µ med σ ukjet [10.7] X 1, X 2,..., X u.i.f. N(µ, σ 2 ) der σ er ukjet. S 2 = 1 1 i=1 (X i X) 2. E-sidig test (større): 1. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ > µ 0 2. Sigifikasivå α bestemmes. 3. Testobservator T 0 = X µ 0 s/ er uder H 0 t-fordelt med 1 frihetsgrader. Forkast H 0 hvis T 0 > t α,( 1). 4. Bereg x og s fra utvalget, og videre t 0 = x µ 0 s/. Sammelig t 0 og t α,( 1), og forkast H 0 hvis t > t α,( 1). E-sidig test (midre): H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0... Forkast H 0 hvis t 0 < t α,( 1). 23 Sigifikasivå og teststyrke Defierer α β = P(Type I-feil) = P(Type II-feil) Sigifikasivået for e test = P(Type I-feil) = α. Styrke for e test er sasylighete for å forkaste H 0 år et bestemt alterativ er sat (DEF 10.4), dvs. Styrke = 1 P(Type II-feil, bestemt alterativ) = 1 β. Har at Reduserer α β øker og 1 β (styrke) miker. Øker α miker, β miker og 1 β (styrke) øker. 22 Ett utvalg: tosidig test for µ med σ ukjet [10.7] X 1, X 2,..., X u.i.f. N(µ, σ 2 ) der σ er ukjet. S 2 = 1 1 i=1 (X i X) 2. To-sidig test: 24 Teststyrke, illustrasjo Tester hypotese H 1 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0. Forkastar H 0 dersom z 0 < z α, eller ekvivalet x < k, der k = µ 0 z α σ/. Ata sa verdi µ = µ 1, hva er teststyrke 1 β? 1. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ µ 0 2. Sigifikasivå α bestemmes. 3. Testobservator T 0 = X µ 0 s/ er uder H 0 t-fordelt med 1 frihetsgrader. Forkast H 0 hvis T 0 > t α 2,( 1). 4. Bereg x og s fra utvalget, og videre t 0 = x µ 0 s/. Sammelig t 0 og t α 2,( 1), og forkast H 0 hvis t 0 > t α 2,( 1). Areal:α Areal:β k σ µ 1 µ 0 Forkast H[0] Aksepter H[0]

7 25 Fartskotroll med laser Ved fartskotroll beytter ofte politiet laser til å måle farte til bilee. Hvis Y er målt fart (km/t) til e tilfeldig valgt bil, atar vi at Y er ormalfordelt med forvetig µ og stadardavvik σ = 1.5 km/t. Politiet gjeomfører e fartskotroll i e 50-soe der farte til hver bil måles med e lasermålig. Politiet vil fastsette e verdi k slik at sasylighete for at e bilist feilaktig beskyldes for fartsovertredelse blir høyst a) Formuler hypotesetest og fi miste verdi k ka være. b) Hva er sasylighete for at e bilist som kjører i 55 km/t ikke blir beskyldt for fartsovertredelse? c) Hvor mage måliger må vi har for å oppdager at biliste kjører for fort med styrke 0.95 år biliste kjører i 55 km/t? Fasit: k=53.5, ikke beskyldt=0.16, mist 2 observasjoer. 27 Hypotesetest: geerell fremgagsmåte Geerell fremgagsmåte Kvalitetskotroll av skruer 0 Observasjoer X 1, X 2,..., X Stikkprøve (utvalg) av = 10 u.i.f. fra fordelig med kjete og ukjete parametere. skruer, atar ormalfordelig og kjeer σ =0.1mm. 1 Esidig eller to-sidig test Er gru til å tro at skruee som produseres ikke er 15 mm lage? H 0 vs. H 1 H 0 : µ = 15 vs. H 1 : µ 15 2 Sigifikasivå α bestemmes. Velger α = Testobservator: størrelse med kjet fordelig uder ullhypotese. Forkasigsområde fra P(forkaste H 0 H 0 sa) α. Z 0 = X µ 0 σ/ er uder H 0 stadard ormalfordelt Forkast H 0 hvis z 0 z 0 < z α. 2 > z α 2 eller 26 Fartskotroll med laser 28 Hypotesetest: geerell fremgagsmåte Ved fartskotroll beytter ofte politiet laser til å måle farte til bilee. Hvis Y er målt fart (km/t) til e tilfeldig valgt bil, atar vi at Y er ormalfordelt med forvetig µ og stadardavvik σ = 1.5 km/t. Politiet gjeomfører e fartskotroll i e 50-soe der farte til hver bil måles med e lasermålig. Politiet vil fastsette e forkastigsregel slik at sasylighete for at e bilist feilaktig beskyldes for fartsovertredelse blir høyst a) Formuler hypotesetest og fi forkastigsregel. b) Hva er sasylighete for at e bilist som kjører i 55 km/t ikke blir beskyldt for fartsovertredelse? c) Hvor mage måliger må vi har for å oppdager at biliste kjører for fort med styrke 0.95 år biliste kjører i 55 km/t? Fasit: k=53.5, ikke beskyldt=0.16, mist 2 observasjoer. Geerell fremgagsmåte 4 Koklusjo basert på observasjoer Forkast H 0 og kokluder med H 1, eller behold H 0. 5 Tilleggsiformasjo: p- verdi=p(det vi har observert eller oe verre H 0 er sa), teststyrke ved bestemt alterativ Kvalitetskotroll av skruer = 1.96, x = mm. z z 0 = / = <1.58<1.96 Beholder H 0. Har ikke sterke ok bevis for at µ 15mm. p-verdi 0.11.

