ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner"

Transkript

1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag

2 2 Kapittel 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis µ 1 og µ 2. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. To muligheter: Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. Avhengige utvalg: De samme kilder (person, gjenstand, etc.) brukes for å få data fra de to populasjonene. Uavhengige utvalg: Det trekkes ett utvalg fra hver populasjon, og kildene for dataene fra de to populasjonene har ingen sammenheng med hverandre.

3 3 Eksempel Undersøk om et nytt treningsprogram påvirker det fysiske nivået til elevene ved en videregående skole. Populasjon 1: Alle elevene før de gjennomgår programmet. Populasjon 2: Alle elevene etter at de har gjennomgått programmet. Spørsmål: Er populasjon 2 i bedre form enn populasjon 1?

4 Uavhengige utvalg: Trekk 6 elever som ennå ikke har gjennomgått treningsprogrammet og test dem. Trekk 6 elever som har gjennomgått treningsprogrammet og test dem. Elevene i de to utvalgene er forskjellige. Dataene er et sett med 6 verdier for hvert utvalg. Avhengige utvalg: Trekk 6 elever. Test dem før de gjennomgår treningsprogrammet, la dem så gjennomgå programmet og test de samme elevene etterpå. Elevene i de to utvalgene er de samme. Dataene er to verdier for hver av de 6 elevene (såkalte pardata - paired data )

5 5 Eksempel med avhengige utvalg Sammenligner to typer dekk A og B med hensyn på dekkslitasje. På 6 biler monteres ett bildekk av hver type på forhjulene. Dekkslitasje etter kjøring en viss lengde måles: Bil Dekk A (x 1 ) Dekk B (x 2 ) Pardifferanse (d = x 1 x 2 ) Vil basere analysen på differansene d. Fordel: x-ene varierer mye, da de er påvirket av mange faktorer: Bilens tyngde, type kjøring, førerens kjørevaner etc. Slike effekter elimineres i høy grad ved å basere analysen på d-ene. Dette er essensen i bruk av avhengige utvalg.

6 6 Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.2) Har nå pardata, x 1 og x 2, for hvert av n utvalgte par. Vi ønsker å finne ut om det er forskjell på forventningsverdiene µ 1 og µ 2 i de to populasjonene. For dette ser vi på: Pardifferanse ( paired difference ): d = x 1 x 2 beregnet for hvert av de n parene Antagelse om fordeling for d: Antar at de to populasjonene er normalfordelte og at de n forsøksenhetene er tilfeldig trukket ut. Da danner de beregnede d et tilfeldig utvalg fra en normalfordeling med forventning og standardavvik som vi kaller µ d og σ d. Her er µ d = µ 1 µ 2 forskjellen i forventet verdi mellom de to populasjonene, mens σ d kan estimeres fra utvalget av d.

7 Tilbake til dekk-eksemplet: På 6 biler monteres ett bildekk av hver type på forhjulene. Dekkslitasje etter kjøring en viss lengde måles: Bil Dekk A (x 1 ) Dekk B (x 2 ) Pardifferanse (d = x 1 x 2 ) Beregninger: d = 6.3 (punktestimat for µ d ), s d = 5.1 (utvalgsstandardavvik for d-ene; punktestimat for σ d ) For statistisk inferens om µ d sitter vi dermed med kun ett utvalg (av d-er), og vi er dermed tilbake til situasjonen i kap. 9.

8 8 Konfidensintervall og tester for forventet forskjell µ d ved avhengige utvalg Konfidensintervall og testing er basert på t = d µ d s d / n, som er t-fordelt med df = n 1 frihetsgrader. Et (1 α) konfidensintervall for µ d er gitt ved d ± t(n 1, α/2) s d n Mest aktuelle nullhypotese er: H 0 : µ d = 0 (hvorfor?) mot ulike alternativer for µ d Testobservator er da: d t = s d / n

9 9 Hands-on: dekkslitasje Finn et 90% konfidensintervall for µ d i dekk-eksemplet. Test H 0 : µ d = 0 mot H a : µ d > 0 med 5% signifikansnivå. Beskriv med ord hva vi ønsker å finne ut med denne testen.

