ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007"

Transkript

1 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig 2, iledig Begrep: ullhypotese alterativhypotese esidig, tosidig teststørrelse (testobservator) ullfordelig kritisk verdi, forkastigsområde sigifikasivå 3

2 , iledig Oversikt over emer:. Mer om hva hypotesetestig er 2. i ulike situasjoer: i. for forvetige,, med 2 ormalatakelse og kjet varias,. ii. for forvetige,, med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete, p, i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. iv.... 4, iledig Oversikt over emer: i ulike situasjoer: iv.... for suksessasylighete, p, i biomisk modell med lite. v. for forvetige,, med 2 ormalatakelse og ukjet varias,. (Og lite; t-fordelig; t-test.) vi. test for forvetige i Poissomodell. 5, iledig Oversikt over emer:. Mer om hva hypotesetestig er 6

3 , iledig Eks.: Vi har gjort = måliger (x, x 2,..., x ) av ph i Breiavatet; 6., Problem: Er virkelig ph lavere e 6.? 7, iledig Eks.: Vi har gjort = måliger (x, x 2,..., x ) av ph i Breiavatet; 6., Problem: Er virkelig ph lavere e 6.? Gjeomsitt er 5.27; me oe måliger er større e 6., og det er e del variasjo...?? Hvorda kokludere??? 3, 4, 5, 6, 7, 8, iledig Statistisk metode for å trekke koklusjo: (i e situasjo som dee). Vi atar (i dee situasjoe): målemodelle: x, x 2,..., x utfall av X, X 2,..., X, u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: X i ee er ormalfordelte kjet varias: Var(X i ) er et kjet tall,. i dette tilfellet 2. Vi vil teste: H : 6. mot H : 6. E( X ) i H uttrykker det utsaget vi må tro i utgagspuktet; H ka vi hevde dersom dataee tyder klart på at dette i virkelighete er tilfelle. 9

4 , iledig 3. Gjeomsitt betydelig lavere e 6. idikerer at H er riktig i virkelighete. 4. Dersom gjeomsittet lavere e 5.48, så forkast H, og påstå H : virkelig ph er midre e Data: gjeomsittet er 5.27 som er midre e Dvs.: forkast H!, iledig Hvorfor akkurat 5.48?? Hvorfor, hvorfor...?, iledig Først oe kommetarer. Statistisk hypoteser: alterativhypotese, H : 6., uttrykker at virkelig ph er midre e 6.. ullhypotese, H : 6., ville det gjere vært aturlig å hatt som: H : 6., me det er e foreklig å bruke =; dette spiller i praksis ige rolle for resultatet i de fleste situasjoer. 2. Vi forblir ved å tro på H itil oe aet er bevist. 2

5 , iledig Først oe kommetarer 3. Vi legger til gru: målemodelle: x, x 2,..., x utfall av X, X 2,..., X, u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: X i ee er ormalfordelte kjet varias: Var(X i ) er et kjet tall,. i dette tilfellet 3, iledig Statistisk tekig:. Dersom H er riktig i virkelighete, så kommer dataee fra e ormalfordelig med forvetig 6. (og varias ), grø kurve: 2. Dette ka brukes som utgagspukt for 3, 4, 5, 6, 7, å vurdere om vi kue fått det aktuelle resultatet ved e tilfeldighet år H faktisk er riktig. 4, iledig Vi baserer teste på gjeomsittet ikke på ekeltmåligee; Teststørrelse (testobservator): (tilf.var.) X X X Vi har (i dette eksempelet): og år H forutsettes å være riktig: X ~ N6., 2 X ~ N, H 2 5 : 6.

6 , iledig Teststørrelse si fordelig år H er riktig: ullfordelige. X ~ N6., 3, 4, 5, 6, 7, Dee fordelige ullfordelige ka brukes til å vurdere om vi kue fått det aktuelle gjeomsittsresultatet ved e tilfeldighet dersom H faktisk er riktig. 6, iledig Et lavt (i forhold til 6.) gjeomsittsresultat idikerer at H er riktig. 3, 4, 5, 6, 7, Vi bruker ullfordelige til å fastsette hva som lavt ok for å kokludere med H. 7, iledig Dersom vi setter (som i eks.) grese til 5.48, 3, 4, 5, 6, 7, er det ku 5% sjase for å få gj.s.resultat lavere e dette ved e tilfeldighet dersom H er riktig. PX 5.48 H riktig PX X P 6 P Z.5 / / /.645 Z ~ N(,) 8

