Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag To muligheter: Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. Avhengige utvalg: De samme kilder (person, gjenstand, etc.) brukes for å få data fra de to populasjonene. Uavhengige utvalg: Det trekkes ett utvalg fra hver populasjon, og kildene for dataene fra de to populasjonene har ingen sammenheng med hverandre. 3 Eksempel Undersøk om et nytt treningsprogram påvirker det fysiske nivået til elevene ved en videregående skole. Populasjo: Alle elevene før de gjennomgår programmet. Populasjon : Alle elevene etter at de har gjennomgått programmet. Spørsmål: Er populasjon i bedre form enn populasjo? Uavhengige utvalg: Trekk 6 elever som ennå ikke har gjennomgått treningsprogrammet og test dem. Trekk 6 elever som har gjennomgått treningsprogrammet og test dem. Elevene i de to utvalgene er forskjellige. Dataene er et sett med 6 verdier for hvert utvalg. Avhengige utvalg: Trekk 6 elever. Test dem før de gjennomgår treningsprogrammet, la dem så gjennomgå programmet og test de samme elevene etterpå. Elevene i de to utvalgene er de samme. Dataene er to verdier for hver av de 6 elevene (såkalte pardata - paired data )

2 5 Eksempel med avhengige utvalg Sammenligner to typer dekk A og B med hensyn på dekkslitasje. På 6 biler monteres ett bildekk av hver type på forhjulene. Dekkslitasje etter kjøring en viss lengde måles: Bil Dekk A (x 1 ) Dekk B (x ) Pardifferanse (d = x 1 x ) Vil basere analysen på differansene d. Fordel: x-ene varierer mye, da de er påvirket av mange faktorer: Bilens tyngde, type kjøring, førerens kjørevaner etc. Slike effekter elimineres i høy grad ved å basere analysen på d-ene. Dette er essensen i bruk av avhengige utvalg. 6 Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) Har nå pardata, x 1 og x, for hvert av n utvalgte par. Vi ønsker å finne ut om det er forskjell på forventningsverdiene μ 1 og μ i de to populasjonene. For dette ser vi på: Pardifferanse ( paired difference ): d = x 1 x beregnet for hvert av de n parene Antagelse om fordeling for d: Antar at de to populasjonene er normalfordelte og at de n forsøksenhetene er tilfeldig trukket ut. Da danner de beregnede d et tilfeldig utvalg fra en normalfordeling med forventning og standardavvik som vi kaller μ d og σ d. Her er μ d = μ 1 μ forskjellen i forventet verdi mellom de to populasjonene, mens σ d kan estimeres fra utvalget av d. Tilbake til dekk-eksemplet: På 6 biler monteres ett bildekk av hver type på forhjulene. Dekkslitasje etter kjøring en viss lengde måles: Bil Dekk A (x 1 ) Dekk B (x ) Pardifferanse (d = x 1 x ) Beregninger: d = 6.3 (punktestimat for μ d ), s d = 5.1 (utvalgsstandardavvik for d-ene; punktestimat for σ d ) For statistisk inferens om μ d sitter vi dermed med kun ett utvalg (av d-er), og vi er dermed tilbake til situasjonen i kap Konfidensintervall og tester for forventet forskjell μ d ved avhengige utvalg Konfidensintervall og testing er basert på t = d μ d s d / n, som er t-fordelt med df = n 1 frihetsgrader. Et 1 α konfidensintervall for μ d er gitt ved d ± t(n 1,α/) s d n Mest aktuelle nullhypotese er: H 0 : μ d = 0 (hvorfor?) mot ulike alternativer for μ d Testobservator er da: t = d s d / n

3 Oppgave: Finn et 90% konfidensintervall for μ d i dekk-eksemplet. Test H 0 : μ d = 0motH a : μ d > 0med5% signifikansnivå. Beskriv med ord hva vi ønsker å finne ut med denne testen. 10 Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to uavhengige utvalg (10.4) Populasjo: Populasjon μ 1 forventning μ forventning (populasjonsgjennomsnitt) (populasjonsgjennomsnitt) σ 1 populasjonsstandardavvik σ populasjonsstandardavvik observasjoner n observasjoner x 1 observert variabel x observert variabel x 1 utvalgsgjennomsnitt x utvalgsgjennomsnitt s 1 utvalgsstandardavvik s utvalgsstandardavvik Vi er nå interessert i μ 1 μ, som har punktestimat x 1 x 11 Utvalgsfordeling for x 1 x Antagelse: Uavhengige utvalg av størrelse og n trekkes tilfeldig fra normalfordelte populasjoner. Da er x 1 x normalfordelt med 1. forventning. standardfeil σ x1 x = μ x1 x = μ 1 μ ) ( σ 1 + ( σ n ) Dette betyr at z = x 1 x (μ 1 μ ) ( ) ( ) σ 1 σ + n er standard normalfordelt og kan brukes til inferens om μ 1 μ hvis σ 1 og σ er kjente. Hvis σ 1 og σ er ukjente, erstattes disse med s 1 og s, og inferens baseres på t = x 1 x (μ 1 μ ) ( ) ( ) s 1 s + n som er tilnærmet t-fordelt med df frihetsgrader (se neste side).