10 10 Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to uavhengige utvalg (10.3) Populasjon 1: Populasjon 2 µ 1 forventning µ 2 forventning (populasjonsgjennomsnitt) (populasjonsgjennomsnitt) σ 1 populasjonsstandardavvik σ 2 populasjonsstandardavvik n 1 observasjoner n 2 observasjoner x 1 observert variabel x 2 observert variabel x 1 utvalgsgjennomsnitt x 2 utvalgsgjennomsnitt s 1 utvalgsstandardavvik s 2 utvalgsstandardavvik Vi er nå interessert i µ 1 µ 2, som har punktestimat x 1 x 2

11 11 Utvalgsfordeling for x 1 x 2 Antagelse: Uavhengige utvalg av størrelse n 1 og n 2 trekkes tilfeldig fra normalfordelte populasjoner. Da er x 1 x 2 normalfordelt med 1. forventning 2. standardfeil µ x1 x 2 = µ 1 µ 2 σ x1 x 2 = ( σ 2 1 n 1 ) + ( σ 2 2 n 2 )

12 Dette betyr at z = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) ( ) ( ) σ 2 1 σ 2 n n 2 er standard normalfordelt og kan brukes til inferens om µ 1 µ 2 hvis σ 1 og σ 2 er kjente. Hvis σ 1 og σ 2 er ukjente, erstattes disse med s 1 og s 2, og inferens baseres på t = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) ( s 2 1 n 1 ) + ( ) s 2 2 n 2 som er tilnærmet t-fordelt med df frihetsgrader (se neste side).

13 Det korrekte antall frihetsgrader for t er df = {( ) ( )} s 2 1 s 2 2 n n 2 (s1 2/n 1) 2 n (s2 2 /n 2) 2 n 2 1 (1) (avrundet nedover til nærmeste hele tall). Dette brukes i kalkulatorer og dataprogrammer, men for å gjøre analyser enklere vil vi bruke som df for t: df = det minste av (n 1 1) og (n 2 1) (2) (Det kan vises at formelen (1) alltid gir en df mellom (2) og n 1 + n 2 2). Men: Ved å bruke (2) gjør vi inferensen konservativ i den forstand at vi får lengre konfidensintervall og høyere kritiske verdier for tester enn ved å bruke formelen (1).

14 14 Konfidensintervall for forventet forskjell ved uavhengige utvalg Et (1 α) konfidensintervall for µ 1 µ 2 er gitt ved ) x 1 x 2 ± t(df, α/2) ( s 2 1 n 1 + ( s 2 2 n 2 der df er lik det minste av n 1 1 og n 2 1, eller eventuelt gitt ved formelen på forrige side, )

15 15 Eksempel: Høyde til kvinnelige og mannlige studenter Hvor stor forskjell er det i høyde mellom kvinnelige og mannlige studenter? Vi ønsker et 95% konfidensintervall for differensen mellom populasjongjennomsnittet for menn og populasjonsgjennomsnittet for kvinner. Data: Tall i inch. (69.8 inch er cm, 63.8 inch er cm.)

16 16 Høyde til kvinnelige (f) og mannlige (m) studenter x m x f = = 6 n m 1=30-1=29 og n f 1=20-1=19. Minste er df = % KI gir α = 0.05 og α/2 = Den maksimale feilen E: E = t(df, α/2) (s 2 m /nm) + (s2f /n f ) = 2.09 ( /30) + ( /20) = % KI: (x m x f ) ± E = 6 ± 1.25 = [4.75, 7.25]

17 Fra eksamen 24. mai 2003

18 Løsning: Skriver x 1 for x, x 2 for y µ 1 er forventet vekt for forsvarsspiller µ 2 er forventet vekt for angrepsspiller a) x 1 = 501/6 = 83.5, x 2 = 387/5 = 77.4 s 1 = s 2 = Σx 2 1 (Σx 1) 2 /n 1 n 1 1 Σx 2 2 (Σx 2) 2 /n 2 n 2 1 = = (501) 2 /6 = (387) 2 /5 =

19 b) Bruker t-test for to uavhengige utvalg ( to-utvalgs t-test ). Utvalgene må være uavhengige og tilfeldige, fra normalfordelte populasjoner (viser seg rimelig for vekt). Tester H 0 : µ 1 µ 2 = 0 mot H 1 : µ 1 µ 2 0 c) Testobservator t = x 1 x 2 ( ) ( ) = s 2 1 s 2 n n ) + ( ( ) = 2.59 Hvis H 0 gjelder er t tilnærmet t-fordelt med df = 4 (minimum av 6-1 og 5-1). Klassisk metode: Forkast H 0 hvis t < t(4, 0.10/2) = t(4, 0.05) = 2.13 (tabell 6), eller hvis t > t(4, 0.05) = Vi forkaster altså H 0 og påstår H a siden 2.59 > 2.13.