8 29 Hypoteser og tester Hypoteser: Nullhypotese (H 0 ): Hypotese vi vil udersøke om vi har grulag fra data for å forkaste. Ieholder e bestemt verdi for e parameter. Alterativ hypotese (H 1 ): Hypotese vi aksepterer dersom vi forkastar ullhypotese. Ofte mer e e verdi for e parameter. Statistisk hypotesetestig: Udersøke om dataee gir tilstrekkelig "bevis" for at de alterative hypotese er sa. To typer tester: To-sidig test: H 0 : θ = θ 0 mot H 1 : θ θ 0 E-sidig test: H 0 : θ θ 0 ( evt. θ = θ 0 ) mot H 1 : θ < θ 0, eller H 0 : θ θ 0 ( evt. θ = θ 0 ) mot H 1 : θ > θ 0 31 Sigifikasivå og teststyrke Defierer α β = P(Type I-feil) = P(Type II-feil) Sigifikasivået for e test = P(Type I-feil) = α. Styrke for e test er sasylighete for å forkaste H 0 år et bestemt alterativ er sat (DEF 10.4), dvs. Styrke = 1 P(Type II-feil, bestemt alterativ) = 1 β. 30 To typer feil Type-I: forkaste H 0 gitt at H 0 er sa. Justismord. Type-II-feil: ikke forkaste H 0 gitt at H 0 er falsk. La skyldig tiltalt gå fri. 32 Teststyrke, illustrasjo Tester hypotese H 1 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0. Forkastar H 0 dersom z 0 < z α, eller ekvivalet x < k, der k = µ 0 z α σ/. Ata sa verdi µ = µ 1, hva er teststyrke 1 β? Areal:α µ 1 µ 0 Areal:β H 0 sa H 0 falsk Aksepter H 0 Korrekt Type-II feil Forkast H 0 Type-I feil Korrekt σ k Forkast H[0] Aksepter H[0]