4 Det korrekte antall frihetsgrader for t er df = {( ) ( )} s 1 s + n (s1 /) 1 + (s /n ) n 1 (1) 14 Konfidensintervall for forventet forskjell ved uavhengige utvalg (avrundet nedover til nærmeste hele tall). Dette brukes i kalkulatorer og dataprogrammer, men for å gjøre analyser enklere vil vi bruke som df for t: df = det minste av 1 og n 1 () (Det kan vises at formelen (1) alltid gir en df mellom () og + n ). Et 1 α konfidensintervall for μ 1 μ er gitt ved ) ( ) x 1 x ± t(df,α/) ( s 1 s + n der df er lik det minste av 1ogn 1, eller eventuelt gitt ved formelen på forrige side, Men: Ved å bruke () gjør vi inferensen konservativ i den forstand at vi får lengre konfidensintervall og høyere kritiske verdier for tester enn ved å bruke formelen (1).

5 Fra eksamen 4. mai 003 Oppgave 1 Vekta (i kilogram) til forsvarsspillerne, x, og til angrepsspillerne, y, i Molde Fotballklubbs A-stall (MFK) er slik: Det oppgis at x = 501, x y x =41935, y = 387 og y = a) Finn utvalgsmiddelverdiene og utvalgsstandardavvikene for de to utvalgene. Anta at vi kan betrakte forsvarsspillerne og angrepsspillerne i MFK som uavhengige tilfeldige utvalg fra henholdsvis populasjonen av alle forsvarsspillere og populasjonen av alle angrepsspillere på høyt nivå. b) Foreslå en testmetode for å undersøke om det er noen forskjell i gjennomsnittsvekta til forsvarsspillere og angrepsspillere på høyt nivå. Gjør greie for antakelsene for testmetoden. Løsning: Skriver x 1 for x, x for y μ 1 er forventet vekt for forsvarsspiller μ er forventet vekt for angrepsspiller a) x 1 = 501/6 = 83.5, x = 387/5 = 77.4 s 1 = s = Σx 1 (Σx 1) / 1 Σx (Σx ) /n n 1 = = (501) /6 = (387) /5 = c) Utfør testen med signifikansnivå α = 0,10. b) Bruker t-test for to uavhengige utvalg ( to-utvalgs t-test ). Utvalgene må være uavhengige og tilfeldige, fra normalfordelte populasjoner (viser seg rimelig for vekt). Tester H 0 : μ 1 μ = 0motH 1 : μ 1 μ 0 c) Testobservator t x = 1 x ( ) ( ) = s 1 s + n ) + ( ( ) =.59 Hvis H 0 gjelder er t tilnærmet t-fordelt med df = 4 (minimum av 6-1 og 5-1). Klassisk metode: Forkast H 0 hvis t < t(4, 0.10/) = t(4, 0.05) =.13 (tabell 6), eller hvis t > t(4, 0.05) =.13. Vi forkaster altså H 0 og påstår H a siden.59 >.13. Metode med p-verdi: p-verdi er gitt ved sannsynligheten for å få det vi har fått eller noe mer ekstremt i forhold til nullhypotesen, dvs. her P(t <.59)+P(t >.59) = P(t >.59) når t er t-fordelt med 4 frihetsgrader. Tabell 7 gir at P(t >.6) =0.03, så p-verdien blir ca 0.03 = 0.06, som altså er mindre enn signifikansnivået på Vi forkaster altså H 0. Det er tidligere bemerket at dette er en konservativ metode. Det korrekte antall frihetsgrader er muligens større enn 4, noe som ville ha gitt en mindre p-verdi, og lavere kritisk verdi. Men sålenge vi forkaster, har dette ingen betydning for konklusjonen. (Formelen (1) for df ville gitt 8.7, dvs vi kunne ha brukt 8 frihetsgrader. Kritiske verdier ville da ha blitt ±1.86 istedenfor ±.13, mens p-verdi ville blitt 0.03 istedenfor )

