Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren

Transkript

1 2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag For ukjet σ, bytt ut populasjosstadardavviket σ med utvalgstadardavviket s. Ny observator blir t = x μ s/ Σx der s = 2 (Σx) 2 / 1 t ovefor kalles for Studets t-observator etter W.S Gosset. t er ikke leger stadard ormalfordelt. Fordelige kalles t-fordelige og er avhegig av utvalgsstørrelse. 3 Egeskaper ved t-fordelige Fordelige til t vil avhege av via atall frihetsgrader df = 1(df = degrees of freedom ) 1. t har forvetig 0 2. t har fordelig symmetrisk om 0 3. t-fordelige har e form som avheger av atall df. 4. t-fordelige ærmer seg stadard ormalfordelige år df øker 5. t-fordelige har varias større e 1, me dee ærmer seg 1 år df øker. 6. t-fordelige har lavere topp og tykkere haler e stadard ormalfordelig Lilla kurve T-fordelig med 1 frihetsgrad Grø kurve T-fordelig med 2 frihetsgrader Blå kurve T-fordelig med 4 frihetsgrader Rød kurve Stadard ormalfordelig f(x) x

2 5 Tabell 7: p-verdier for t-fordelige Tabelle ieholder arealer av type edefor for ulike df 6 Tabell 6: Kritiske verdier for t-fordelige t(df,α) er t-verdie slik at areal α ligger til høyre, dvs. P(t > t(df,α)) = α der t er t-fordelt med df frihetsgrader. Eksempler: t(3, 0.25) = t(10, 0.25) = t(100, 0.25) = z(0.25) = t(3, 0.01) = 4.54 t(10, 0.01) = 2.76 t(100, 0.01) = 2.36 z(0.01) = 2.33 Oppgave: Hva er t(7,0.5)? 8 Iferes om μ år σ er ukjet (9.2) Atagelse: x er tilærmet ormalfordelt, dvs. populasjoe er ormalfordelt eller er stor. Vi øsker først å fie et kofidesitervall (a, b) slik at P(a <μ<b) =1 α Her er a og b observatorer, dvs. avhegige av utvalget. Vi bruker at t = x μ er t-fordelt med df = 1 frihetsgrader.

3 Dermed er 1 α = P( t( 1,α/2) < t < t( 1,α/2)) = ( t( 1,α/2) < x μ s/ < t( 1,α/2)) = P( t( 1,α/2) < x μ<t( 1,α/2)) = P( t( 1,α/2) <μ x < t( 1,α/2)) = P( x t( 1,α/2) <μ< x + t( 1,α/2)) = P(a <μ<b) 10 Kofidesitervall for μ år σ er ukjet Et 1 α kofidesitervall for μ år σ er ukjet er gitt ved x ± t( 1,α/2) s Til sammeligig har vi følgede itervall år σ er kjet: med a = x t( 1,α/2) s b = x + t( 1,α/2) s x ± z(α/2) σ For å gå fra kjet til ukjet σ bytter vi altså ut σ med s z(α/2) med (det alltid oe større) t( 1,α/2) Oppgave: Jeg har trukket 10 tall fra e populasjo som er ormalfordelt med gjeomsitt μ og stadardavvik σ. Tallee ble med utvalgsgjeomsitt x = og utvalgsstadardavvik s = Fi et puktestimat for populasjosparametere μ Fi et itervallestimat for populasjosparametere μ. Bruk 90% kofidesivå.