7 , iledig 5.48: kritisk verdi Itervallet (, 5.48) : forkastigsområde 3, 4, 5, 6, 7, Når H o er riktig er det ku 5% sjase for ved e tilfeldighet å få utfall av teststørrelse i forkastigsområdet. Dee sasylighete kalles sigifikasivået til teste. 9, iledig 5.48: kritisk verdi Itervallet (, 5.48) : forkastigsområde Når H o er riktig er det ku 5% sjase for ved e tilfeldighet å få utfall av teststørrelse i forkastigsområdet. 3, 4, 5, 6, 7, Dvs.: ku 5% sjase for å kokludere feil dersom i virkelighete ph e er 6. : 6. H 2, iledig 5.48: kritisk verdi De kritiske verdie fastlegges av sigifikasivået (5% i eksempelet). 3, 4, 5, 6, 7, Eksempel: La k være de kritiske verdie. Vi øsker da at k skal være slik at: X k H riktig.5 P 2

8 , iledig Berege kritisk verdi: P X k H riktig.5 X 6 P / k 6 z / k k 6 H / riktig P Z 5.48 k 6.5 / Z ~ N,,5,4,3,2,, -4, -2,, 2, 4, -, 22, iledig Det er valig å bruke stadardisert teststørrelse. X - 2 / Når vi skal teste (f.eks.): H : mot H : 23, iledig Eksempelet: H : 6. mot H : 6. Stadardisert teststørrelse: Dersom H er riktig, er Z N(,)-fordelt. Z X - 6. / Små verdier (utfall) av Z idikerer at H i virkelighete er riktig. (Hva som er små verdier ses i forhold til ullfordelige til Z; N(,)-fordelige.) 24

9 , iledig Eksempelet: H : 6. mot H : 6. Stadardisert teststørrelse: X - 6. Kritisk verdi, k: / P Z k H riktig.5,5 Z k.645 ( -z.5 ),4,3,2,, -4, -2,, 2, 4, -, 25, iledig Eksempelet: H : 6. mot H : 6. Gjeomførig: Test : Vi forkaster H dersom Z - utfallet k.645 X - 6. Z / Data, utfall av Z : / Koklusjo : forkast H, side Z - utfall , iledig Begrep: ullhypotese alterativhypotese esidig, tosidig teststørrelse (testobservator) ullfordelig kritisk verdi, forkastigsområde sigifikasivå 27

10 Oversikt over emer:. Mer om hva hypotesetestig er 2. i ulike situasjoer: i. for forvetige,, med 2 ormalatakelse og kjet varias,. ii. for forvetige,, med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete, p, i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. iv Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2/ 43 Oversikt. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3/ 43

11 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Målemodelle m/ormalatakelse og kjet σ 2 : måliger: x,...,x ; betraktes som utfall av: X,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =,..., X i ormalfordelt og σ 2 kjet. Test (m/ sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ<μ Forkast H dersom X μ z α σ 2 Stadardisert teststørrelse): Forkast H dersom X μ σ 2 z α Bjør H. Auestad Kp. 6: del 4/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Test (m/ sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ>μ σ Forkast H dersom X μ +z 2 α Test med stadardisert teststørrelse: Forkast H dersom X μ z α σ 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 5/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Eksempel: blodsukkerih.måliger: 4., 5., 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Gjeomsitt: 4.35; ormalatakelse med kjet varias lik.5 2 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee. Problem: Er virkelig blodsukkerihold høyere e 4.? Vi vil teste: H : μ = μ =4 mot H : μ>μ =4 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 6/ 43