20 Metode med p-verdi: p-verdi er gitt ved sannsynligheten for å få det vi har fått eller noe mer ekstremt i forhold til nullhypotesen, dvs. her P(t < 2.59) + P(t > 2.59) = 2 P(t > 2.59) når t er t-fordelt med 4 frihetsgrader. Tabell 7 gir at P(t > 2.6) = 0.03, så p-verdien blir ca = 0.06, som altså er mindre enn signifikansnivået på Vi forkaster altså H 0. Det er tidligere bemerket at dette er en konservativ metode. Det korrekte antall frihetsgrader er muligens større enn 4, noe som ville ha gitt en mindre p-verdi, og lavere kritisk verdi. Men sålenge vi forkaster, har dette ingen betydning for konklusjonen. (Formelen (1) for df ville gitt 8.7, dvs vi kunne ha brukt 8 frihetsgrader. Kritiske verdier ville da ha blitt ±1.86 istedenfor ±2.13, mens p-verdi ville blitt istedenfor )

21 21 Hands-on: Lauren, a brunette, was tired of hearing Blondes have more fun. She set out to prove that brunettes are more intelligent. Lauren randomly selected 40 blondes and 40 brunettes at her high school. The following overall grade statistics were calculated: Sample n mean sd Blondes Brunettes Does Lauren have support for her claim? What could Lauren say about blondes and brunettes intelligence?

22 22 Inferens om forskjell mellom andeler i to populasjoner basert på uavhengige utvalg (10.4) p 1 andel suksesser i populasjon 1 p 2 andel suksesser i populasjon 2 x 1 antall suksesser i utvalg 1 x 2 antall suksesser i utvalg 2 p 1 = x 1 n 1 andel suksesser i utvalg 1 p 2 = x 2 n 2 andel suksesser i utvalg 2 Vil gjøre inferens om p 1 p 2 ved hjelp av p 1 p 2.

23 Repetisjon: Binomisk situasjon med ett utvalg Andel med suksess i utvalget er p = x n Utvalgsfordelingen: så µ p = p pq σ p = n z = p p pq n er tilnærmet standard normalfordelt

24 24 Binomisk situasjon med to utvalg Hvis uavhengige utvalg på n 1 og n 2 trekkes tilfeldig fra store populasjoner med suksess-sannsynligheter p 1 og p 2, vil utvalgsfordelingen for p 1 p 2 ha egenskapene: 1. forventning: µ p 1 p 2 = p 1 p 2 2. standardfeil: σ p 1 p 2 = p1 q 1 n 1 + p 2q 2 n 2 3. tilnærmet normalfordelt når n 1 og n 2 er store

25 Dermed er z = p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p1 q 1 n 1 + p 2q 2 n 2 tilnærmet standard normalfordelt når n 1 og n 2 er store. Et tilnærmet (1 α)-konfidensintervall for p 1 p 2 er gitt ved p 1 p 2 ± z(α/2) p 1 q 1 n 1 + p 2 q 2 n 2 Altså som vanlig: punktestimat ± z(α/2) standardfeil

26 Hypotesetesting om p 1 p 2. Vanlig å teste H 0 : p 1 p 2 = 0 som er det samme som H 0 : p 1 = p 2 Tar utgangspunkt i den standard normalfordelte og lager testobservatoren z = p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p1 q 1 n 1 + p 2q 2 n 2 z = p 1 p 2 p p q p n 1 + p p q p n 2 der p p er et punktestimat for verdien av p 1 = p 2 når H 0 er sann. Et naturlig estimat er p p = x 1 + x 2 n 1 + n 2 Da er z tilnærmet standard normalfordelt når H 0 gjelder og vi kan basere testen på den.

27 27 Viktig: to andeler Konfidensintervall: Testobservator for hypotesetest:

28 28 Studenter og bilkjøring: kjønnsforskjeller? Populasjon: studenter på NTNU. Spørsmål: Er du flinkere enn gjennomsnittet (i Norge) til å kjøre bil? Ja (suksess) eller nei (fiasko). Utvalget: n = 139 studenter som tok faget TMA4245 V2006. x n x n Menn Kvinner Alle

29 29 Studenter og bilkjøring Finn punktestimat og 99% konfidensintervall for differansen mellom andelen av mannlige studenter og kvinnelige studenter som synes deres kjøreegenskaper er bedre enn gjennomsnittet. Fasit: [0.03, 0.47]. La p 1 være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt mannlig student synes han er bedre enn gjennomsnittet til å kjøre bil, og tilsvarende p 2 for kvinner. Utfør hypotesetest med H 0 : p 1 p 2 = 0 vs. H a : p 1 p 2 > 0 og med signifikansnivå 5%.