6 Oppgave: Jeg har trukket 10 tall fra populasjo som er normalfordelt med forventning μ 1 og standardavvik σ 1 : med utvalgsgjennomsnitt x 1 = 47.0 og utvalgsstandardavvik s 1 = Dessuten har jeg trukket 10 tall fra en populasjon som er normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ : Fordelinger som dataene er trukket fra: Populasjo: Normalfordeling med μ 1 = 50,σ 1 = 10 Populasjon : Normalfordeling med μ = 35,σ = 5 med utvalgsgjennomsnitt x = 3.9 og utvalgsstandardavvik s = 5.6 Finn punktestimat for μ 1 μ Finn 90% konfidensintervall for μ 1 μ. Er μ 1 = μ? Bruk 5% signifikansnivå. 3 Inferens om forskjell mellom andeler i to populasjoner basert på uavhengige utvalg (10.5) p 1 andel suksesser i populasjo p andel suksesser i populasjon x 1 antall suksesser i utvalg 1 x antall suksesser i utvalg p 1 = x 1 andel suksesser i utvalg 1 p = x n andel suksesser i utvalg Vil gjøre inferens om p 1 p ved hjelp av p 1 p. Repetisjon: Binomisk situasjon med ett utvalg Andel med suksess i utvalget er Utvalgsfordelingen: så p = x n μ p = p pq σ p = n z = p p pq n er tilnærmet standard normalfordelt

7 $ " ', -.. % + / 0 ) $ $ ) 5 Binomisk situasjon med to utvalg Hvis uavhengige utvalg på og n trekkes tilfeldig fra store populasjoner med suksess-sannsynligheter p 1 og p,vil utvalgsfordelingen for p 1 p ha egenskapene: 1. forventning:. standardfeil: μ p 1 p = p 1 p σ p 1 p = p1 q 1 + p q n 3. tilnærmet normalfordelt når og n er store Dermed er z = p 1 p (p 1 p ) p1 q 1 + p q n tilnærmet standard normalfordelt når og n er store. Et tilnærmet (1 α)-konfidensintervall for p 1 p er gitt ved Altså som vanlig: p 1 p ± z(α/) p 1 q 1 + p q n punktestimat ± z(α/) standardfeil Hypotesetesting om p 1 p. Vanlig å teste H 0 : p 1 p = 0 som er det samme som H 0 : p 1 = p Tar utgangspunkt i den standard normalfordelte z = p 1 p (p 1 p ) p1 q 1 + p q n og lager testobservatoren z = p 1 p p p q p + p pq p n der p p er et punktestimat for verdien av p 1 = p når H 0 er sann. Et naturlig estimat er p p = x 1 + x + n Da er z tilnærmet standard normalfordelt når H 0 gjelder og vi kan basere testen på den. Fra eksamen 5. desember 005! " #! " $ & "! ' ( % $ * p B p " " T $ 1 / / 3 H : p B = p T H a : p B >p T # , / 3

8 z(α) =z(0.05) = 1.65 < 3.80 C S H K T E G U I C D B G H 0R Løsning 9 : : ; < = >? A B C D E F C B G H I D E G B J B G C K L B J J M N N O P Q E D B C B J B G I D z = p B p T (p B p T ) p B = p T p p (1 p p ) + p p (1 p p ) p p (1 p p ) n + p p (1 p p ) n R p B = p T p B = = p T = = p p = = z = = ( ) ( ) Oppgave: Jeg har utført et binomisk forsøk med = 1000, x 1 = 757 og n = 500, x = 367 suksesser. Finn et punktesimat for p 1 p Finn et 90% konfidensintervall for p 1 p Test hypotesen H 0 : p 1 = p mot H a : p 1 p med signifikansnivå 5% (Dataene er simulert med p 1 = 0.75, p = W K J C D B C K X J K Y U I J C J K H S C E Z X K G T E G U I C D J K J X F N K G V H B G L K B J \ p[ H B G L K = P (z >z )=P (z >3.80) = p[ 31 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Rød kurve χ -fordeling med df=1 frihetsgrad Grønn kurve χ -fordeling med df=4 frihetsgrader Blå kurve χ -fordeling med df=10 frihetsgrader Lilla kurve χ -fordeling med df=0 frihetsgrader Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den greske bokstaven χ. Fordelingen kan også skrives χ -fordelingen.) 1. χ er positiv. χ er ikke symmetrisk, men skjev mot høyre. 3. En bestemt χ -fordeling identifiseres ved en parameter df som kalles antall frihetsgrader ( degrees of freedom ). 4. Forventning μ = df 5. Varians σ = df f(x) x