12 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Målemodell med ormalatakelse og med kjet varias (lik.5 2 ) Dersom H er riktig i virkelighete, så er dataee utfall av e ormalfordelig med forvetig 4 og varias.5 2, grø kurve: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee og ullfordelige (til X i ee) N(4,.5 2 ) tetthet. Syes det rimelig? Ka det tekes at dataee er utfall av e slik fordelig (eller er det ku rimelig dersom fordelige flyttes mer oppover/til høyre)? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 7/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Gjeomsitt av måligee er Dersom H er riktig i virkelighete, så er gjeomsittet utfall av e ormalfordelig med forvetig 4 og varias.52,blåkurve: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee og ullfordelige til X i ee: N(4,.5 2 ) tetthet og til X: N(4,.25) tetthet. Dersom datagjeomsittet er stort i forhold til ullfordelige til X, har vi grulag for å forkaste H og istede tro på at H : μ>4 er riktig i virkelighete. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 8/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test for: H : μ =4. mot H : μ>4. Test: Forkast H dersom 3 X k Test på stadardisert form: Forkast H dersom Blodsukkermåligee og ullfordelig til X: N(4,.25) tetthet X z α Blodsukkermåligee og ullfordelig til X : N(, ) tetthet. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 9/ 43

13 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test for: H : μ =4. mot H : μ>4. Test: Forkast H dersom.5 X z α )( Blodsukkermåligee og ullfordelig til X : N(, ) tetthet. Dersom vi vil ha test med 5% sigifkasivå: velg α =.5 (z.5 =.645) Forkastigsområdet er itervallet (.645, ). Forkast H dersom utfallet av X 4. er i forkastigsområdet..5 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del / 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test (m/ sig.ivå α =.5) for H : μ =4.mot H : μ>4. Forkast H dersom X Data: utfall av teststørrelse: =2.2 Side 2.2 er i forkastigsområdet (.645, ) (er større e kritisk verdi =.645), forkastes H Vi tror på H : μ>4; at virkelig blodsukkerihold er høyere e 4. Lag e test med sigifikasivå.25! ( X form og stadardisert form.) Bjør H. Auestad Kp. 6: del / 43 Oversikt. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2 / 43

14 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Målemodelle: måliger: x,...,x ; betraktes som utfall av: X,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =,...,. σ 2 (og μ ) ukjet; (ige forutsetig om fordelig til X i ee eller om kjet varias) Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ<μ Forkast H dersom X μ S 2 z α Estimator for variase: S 2 = σ 2 = ( i= Xi X ) 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Dersom H : μ = μ er riktig i virkelighete ( uder H ), har vi tilærmet at: X μ N(, ). S 2 Dvs.: ullfordelige til teststørrelse X μ S 2 er N (, ) α ) N(, ) tetthet. ( Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 4 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Eksempel: Levetid til e type mikroorgaisme er kjet å være 5 dager ormalt. Uder påvirkig av e kjemikalie er levetide til 4 orgaismer registrert; prikkdiagram over datee:,, 2, 3, 4, 5, 6, Prikkdiagram over levetidee. Gjeomsitt: 3.68 dager Normalatakelse er urimelig (hvorfor?), og varias ukjet Problem: Er virkelig levetid lavere e 5? Vi vil teste: H : μ = μ =5 mot H : μ<μ =5 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 5 / 43

15 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Målemodelle: dataee er utfall av =4uif. tilfeldige variable X,...,X 4 μ = E(X i )=virkelig levetid (med kjemikaliepåvirkig). SGT sier at X N(μ, σ2 ), tilærmet. Estimat av variase, σ 2 : s 2 = 4 (x i x) 2 = Uder H (levetid er virkelig 5), er gjeomsittet (3.68) utfall av tilærmet e ormalfordelig med forvetig 5 og varias =5.63, blå 4 kurve: i=,, 2, 3, 4, 5, 6, Bakterielevetidee og ullfordelig til X:N (5, 5.63) tetthet. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 6 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Uder H (levetid er virkelig 5), er gjeomsittet (3.68) utfall av tilærmet e ormalfordelig med forvetig 5 og varias =5.63, blåkurve: 4,, 2, 3, 4, 5, 6, Bakterielevetidee og ullfordelig til X. Dersom datagjeomsittet, 3.68, er lite i forhold til ullfordelige til X, har vi grulag for å forkaste H og istede tro på at H : μ<5 er riktig i virkelighete. Stadardisert teststørrelse:.5 X 5.4 ; Nullfordelig N (, ), til. S Små utfall av teststørrelse idikerer at H er rktig i virkelighete.. α ) N(, ) tetthet. ( Bjør H. Auestad Kp. 6: del 7 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Sig.ivå 5%: α =.5 z.5 = = kritisk verdi. α -2 ) ( Utfall: =.56 > N(, ) tetthet. Side utfallet av teststørrelse ikke er i forkastigsområdet (-.56 er ikke midre e -.645), gir ikke dataee grulag for å hevde at H : μ<5. (Dataee gir ikke grulag for å hevde at kjemikaliepåvirket levetid i virkelighete er midre e 5 dager.) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 8 / 43