9 33 35 Utvalgsstørrelse [10.9] To utvalg: statistisk situasjo Esidig test, σ kjet. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ > µ 0 Hvis vi øsker å ha sasylighet (1 β) for å oppdage µ = µ 0 + δ (for gitt δ) og øsker sigifikasivå α, må vi mist ha utvalgsstørrelse Tosidig test, σ kjet. = (z α + z β ) 2 σ 2 δ 2 H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ µ 0 Som over, da blir mist utvalgsstørrelse (tilærmet) Øsker å sammelige to populasjoer basert på et u.i.f. utvalg fra hver populasjo. Nå: Studerer e egeskap som ka sies å være ormalfordelt i hver populasjo, og øsker å utføre e hypotesetest om forholdet medllom forveigsverdiee i de to populasjoee Sammeligigee ka være parvise eller ikke parvise. I ser vi på egeskaper som er biomisk fordelt. = (z α 2 + z β) 2 σ 2 δ To utvalg: eksempler 10.8: To utvalg, ormalfordelig Situasjo: Betog: to ulike oppskrifter, A og B, skal sammeliges. Er det forskjell i styrke ( crushig stregth ) for betog fra oppskrift A og fra oppskrift B? Sykdom: tester ut y blodtrykksmedisi. Er de ye medisie bedre e de åværede markedsledede blodtrykksmedisi? Kosthold: får jeg e vektreduksjo på mer e 10 kg hvis jeg følger Dr Fedo Lidbergs kostråd i et halvt år? (balase i blodsukker, lav glykemisk ideks) Bildekk: to typer dekk, A og B, skal sammeliges mhp slitasje. Slites A og B dekk forskjellig? X A 1, X A 2,..., X A 1 er u.i.f., X A i N(µ A, σ 2 A ). X B 1, X B 2,..., X B 2 er u.i.f., X B j N(µ B, σ 2 B ). Problemstillig: Vil teste hypotese H 0 : µ A µ B = d 0 mot H 1 : µ A µ B d 0 (Alterativt: H 1 : µ A µ B < d 0 eller H 1 : µ A µ B > d 0 ) Hypotesetest, tre tilfelle: 1. σ 2 A og σ2 B kjete. 2. σ 2 A = σ2 B = σ2, der σ 2 er ukjet 3. σ 2 A σ2 B, σ2 A og σ2 B ukjete.

10 37 To utvalg, ormalfordelig (forts.) 39 Parvist eksempel: Dekkslitasje 1. σa 2 og σ2 B kjete: Bruker at σ 2 A 1 Z 0 = ( X A X B ) d 0 + σ2 B 2 N(0, 1) uder H 0. Forkast H 0 dersom z 0 > z α 2, der z 0 er observert verdi for Z σ 2 A = σ2 B = σ2, der σ 2 er ukjet: T-fordelig med A + B 2 frihetsgrader. 3. σa 2 σ2 B, σ2 A og σ2 B ukjete: Se læreboka. Spørsmål: Er slitasje for A-dekka større e for B-dekka? Forsøk: Utstyr tilfeldig valgte biler med to dekk av type A og to av type B. La X i, i = 1,..., være slitasje til type A-dekka på de bilee (gj.sitt over to dekk). La Y i, i = 1,..., være slitasje til de tilsv. paree av type B-dekk (gj.sitt over to dekk). Da er D i = X i Y i, i = 1,..., uavhegige, og D i N(µ D, σ 2 D ). Observasjoer: = 15 forsøk med observerte verdier d = 0.72 og s 2 d = To utvalg, ormalfordelig (forts.) 1. σa 2 og σ2 B kjete: Normalfordelig. 2. σ 2 A = σ2 B = σ2, der σ 2 er ukjet: Estimator for σ 2 : S 2 p = Bruker at A 1 A + B 2 [ (Xi A X A ) 2 + i=1 T 0 = (X A X B ) d 0 1 S p A + 1 B B j=1 (X B j X B ) 2 ] 40 Parvist eksempel: Dekkslitasje Hypotesetest: H 0 : µ D = µ 0 mot H 1 : µ D > µ 0, der µ 0 = 0. T 0 = D µ 0 S D / = D 0 S D / er t-fordelt med 1 frihetsgrader uder H 0. Gjeomfør teste som for ett utvalg. er t-fordelt med A + B 2 frihetsgrader uder H 0. Forkast H 0 dersom t 0 > t α 2,( A+ B 2), der t 0 er observert verdi for T σa 2 σ2 B, σ2 A og σ2 B ukjete: Se læreboka.