9 33 Notasjon og Tabell 8 χ (df,α) er χ -verdien slik at areal α ligger til høyre, dvs P(χ >χ (df,α)) = α der χ er χ -fordelt med df frihetsgrader. Eksempel: Finn χ (0, 0.05) Bruk Tabell 8 α df Inferens om σ Antagelse: Utvalget er trukket fra en populasjon som er normalfordelt. Vi skal teste hypoteser om σ. (Punktestimat er s). Vi bruker testobservatoren χ = (n 1)s σ som kan vises å være χ -fordelt med df=n-1 frihetsgrader når σ har den korrekte verdien. Merk: Dette er analogt med at vi ved inferens om μ har brukt observatorer z = x μ σ/ x μ og t = n s/ som har kjente, tabellerte n fordelinger. Eksempel: Jeg har trukket 10 tall fra en populasjon som er normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ. Tallene ble med s=.64. Finn et punktestimat for σ Jeg sier at σ = 4 for populasjonen. Ta stilling til utsagnet gjennom en hypotesetest. Bruk signifikansnivå α = 0.1. Finn p-verdien.

10 Punktestimat for σ er s =.64. Nullhypotesten H 0 er at σ = 4 mens alternativ hypotese H a er at σ 4. Testobservatoren blir da χ = (n 1)s (n 1)s σ = 4 som er χ -fordelt med df=n-1=9 frihetsgrader under nullhypotesen. Her blir χ (n 1)s (10 1).64 = σ = 4 = 3.9 Spørsmålet er om dette er en urimelig størrelse for en variabel som er kjikvadrat-fordelt med df = 9. Vi vil forkaste H 0 hvis testobservatoren χ blir enten for liten eller for stor. Klassisk metode: Finn kritiske verdier slik at vi forkaster hvis χ ligger utenfor et sentralt område av kjikvadratfordelingen. Vi har at P(χ <χ (df, 1 α/)) = α/ P(χ >χ (df,α/)) = α/ I eksempel, med α = 0.10, blir disse kritiske verdiene (Tabell 8) χ (9, 0.95) = 3.33 χ (9, 0.05) = 16.9 dvs. vi skal forkaste hvis χ < 3.33 eller χ > Dermed forkaster vi ikke H 0, siden vi beregnet testobservatoren χ = 3.9. Metode med p-verdi: Beregner først P(χ 9 < 3.9) =1 P(χ 9 > 3.9) =1 0.9 = 0.08 Her har vi først brukt Tabell 8 til å finne P(χ 9 > 3.33) =0.95 og P(χ 9 > 4.17) =0.90. Dermed vet vi at P(χ 9 > 3.9) er mellom 0.90 og På øyemål har vi da anslått at P(χ 9 > 3.9) =0.9 (som vi også ville få ved formell interpolasjon). Oppgave: Jeg har trukket 10 tall fra en populasjon som er normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ. Tallene ble med s=1.73. Siden alternativ hypotese er at σ 4erp-verdien lik arealet av begge halene, dvs p-verdi= 0.08 = Siden p-verdi>α=0.1 kan vi ikke forkaste nullhypotesen. (σ for populasjonen som jeg trakk fra var σ =, med andre ord beholdt vi feilaktig nullhypotesen, dvs. gjorde en feil av type II.) La H 0 være at σ = 4 for populasjonen, mens H a er at σ<4. Finn p-verdien og bruk denne til å velge mellom hypotesene når signifikansnivå α = 0.1. Det er oppgitt at χ (9, 0.99) =1.678

11 41 Inferens om forholdet mellom varianser ved to uavhengige utvalg (10.6) Ser på to normalfordelte populasjoner med standardavvik henholdsvis σ 1 og σ. Ønsker å teste: H 0 : σ 1 σ = 1motH a : σ 1 σ > 1 som er det samme som H 0 : σ 1 = 1motH a : σ 1 > 1 σ σ og det samme som 4 F-fordelingen Egenskaper til F-fordelingen: 1. F er aldri negativ, den er 0 eller positiv.. F er ikke symmetrisk, men såkalt skjev mot høyre (som kjikvadrat-fordelingen) 3. F bestemmes ved de såkalte frihetsgradene df 1 og df. H 0 : σ 1 = σ mot H a : σ 1 >σ Kan selvsagt også ha < og i H a Blå kurve F-fordeling med df 1 = 0, df = 0 frihetsgrader Rød kurve F-fordeling med df 1 = 10, df = 10 frihetsgrad Grønn kurve F-fordeling med df 1 = 4, df = 4 frihetsgrader 44 Tabell 9A, 9B, 9C for F -fordelingen I samsvar med notasjon introdusert før vil F (df 1, df,α) betegne F -verdien slik at et areal α er til høyre: f(x) x F (10, 10, 0.05) =.98 Oppgave: Hva er F (10, 10, 1)?