16 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ>μ Forkast H dersom X μ z α S 2 Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (z α, ) α )( N(, ) tetthet. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 9 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Eksempel: E type tabletter ieholder et stoff R. Iholdet pr. tablett må helst ikke overstige 3 mg. I e kotroll ble iholdet i 5 tilfeldig utvalgte tabletter registrert. Resultat (x,...,x 5 ): Gjeomsitt: x =3.7; empirisk stadardavvik: s = 5 5 i= (x i x) 2 =4. Gir dette grulag for å hevde at iholdet av R er mer e 3 mg? Formuler problemet som et hypotesetestigsproblem, og gjeomfør teste! Ev.: Bruk sigifikasivå... Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2 / 43 Oversikt. Geerelt om hypotesetestig 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2 / 43

17 Geerelt om hypotesetestig Vi ka kokludere feil. To typer feil ka gjøres: type I-feil, ogtype II-feil Virkelighete H riktig H riktig Koklusjo på test: Forkast H I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H ok! II-feil Bjør H. Auestad Kp. 6: del 22 / 43 Geerelt om hypotesetestig Def.: Sigifikasivå til test = P (forkaste H H riktig) Sigifikasivået er sasylighete at utfallet faller i forkastigsområdet ved e tilfeldighet (og at vi kokluderer med H ), år i virkelghete H er riktig. ph-eks; Forkast H dersom X =5.48 Forkastigsområde: (, 5.48) Stadardisert teststørrelse: Test: Forkast H dersom X 6. z α =.645 Fork.omr.: (,.645) Nullfordelig til X: N (6,.) α )( Nullfordelig, N (, ) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 23 / 43 Geerelt om hypotesetestig Eks.: ph-måliger Det ble av oe hevdet at ma ikke skulle påstå at ph e var lavere e 6. dersom ikke gjeomsittet var lavere e 5.. Dvs. bruke teste: Forkast H dersom X 5. Eller: forkast H dersom X N (6,.) tetthet Hva er sigifikasivået til dee teste? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 24 / 43

18 Geerelt om hypotesetestig Sigifikasivå til test = P (forkaste H H riktig) Dvs.: sigifikasivå til test = P (gjøre type I-feil ) Virkelighete H riktig H riktig Koklusjo på test: Forkast H I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H ok! II-feil Lavt sig.ivå: lite sasylighet for type I-feil. Type II-feil. Sasylighete for å ikke gjøre type II-feil år H riktig har med testes styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boke (seiere). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 25 / 43 Oversikt. Iledig 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 26 / 43 biomisk; stor Bjør H. Auestad Kp. 6: del 27 / 43

19 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Eksempel: Et bestemt parti hadde 2% oppslutig ved sist valg. Meigsmålig å: 9 av 5 spurte (8.2%) vil stemme på partiet. Problem: Har oppslutige gått ed? Ved sist valg: N stemmebrettigede M stemte på aktuelt parti M/N =.2 Problem: Hva er å M? Hva er å p = M/N? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 28 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig p = M N : adel som vil stemme partiet å biomisk; stor (ukjet parameter) Estimat av p: 9 5 =.82 Er det grulag for å hevde at (virkelig) oppslutig har gått ed? Vi vil teste: H : p =.2 mot H : p<.2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 29 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Vi betrakter resultatet av meigsmålige (9 av 5) som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p), = 5, p: ukjet adel. (Egetlig: Y hyperg.(m,n,), me til. Y B(, p)) Dersom H er riktig, har Y fordelige B(5,.2): Dette beskriver hva som er tekelige utfall uder H Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3 / 43