11 41 Hypotesetest av varias (10.13) Ispirert av eksame, august 2003, oppgave 1. E laborat skal udersøke måleusikkerhete til et istrumet som beyttes til å bestemme kosetrasjoe av et stoff i e oppløsig. Det gjeomføres måliger med istrumetet på e oppløsig. Observasjoee X 1, X 2,..., X ka atas å være uavhegige og ormalfordelte med forvetig µ og varias σ 2. I oppgave arbeider ma med kjet kosetrasjo av stoffet, me vi skal her ata at kosetrasjoe er ukjet. Vi ka teke oss at produsete av måleistrumetet reklamerer med at måleusikkerhete i istrumetet ikke er høyere e σ0 2 = Vi øsker å teste om dette er tilfellet. Data fra oppgave: = 10, 10 i=1 (x i x) 2 = 0.43 og α = Laba strakk seg ikke leger, me smaker de bedre? Vi øsker å fie ut om studeter syes at Nidar Laba smaker bedre e COOP Seigme. Formuler spørsmålet som e hypotesetest. Etter seigma-strekkige på forelesige, svarte de studetee som hadde strukket (og spist) både Laba og Seigme på hvilket av merkee som smakte best. Data: = 51 studeter svarte, av disse likte x = 30 studeter Laba bedre e COOP Seigma. Gjeomfør teste. Hva blir koklusjoe? Hva ville koklusjoe blitt hvis vi hadde observert samme adel, ˆp = = 0.59, me = 10 og x = 6, = 100 og x = [10.13] Hypotesetest av varias La X 1, X 2,..., X være et tilfeldig utvalg fra e populasjo som beskrives av e ormalfordelig med forvetig µ og varias σ 2. S 2 = 1 1 i=1 (X i X) 2 er e estimator for σ 2 (forvetigsrett, me ikke SME). Størrelse V = ( 1)S2 σ 2 α 2 er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrader. 1 α 0 χ 2 (1 α 2) ν χ 2 α 2 α 2 44 [10.11] Hypotesetest av e adel X er atall suksesser i et biomisk forsøk med parametere atallet og adele p. Vi vil teste e hypotese om p, dvs. relatere p til bestemte verdier (esidig eller tosidig test). Estimator ˆp = X p(1 p), der E(ˆp) = p og Var(ˆp) =. Forkastigsområdet ka ete fies fra biomisk fordelig: relatert til verdie av X, treger å fie forkastigsområde fra tabell over kumulativ biomisk fordelig, fra ormaltilærmig av ˆp år er stor, og p > 5, (1 p) > 5 og p ikke er ær 0 eller 1. ˆp p 0 Z 0 = 1 p 0(1 p 0 ) er tilærmet stadard ormalfordelt uder H 0.

12 45 Studeter og bilkjørig Her agir atall studeter i utvalget som hadde sertifikat, og x atall studeter som svarte at de er bedre e gjeomsittet av Norges befolkig til å kjøre bil. x x Me Kvier Alle a) Fi puktestimat og 99% kofidesitervall for adele av studeter som syes sie kjøreegeskaper er bedre e gjeomsittet. Fasit: 0.42 ± (1 0.42) 139 =[0.32, 0.53]. 47 Studeter og bilkjørig, forts. x x Me Kvier Alle c) Fi puktestimat og 99% kofidesitervall for differese mellom adele av malige studeter og kvilige studeter som syes sie kjøreegeskaper er bedre e gjeomsittet. Fasit: [0.03, 0.47]. d) La p 1 være sasylighete for at e tilfeldig valgt malig studet syes ha er bedre e gjeomsittet til å kjøre bil, og tilsvarede p 2 for kvier. Ville hypotese H 0 : p 1 p 2 = 0 vs. H 0 : p 1 p 2 0 blitt forkastet? Hvilke sigifikasivå ville ført til forkastig? Baser resoemetet på fasit fra c), dvs. ute regig. Hvilke hypoteser ville ikke blitt forkastet på ivå 0.01? 46 Studeter og bilkjørig x x Me Kvier Alle b) La p være sasylighete for at e tilfeldig valgt studet syes ha/hu er bedre e gjeomsittet til å kjøre bil. Ville hypotese H 0 : p = 0.5 vs. H 0 : p 0.5 blitt forkastet? Hvilke sigifikasivå ville ført til forkastig? Baser resoemetet på fasit fra a), dvs. ute regig. Hvilke hypoteser (valg av p 0 ) ville ikke blitt forkastet på ivå 0.01? 48 Lovlydige bilførere? BOT: Kjørig med motorvog på eller over sperrelije og/eller i sperreområde begreset av heltrukke lije, på fortau, gagveg/gagbae, sykkelveg/sykkelbae og gag- og sykkelveg/gag- og sykkelbae. Kr. 2500,- sub. 5 dgs fegsel. Måliger av kryssig av hvit heltrukket sperrelije ved fartsdempere ved bussholdeplass Gløshauge Nord ( , fra 08:20 til 08:35). =atall observasjoer X =atall bilister som kjører rudt fartsdempere (over hvit heltrukket sperrelije). x x Me Kvier Alle