30 30 Bytte leverandør av kaffeautomat? På sykehuset kan besøkende kjøpe kaffe fra en automat (fra Kaffeautomaten AS). Automaten er slik at den fyller kaffekoppen nesten helt full. De besøkende har vært godt fornøyd med automaten, og mengden kaffe som automaten fyller i kaffekoppen varierer lite. Kall standardavviket til fyllingsmengden σ 1.

31 31 Bytte leverandør av kaffeautomat? En konkurrerende leverandør av kaffeautomater, KaffeXX, har kommet med et interessant tilbud. men sykehuset har hørt fra andre kunder at denne nye automaten har veldig stor variasjon i mengden kaffe som fylles i kaffekoppen. Dette er leverandøren helt uenig i og mener at deres automater er ikke mer variable enn kaffeautomatene fra Kaffeautomaten AS. Kall standardavviket til fyllingsmengden til automater fra KaffeXX for σ 2. Sykehuset bestemmer seg for å sette opp en hypotesetest - hvordan gjør de det? Deretter samler de inn et tilfeldig utvalg på n 1 målinger av fyllingsgrad fra Kaffeautomaten AS. De får låne en automat fra KaffeXX og samler også inn et tilfeldig utvalg av n 2 målinger av fyllingsgrad fra den nye automaten.

32 32 Inferens om forholdet mellom varianser ved to uavhengige utvalg (10.5) Ser på to normalfordelte populasjoner med standardavvik henholdsvis σ 1 og σ 2. Ønsker å teste: som er det samme som og det samme som H 0 : σ 1 = σ 2 mot H a : σ 1 > σ 2 H 0 : σ 1 σ 2 = 1 mot H a : σ 1 σ 2 > 1 H 0 : σ2 1 σ 2 2 Kan evt. ha < og i H a = 1 mot H a : σ2 1 σ 2 2 > 1

33 33 Testobservator og test (kalt F -test ) Antagelser: H 0 : σ2 1 σ 2 2 = 1 mot H a : σ2 1 σ 2 2 begge populasjonene er normalfordelte > 1 utvalgene blir trukket uavhengige av hverandre Bruker testobservatoren f = s2 1 s 2 2 som hvis H 0 gjelder er F -fordelt med df 1 = n 1 1 og df 2 = n 2 1 frihetsgrader.

34 34 F-fordelingen 1. F er aldri negativ, den er 0 eller positiv. 2. F er ikke symmetrisk, men såkalt skjev mot høyre (som kjikvadrat-fordelingen) 3. F bestemmes ved de såkalte frihetsgradene df 1 og df 2.

35 35 Tabell 9A, 9B, 9C for F-fordelingen I samsvar med notasjon introdusert før vil F (df 1, df 2, α) betegne F -verdien slik at et areal α er til høyre:

36 36 Tabell 9A Oppgave: Hva er F (5, 8, 0.05)?

37 37 Testobservator og test (kalt F -test ) Antagelser: H 0 : σ2 1 σ 2 2 = 1 mot H a : σ2 1 σ 2 2 begge populasjonene er normalfordelte > 1 utvalgene blir trukket uavhengige av hverandre Bruker testobservatoren f = s2 1 s 2 2 som hvis H 0 gjelder er F -fordelt med df 1 = n 1 1 og df 2 = n 2 1 frihetsgrader.

38 Eksempel i boka: Sammenligning av standardavvik for påfylt mengde for to tappemaskiner for brus. La σ 1 være standardavvik for ny maskin, mens σ 2 er standardavvik for nåværende maskin. Vil teste H 0 : σ2 1 σ 2 2 = 1 mot H a : σ2 1 σ 2 2 > 1 med signifikansnivå 5%. De relevante dataene er: Utvalg n s 2 Ny maskin (1) Nåværende maskin (2) Beregner f = s2 1 s 2 2 = = 2.25 Er dette for stort til å kunne komme fra F-fordelingen med (24,21) frihetsgrader?

39 Klassisk metode: Forkast H 0 hvis f > F(24, 21, 0.05) = 2.05 dvs. H 0 forkastes siden vi har observert f = Vi bruker her Tabell 9A, i kolonnen med 24 og linjen med 21. Husk at numerator betyr teller, og denominator betyr nevner Metode med p-verdi: p-verdi = P(f > 2.25) når f er F-fordelt med 24 og 21 frihetsgrader. Vi kan ikke finne denne i tabellene, men bruk av 9A gir at P(f > 2.25) < 0.05 mens 9B gir at P(f > 2.25) > 0.025, dvs. p-verdi er mellom og 0.05.