20 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Normaltilærmiger: Rød kurve: N (, 8) tetthet Geerelt har vi, år Y B(, p) og p( p) : Y p = p p p( p) p( p) N(, ), tilærmet. ( p = Y ) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Teststørrelse: vi ka bruke p = Y (forvetigsrett estimator for p) ( ) Nullfordelig (tilærmet): N.2,.2(.2) 5 Små verdier/utfall av p idikerer at H : p<.2, erriktig Bjør H. Auestad Kp. 6: del 32 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Stadardisert teststørrelse: Små verdier/utfall av p, svarer til små verdier/utfall av teststørrelse p (.2) 5.2. Nullfordelig: N (, ).. α -2 ) ( N(, ) tetthet. Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 33 / 43

21 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Gjeomførig/koklusjo: Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Sig.ivå 5%: α =.5 z.5 =.645 = kritisk verdi. α -2 ) ( N(, ) tetthet. Utfall av: p.2.2(.2) 5 : (.2) 5 =. >k=.645 Side utfallet av teststørrelse ikke er i forkastigsområdet (-. er ikke midre e -.645), gir ikke dataee grulag for å hevde at H : p<.2. (Dataee gir ikke grulag for å hevde at partiets oppslutig har gått ed.) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 34 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Geerelt Situasjo: Biomisk modell (ev. som tilærmig til hypergeom.) Data: atall suksesser av mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av de tilfeldige variable Y der Y B(, p) og p er slik at fordelige til Y ka tilærmes med ormalfordelige. La p = Y (estimator for p). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 35 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Vi vil teste: H : p = p mot H : p<p Teststørrelse: p p p ( p ) Nullfordelig (tilærmet): N (, ) Små verdier idikerer at H er riktig α )( Nullfordelig, N (, ) Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H dersom p p p ( p ) z α Bjør H. Auestad Kp. 6: del 36 / 43

22 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Vi vil teste: H : p = p mot H : p>p Teststørrelse: p p p ( p ) Nullfordelig (tilærmet): N (, ) Store verdier idikerer at H er riktig α )( Nullfordelig, N (, ) Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H dersom p p p ( p ) z α Bjør H. Auestad Kp. 6: del 37 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig, eksempel biomisk; stor Produksjo av tallerkeer; kvalitetsovervåkig Stikkprøve på 2 tilfeldig valgte tallerkeer tas regelmessig av produksjoe og atall defekte registreres. Normalt: 5% defekte i det lage løp Basert på resultatet av e stikkprøve, vil vi teste: H : p =.5 mot H : p>.5 Lag e test med tilærmet sigifikasivå 5%, og lag e test med tilærmet sigifikasivå %. Hva er tilærmet sigifikasivået til teste: Forkast H dersom det er mist 2 defekte i stikkprøve? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 38 / 43

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,

Detaljer

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8.

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8. Hypotesetestig, to utvalg (Kapitel 8) Medisisk statistikk 009 http://folk.tu.o/slyderse/medstat/medstati_h09.html To-utvalgstest (def 8.) vs ettutvalgstest: To-utvalgstest: Sammelike de uderliggede parameter

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe SINTEF RAPPORT TITTEL SINTEF Uimed Postadresse: Boks 124, Blider 0314 Oslo Besøksadresse: Forskigsveie 1 Telefo: 22 06 73 00 Telefaks: 22 06 79 09 Foretaksregisteret: NO 948 007 029 MVA Evaluerig av hevisigsprosjektet

Detaljer

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD IO 77/45 29. ovember 977 ESTIMERING V ENGELDERIVERTE P DT MED MLEFEIL av Odd Skarstad ) INNHOLD I. Data fra forbruksudersøkelse II. Estimerig ved målefeil. Iledig 2. Systematiske målefeil 2 3. Tilfeldige

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

6.2 Signifikanstester

6.2 Signifikanstester 6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon

Detaljer

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001 Avdelig for igeiørutdaig EKSAMENSOPPGAVE Fag: Kjemi og Miljø Fagr FO 05 K Faglig veileder: Kirste Aarset, Bete Hellum og Ja Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maski, -alme Dato: 17 desember 001 Eksamestid,

Detaljer

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum Uiversitetet i Oslo Istitutt for geofag Flomrisikoaalse for Hamar og Lillestrøm Helge Bakkehøi Cadidatus Scietiarum 1. september 2003 ABSTRACT 2 Abstract This work focuses o the two tows most exposed