12 45 Testobservator og test (kalt F -test ) Antagelser: H 0 : σ 1 σ = 1motH a : σ 1 σ > 1 begge populasjonene er normalfordelte utvalgene blir trukket uavhengige av hverandre Bruker testobservatoren f = s 1 s som hvis H 0 gjelder er F -fordelt med df 1 = 1ogdf = n 1 frihetsgrader. Eksempel i boka: Sammenligning av standardavvik for påfylt mengde for to tappemaskiner for brus. La σ 1 være standardavvik for ny maskin, mens σ er standardavvik for nåværende maskin. Vil teste H 0 : σ 1 σ = 1motH a : σ 1 σ > 1 med signifikansnivå 5%. De relevante dataene er: Beregner Utvalg n s Ny maskin (1) Nåværende maskin () f = s 1 s = =.5 Er dette for stort til å kunne komme fra F -fordelingen med (4,1) frihetsgrader? Klassisk metode: Forkast H 0 hvis f > F (4, 1, 0.05) =.05 Anta at vi isteden skal teste H 0 : σ 1 σ Dette er det samme som = 1motH a : σ 1 σ < 1 dvs. H 0 forkastes siden vi har observert f =.5. Vi bruker her Tabell 9A, i kolonnen med 4 og linjen med 1. Husk at numerator betyr teller, og denominator betyr nevner Metode med p-verdi: p-verdi = P(f >.5) når f er F -fordelt med 4 og 1 frihetsgrader. Vi kan ikke finne denne i tabellene, men bruk av 9A gir at P(f >.5) < 0.05 mens 9B gir at P(f >.5) > 0.05, dvs. p-verdi er mellom 0.05 og H 0 : σ σ 1 = 1motH a : σ σ 1 > 1 dvs. vi kan ganske enkelt bytte om rollene til de to utvalgene (og populasjonene). Bruker da testobservatoren f = s s 1 som hvis H 0 gjelder er F -fordelt med df 1 = n 1ogdf = 1 frihetsgrader. (Merk at frihetsgradene df 1 alltid gjelder telleren, mens df gjelder nevneren.)

13 Tosidig test om likhet av varianser Anta at vi skal teste H 0 : σ 1 σ = 1motH a : σ 1 σ 1 med signifikansnivå α. Med testobservatoren f = s 1 skal vi s forkaste H 0 både hvis den blir for liten (under 1) eller stor (større en). Siden våre tabeller bare gjelder store verdier av f (høyre hale), foreslår boka følgende metode i Example side 598: 1. Beregn s 1 og s. Beregn f som forholdet mellom disse, med den største i telleren (slik at vi garantert får f > 1) 3. Klassisk metode: Forkast H 0 hvis f > F (df 1, df,α/), hvor df 1 og df er frihetsgrader til henholdsvis telleren og nevneren. 4. Metode med p-verdi: p-verdi er P(f > f ) der f er F -fordelt med df 1 og df frihetsgrader Oppgave: Gitt utvalgsinformasjonen = 10, n = 8, s 1 = 5.4, s = 3.8, skal du teste H 0 : σ 1 σ med signifikansnivå α = 0.05 = 1motH a : σ 1 σ 1 51 Oppsummering: Testing av varianser og standardavvik i normalfordelte populasjoner Ett utvalg med populasjonsstandardavvik σ (kap. 9.4): Tester hypoteser av formen H 0 : σ = σ 0 mot H a : σ σ 0 (evt. > eller <) for en gitt verdi av σ 0. Bruker testobservatoren χ = (n 1)s σ 0 To utvalg med populasjonsstandardavvik σ 1 og σ (kap. 10.6) Tester hypoteser av formen H 0 : σ 1 σ (evt. > eller <) Bruker testobservatoren f = s 1 s = 1motH a : σ 1 σ 1 som er F -fordelt med df 1 = 1ogdf = n 1 frihetsgrader når H 0 gjelder. Kritiske verdier finnes i Tabell 9. som er χ -fordelt med df=n-1 frihetsgrader når H 0 gjelder. Kritiske verdier finnes i Tabell 8.

14

15

16

17