4 13 Hypotesetestig om μ (σ ukjet) (9.2) Eksempel: Språktest for ugdomsskoleelever. Vil teste H 0 : μ = 125 mot H a : μ>125, der utvalget å består av = 22 elever og σ atas ukjet. Har observert x = Vi skal gjeomføre e hypotesetest der sigifikasivået settes til 5%, me å altså med ukjet σ. Vi må da rege ut utvalgsstadardavviket s som viser seg å bli s = Vi bruker testobservatore t = x 125 Store verdier av t tyder på at H a gjelder. Poeget med å bruke t er at år H 0 er riktig, er t t-fordelt med atall frihetsgrader df = 22 1 = 21. Vi ka derfor forkaste H 0 hvis de beregede verdi for t er så stor at de er urimelig for e t-fordelig med df = 21. Her blir t = / 22 = 1.08 så spørsmålet er om dette er for høyt til rimeligvis å kue komme fra e t-fordelig med df = 21. Vi fier fra Tabell 7 i koloe med df = 21 P(t > 1.08) er mellom og Da dette er større e sigifikasivået α = 0.05, forkaster vi ikke H 0. De beregede sasylighet P(t > 1.08) ka geerelt skrives P(t > t ) og er å p-verdie for teste. 16 Klassisk metode med ukjet σ Situasjoe er som før og vi bruker samme testobservator, emlig t = x 125 Å velge sigifikasivå α betyr at vi krever P(forkaste H 0 )=α hvis H 0 er sa Dette får vi til ved å forkaste H 0 hvis t > t( 1,α), der t(df,α) er de kritiske verdi) og fies i Tabell 6.

5 Vi forkaster da H 0 dersom t = x 125 > t( 1,α) Med α = 0.05 og = 22 får vi fra Tabell 6: t(21, 0.05) =1.72 mes vi bereger t = 15.2/ = 1.08 < så vi forkaster ikke H 0 med sigifikasivå α = Ata at vi har observert (for e ae by) at x = 123.0, og at vi øsker å teste H 0 : μ = 125 mot H a : μ<125 år = 22 og vi har bereget s = La sigifikasivået være α = Vi forkaster da H 0 dersom t = x 125 < t( 1,α)= t(21, 0.05) = 1.72 Nå blir z = 16.4/ = 0.75 > så vi forkaster ikke H 0 med sigifikasivå Eksempel: H 0 : μ = 125 mot H a : μ 125, σ ukjet. Hva blir å p-verdie? p-verdi = P(t < t )=P(t < 0.75) =P(t > 0.75) som er mellom og (midt i mellom disse er 0.231, så ved iterpolasjo får vi p-verdi lik 0.231), dvs. H 0 forkastes ikke side dette er større e α = Ata å: = 22, x = 118.3, s = 13.5, α = Vi forkaster å H 0 dersom t < t( 1,α/2) eller t > t( 1,α/2). Da er fra Tabell 6: t( 1, α/2) =t(21, 0.025) =2.08. Vi får t = 13.5/ = 2.33 < så vi forkaster H 0 med sigifikasivå 0.05.

6 p-verdie er sasylighete for at vår testobservator t får e verdi som er lik de vi har fått eller e som er mer ekstrem (i retig av de alterative hypotese) år ullhypotese gjelder. Vi bruker da Tabell 7 til å fie (tilærmet, med iterpolasjo i hodet ) p-verdi = P(t < 2.33 eller t > 2.33) = 2 P(t > 2.33) = = som er midre e α = 0.05, så vi forkaster H 0 med sigifikasivå α = Oppsummerig: Klassisk hypotesetestig med ukjet σ Tre typer situasjoer. Her er μ 0 et gitt tall. H 0 H a Forkast H 0 hvis μ = μ 0 μ>μ 0 t > t( 1,α) μ = μ 0 μ<μ 0 t < t( 1,α) μ = μ 0 μ μ 0 t < t( 1,α/2) eller t > t( 1,α/2) t = x μ 0 De to første testee kalles esidige ( oe-tailed ) tester, mes de siste er tosidig ( two-tailed ) 23 Oppsummerig: Hypotesetestig med p-verdi (og ukjet σ) Tre typer situasjoer. H 0 H a p-verdi (bereget med df = 1) μ = μ 0 μ>μ 0 P(t > t ) μ = μ 0 μ<μ 0 P(t < t )=P(t > t ) for t < 0 μ = μ 0 μ μ 0 P(t < t )+P(t > t )=2 P(t > t ) t = x μ 0 Oppgave (forts.): Jeg har trukket 10 tall fra e populasjo som er ormalfordelt med gjeomsitt μ og stadardavvik σ. Tallee ble med utvalgsgjeomsitt x = og utvalgsstadardavvik s = Jeg påstår at μ = 100 for populasjoe. Ta stillig til dette utsaget med e klassisk hypotesetest. Bruk sigifikasivå α = 0.1. Fi også p-verdie.

7

8