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

Kp. 13. Enveis ANOVA

Kp. 13. Enveis ANOVA -tabell Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 13 Kp. 13: Én-faktor -tabell 13.1 Analysis-of-Variance Technique 13.2 The Strategy of Experimental Design 13.3 One-Way Analysis of Variance: Completely

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)

Detaljer

Leseforståelse og matematikk

Leseforståelse og matematikk Leseforståelse og matematikk av guri a. ortvedt To studier av sammehege mellom leseforståelse og løsig av tekstoppgaver viser at ekelte elever ka mislykkes i oppgaveløsige fordi de tolker språket i oppgavee

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for samfusfag Istitutt for økoomi og admiistraso Ivesterig og fiasierig Bokmål Dato: Madag. desember 3 Tid: 4 timer / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 16. juni 2009. KLASSE: HIS 07 10. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside)

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

ethvert foretak, i tillegg til å forbedre og stimulere den generelle internkontrollen. Standarden vil også ha betydning for revisjonsselskapene

ethvert foretak, i tillegg til å forbedre og stimulere den generelle internkontrollen. Standarden vil også ha betydning for revisjonsselskapene Global stadard for ivesterigsresultater (GIPS ) GIPS sikrer at historiske ivesterigsresultater bereges og preseteres etter esartede prisipper. Artikkele gir e iførig i de iterasjoale abefaligee for presetasjo

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

Formelsamling i matematikk og statistikk

Formelsamling i matematikk og statistikk Høgskole i Berge Formelsamlig i matematikk og statistikk for Igeiørutdaige FOA, FOA, FOA3, FOA7, FVA4 5.utgave Fuksjoer. Elemetære fuksjoer: a) l y = y = e a = b = log a b = lb l a b) l(ab) = l A + l B,

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1. La x være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

1 10-2: Korrelasjon. 2 10-3: Regresjon

1 10-2: Korrelasjon. 2 10-3: Regresjon 1 10-2: Korrelasjon 2 10-3: Regresjon Example Krysser y-aksen i 1: b 0 = 1 Stiger med 2 hver gang x øker med 1: b 1 = 2 Formelen til linja er derfor y = 1 + 2x Eksempel Example Vi lar fem personer se en

Detaljer

Rente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015

Rente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015 Rete og pegepolitikk 8. forelesig ECON 1310 21. september 2015 1 Norge: lav og stabil iflasjo det operative målet for pegepolitikke, ær 2,5 proset i årlig rate. Iflasjosmålet er fleksibelt, dvs. at setralbake

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015 Forelesigsotat 9, februar 2015 Rete og pegepolitikk 1 Ihold Rete og pegepolitikk...1 Hvorda virker Norges Baks styrigsrete?...3 Pegemarkedet...3 Etterspørselskaale...4 Valutakurskaale...4 Forvetigskaale...5

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

ERP-implementering: Shakedown-fasen

ERP-implementering: Shakedown-fasen ERP-implemeterig: Shakedow-fase «Hvilke faktorer asees som viktige i shakedow-fase ved implemeterig av ERP i orske virksomheter?» Frak Erik Strømlad Veiledere Maug Kyaw Sei Stig Nordheim Masteroppgave

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr: Eksamensdato:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 1, VÅR 2015

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 1, VÅR 2015 NTNU Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Fakultet for aturviteskap og tekologi Istitutt for aterialtekologi TT4110 KJEI LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 1, VÅR 015 OPPGAVE 1 Vi starter ALLTID ed å

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

#include <stddisclaimer.h>

#include <stddisclaimer.h> Ihold Kapittel Sasylighet.3 Sasylighetsfuksjo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.4 Diskrete og kotiuerlige sasylighetsfuksjoer : : : : : : : : : : : : : : : : : :.6 Betiget

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (frå til): Hjelpemiddelkode/Tillatne hjelpemiddel:

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

Relasjonen i kognitiv terapi ved psykosebehandling

Relasjonen i kognitiv terapi ved psykosebehandling Relasjoe i kogitiv terapi ved psykosebehadlig Psykolog Torkil Berge Voksepsykiatrisk avdelig Videre TIPS Nettverkskoferase 22. jauar 2013 Helhetlig og itegrert behadlig PASIENT FAMILIE NÆRMILJØ Symptommestrig

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl.

EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081 og REA1081F EKSAMENSDATO: 1. juni 2011. KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. TID: kl. 9.00 12.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs

Detaljer

Oppgave 1. og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): = ( 0.12, 3.32).

Oppgave 1. og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): = ( 0.12, 3.32). Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. november 2009 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for safusfag Istitutt for økooi og adiistraso Ivesterig og fiasierig Bokål Dato: Tirsdag. deseber 4 Tid: 4 tier / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + 9 sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

Reglement for fagskolestudier

Reglement for fagskolestudier Reglemet for fagskolestudier Ved Høyskole Kristiaia R Fra og med studieåret 2015/16 Ihold INNHOLD 3 Kapittel 1 Geerelle bestemmelser 4 Kapittel 2 - Studiereglemet 6 Kapittel 3 - Opptaksreglemet 8 Kapittel

Detaljer

Løsningsforlag statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2.årskurs, 7. desember 2006 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG

Løsningsforlag statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2.årskurs, 7. desember 2006 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG Løsningsforlag statistikk, FO4N, AMMT, HiST.årskurs, 7. desember 006 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr:

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

Utdanningsdirektoratet

Utdanningsdirektoratet Utdaigsdirektoratet Nav på rettssubjekt* Norges Toppidrettsgymas Berge Kommue* Berge Orgaisasjosummer * 991569030 Kommueummer * 1201 Fylkeskommue * Hordalad For orske skoler i utladet Lad/delstat/provis

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet

Detaljer

INF1010 - våren 2007 16. januar, uke 3 - Oversikt og forutsetninger Java datastruktur-tegninger

INF1010 - våren 2007 16. januar, uke 3 - Oversikt og forutsetninger Java datastruktur-tegninger INF1010 - våre 2007 16. jauar, uke 3 - Oversikt og forutsetiger Java datastruktur-tegiger Stei Gjessig Ist. for iformatikk Nye temaer i INF1010 Fra problem til program Software Egieerig light, fasee i

Detaljer

Eksamensreglement for høyskolestudier. Ved Høyskolen Kristiania Fra og med studieåret 2015/16

Eksamensreglement for høyskolestudier. Ved Høyskolen Kristiania Fra og med studieåret 2015/16 Eksamesreglemet for høyskolestudier Ved Høyskole Kristiaia Fra og med studieåret 2015/16 Ihold INNHOLD 1.0 Lovverk 3 2.0 Karakterer 4 2.1 Karakterskala med 5 tri 4 2.2 Karakterskala Bestått/Ikke bestått

Detaljer

ROS-analyse for. aktivitetsområde- festivalplass Prestegardslandet. Detaljreguleringsplan for. Planident 2014004

ROS-analyse for. aktivitetsområde- festivalplass Prestegardslandet. Detaljreguleringsplan for. Planident 2014004 ROS-aalyse for Detaljregulerigspla for aktivitetsområde- festivalplass Prestegardsladet Plaidet 2014004 Utsikt til plaområdet frå Idrottsvege uder flaume 27.11.2014 Voss kommue 10.06.2015 Ihald 1 Bakgru...

Detaljer

DRIVHJUL. - benyttes ved lave turtall n. - gir lav periferikraft F i forhold til effekten P. - gir stor periferikraft F

DRIVHJUL. - benyttes ved lave turtall n. - gir lav periferikraft F i forhold til effekten P. - gir stor periferikraft F Trasmisjoer (lectures otes) Trasmisjoer DRIVHJUL Reimdrift Rullekjeder Tahjul - beyttes ved store turtall - gir lav periferikraft F i forhold til effekte P - beyttes ved lave turtall - gir stor periferikraft

Detaljer

SKADEFRI - oppvarmingsprogram med skadeforebyggende hensikt. Trenerforum

SKADEFRI - oppvarmingsprogram med skadeforebyggende hensikt. Trenerforum SKADEFRI - oppvarmigsprogram med skadeforebyggede hesikt Treerforum Sist oppdatert 21.10.2009 Oppsett for et 2 timers opplegg TEORI + iledede diskusjo (ca. 30-45 mi) PRAKSIS (ca. 75-90 mi) SPILLEKLAR et

Detaljer

ASTMA HOS BARN-Behandling. Beraki Ghezai, Spes i allmennmedisin Løvenstadtunet legesenter/lip