13 49 Lovlydige bilførere? x x Me Kvier Alle a) Er det gru til å tro at det er flere e 25% av bilistee som sviger rudt fartsdempere? (Fasit: forkast esidig test på ivå 0.01, p-verdi= 0.004) b) Er det gru til å tro at kvier og me er like lovlydige i dee situasjoe? (Fasit: ikke forkast tosidig hypotese, p-verdi 0.21)

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (19)

TMA4240 Statistikk H2010 (19) TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

Kapittel 10: Hypotesetesting

Kapittel 10: Hypotesetesting Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram 2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

Hva er statistikk? TMA4240 Statistikk H2015. Denne forelesningen. Pensum

Hva er statistikk? TMA4240 Statistikk H2015. Denne forelesningen. Pensum Hva er statistikk? TMA440 Statistikk H015 Siste forelesig: oppsummerig og avslutig Statistikk har som mål å utvikle vår kuskap basert på isamlig og aalyse av empiriske data. To greer: Sasylighetsteori:

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Statistikk Gruppe(r): Alle ( 2. årskull) Eksamesoppgav Atall sider (ikl. e består av: forside): 5 Tillatte hjelpemidler: Emekode: LO070A Dato: 11.06.2004

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

Lineær regresjonsanalyse (13.4)

Lineær regresjonsanalyse (13.4) 2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Populasjon, utvalg og estimering

Populasjon, utvalg og estimering Populasjo, utvalg og estimerig (Notat til forelesig i estimerig, Kap. 6.) Populasjo og utvalg Med basalkuskap i sasylighetsregig og sasylighetsfordeliger er vi å i stad til å gå videre med statistisk iferes

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 2 Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som miimerer kvadratsumme

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: Fredag 6. Jui 04 Varighet/eksamestid: 5 timer Emekode: TALM005-A Emeav: Statistikk og Økoomi Klasse(r): Kjemi, Material, Logistikk

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.

Detaljer

Løsningsforslag andre obligatoriske oppgave i STK 1110 høsten 2014

Løsningsforslag andre obligatoriske oppgave i STK 1110 høsten 2014 Løsigsforslag adre obligatoriske oppgave i STK 1110 høste 2014 Oppgave 1 Vi har 10 måliger av kroppstemperatur for friske kvier x 1,x 2,...,x 10 og 10 måliger for friske me y 1,y 2,...,y 10 a) Vi lager

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk Noregs tekisk aturvitskaplege uiversitet Istitutt for matematiske fag Side 1 av 5 Fagleg kotakt uder eksame: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik Mo (41

Detaljer

H14 - Hjemmeeksamen i statistikk/ped sensurveiledning

H14 - Hjemmeeksamen i statistikk/ped sensurveiledning H14 - Hjemmeeksame i statistikk/ped3008 - sesurveiledig (teller 1/3 av edelig karakter) Dee oppgave bestr av tre deler: i del 1 skal du svare p 5 teorispørsml, i del 2 skal du gjeomføre oe sigifikastester

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: Tirsdag 3. desember 03 Varighet/eksamestid: 5 timer Emekode: TALM005-A Emeav: Statistikk og Økoomi Klasse(r): Kjemi, Material,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Sammendrag i statistikk

Sammendrag i statistikk Sammedrag i statistikk Sammedrag Dette dokumetet er et sammedrag av pesum i faget ST0103 ved NTNU høste 2014. Notatet er derfor ikke tekt å være komplett eller spesielt grudig gjeomlest for feil, me det

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ei de høgaste geviste derssom dei to første korta

Detaljer