ASTMA HOS BARN-Behandling. Beraki Ghezai, Spes i allmennmedisin Løvenstadtunet legesenter/lip ASTMA HOS BARN-Behadlig Beraki Ghezai, Spes i allmemedisi Løvestadtuet legeseter/lip Ageda Vedlikeholds behadlig av astma hos bar Behadlig av akutt astma afall T.Øie Mål med astmabehadlige Forebygge forverrig,

Detaljer

Ø^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom

Ø^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM SAMARBEIDSAVTALE på istitusjosivå mellom HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG (HiST) og St. OLAVS HOSPITAL HF Trodheim Dato : 6. mai 2010 Ø^ h ^ c^ c^ Høgskole

Detaljer

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge Rapport GPS prosjekt - Ryggeheime sykehjem, Rygge Bruk av GPS på sykehjem Elisabeth Refses/ Siv Skaldstad Tidspla:1/3 10 1/10 10. Orgaiserig: Styrigsgruppe: Åse Nilsse, Ove Keeth Kvige, Elisabeth Breistei,

Detaljer

1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver. 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver

1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver. 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver 1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver 3 Oppvarming til kap 10: Rette linjer Sammenligne to populasjoner Data fra to

Detaljer

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal)

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal) 1 Fotball krysser greser (kofirmater Ålgård og Gjesdal) Øsker du e ide til et praktisk rettet prosjekt/aksjo der kofirmater ka bidra til de fattige dele av verde? Her har du et ferdig opplegg for hvorda

Detaljer

Om Grafiske Bruker-Grensesnitt (GUI) Hvordan gjør vi det, to typer av vinduer? GUI (Graphical User Interface)-programmering

Om Grafiske Bruker-Grensesnitt (GUI) Hvordan gjør vi det, to typer av vinduer? GUI (Graphical User Interface)-programmering Uke9. mars 2005 rafisk brukergresesitt med Swig og awt Litt Modell Utsy - Kotroll Del I Stei jessig Ist for Iformatikk Uiv. i Oslo UI (raphical User Iterface)-programmerig I dag Hvorda få laget et vidu

Detaljer

Hva skjer fremover? Norids registrarseminar 1. April 2003 Hilde Thunem

Hva skjer fremover? Norids registrarseminar 1. April 2003 Hilde Thunem Hva skjer fremover? Norids registrarsemiar 1. April 2003 Hilde Them Ihold Nasjoale teg i domeeav Tekisk støtte i DNS Iterasjoaliserig koster Forslag om å begrese tillatte alfabeter Overgagsmekaisme «Hvorfor

Detaljer

Oppgave 13.1 (13.4:1)

Oppgave 13.1 (13.4:1) MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) Modell: Oppgave 13.1 (13.4:1) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ 2 ) Boka opererer her med spesialtilfellet der man

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksame i: ECON30 Statistikk Exam: ECON30 Statistics UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamesdag: Tirsdag. jui 00 Sesur kugjøres: Tirsdag 5. jui, ca. 6.00 Date of exam: Tuesday, Jue, 00 Grades will

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual NO 65.044.30-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual NO 65.044.30-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual NO 65.044.30-1 INNHOLD Tekisk data Side 2 Systemiformasjo, brukere Side 3-4 Legge til og slette brukere Side 5-7 Edrig av sikkerhetsivå Side 8 Programmere: Nødkode

Detaljer

Oppgaver til Studentveiledning 3 MET 3431 Statistikk

Oppgaver til Studentveiledning 3 MET 3431 Statistikk Oppgaver til Studentveiledning 3 MET 3431 Statistikk 24. april 2012 kl 17.15-20.15 i B2 Handelshøyskolen BI 2 Oppgaver 1. Eksamensoppgaver: Eksamen 01/06/2011: Oppgave 1-7. Eksamensoppgaven fra 06/2011

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) der

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) der MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) Oppgave 13.1 Modell: Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ 2 ) Boka opererer her med spesialtilfellet der man har like

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009 Rapport Brukertilfredshet blat pårørede til beboere ved sykehjem i Oslo kommue Resultater fra e spørreudersøkelse blat pårørede til sykehjemsbeboere februar 2010 Forord Brukerudersøkelser er ett av tre

Detaljer