40 Anta at vi isteden skal teste H 0 : σ2 1 σ 2 2 Dette er det samme som H 0 : σ2 2 σ 2 1 = 1 mot H a : σ2 1 σ 2 2 = 1 mot H a : σ2 2 σ 2 1 < 1 > 1 dvs. vi kan ganske enkelt bytte om rollene til de to utvalgene (og populasjonene). Bruker da testobservatoren f = s2 2 s 2 1 som hvis H 0 gjelder er F -fordelt med df 1 = n 2 1 og df 2 = n 1 1 frihetsgrader. (Merk at frihetsgradene df 1 alltid gjelder telleren, mens df 2 gjelder nevneren.)

41 Tosidig test om likhet av varianser Anta at vi skal teste H 0 : σ2 1 σ 2 2 = 1 mot H a : σ2 1 σ med signifikansnivå α. Med testobservatoren f = s2 1 skal vi s2 2 forkaste H 0 både hvis den blir for liten (under 1) eller stor (større enn 1). Siden våre tabeller bare gjelder store verdier av f (høyre hale), foreslår boka følgende metode i læreboka: 1. Beregn s 2 1 og s Beregn f som forholdet mellom disse, med den største i telleren (slik at vi garantert får f > 1) 3. Klassisk metode: Forkast H 0 hvis f > F(df 1, df 2, α/2), hvor df 1 og df 2 er frihetsgrader til henholdsvis telleren og nevneren. 4. Metode med p-verdi: p-verdi er 2 P(f > f ) der f er F-fordelt med df 1 og df 2 frihetsgrader

42 42 Hands-on: oppgave Do students who register for early morning classes typically do better than those who sign up for later day classes? Det tas et tilfeldig utvalg av størrelse n 1 = 14 fra populasjonen av studenter som følger morgenforelesninger og et tilfeldig utvalg av størrelse n 2 = 12 fra studentene som følger ettermiddagsforelesningene. Morgen: Ettermiddag: Dataene skal brukes til å teste om det er en signifikant forskjell i variabilitet (standardavvik: σ 1 og σ 2 ) og gjennomsnitt (µ 1 og µ 2 ) i de to populasjonene. Oppgitt: n 1 = 14, n 2 = 12, s 1 = 14.10, s 2 = Bruk nivå α = 0.05.

43 43 Oppsummering: Testing av varianser og standardavvik i normalfordelte populasjoner Ett utvalg med populasjonsstandardavvik σ (kap. 9.3): Tester hypoteser av formen H 0 : σ = σ 0 mot H a : σ σ 0 (evt. > eller <) for en gitt verdi av σ 0. Bruker testobservatoren χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 som er χ 2 -fordelt med df=n-1 frihetsgrader når H 0 gjelder. Kritiske verdier finnes i Tabell 8.

44 To utvalg med populasjonsstandardavvik σ 1 og σ 2 (kap. 10.5) Tester hypoteser av formen H 0 : σ2 1 σ2 2 (evt. > eller <) Bruker testobservatoren f = s2 1 s 2 2 = 1 mot H a : σ2 1 σ som er F-fordelt med df 1 = n 1 1 og df 2 = n 2 1 frihetsgrader når H 0 gjelder. Kritiske verdier finnes i Tabell 9.

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

1 Section 7-2: Estimere populasjonsandelen. 2 Section 7-4: Estimere µ når σ er ukjent

1 Section 7-2: Estimere populasjonsandelen. 2 Section 7-4: Estimere µ når σ er ukjent 1 Section 7-2: Estimere populasjonsandelen 2 Section 7-4: Estimere µ når σ er ukjent Kapittel 7 Nå begynner vi med statistisk inferens! Bruke stikkprøven til å 1 Estimere verdien til en parameter i populasjonen.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

1 8-1: Oversikt. 2 8-2: Grunnleggende hypotesetesting. 3 Section 8-3: Å teste påstander om andeler. 4 Section 8-5: Teste en påstand om gjennomsnittet

1 8-1: Oversikt. 2 8-2: Grunnleggende hypotesetesting. 3 Section 8-3: Å teste påstander om andeler. 4 Section 8-5: Teste en påstand om gjennomsnittet 1 8-1: Oversikt 2 8-2: Grunnleggende hypotesetesting 3 Section 8-3: Å teste påstander om andeler 4 Section 8-5: Teste en påstand om gjennomsnittet Definisjoner Hypotese En hypotese er en påstand om noe

Detaljer

Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr: Eksamensdato:

Detaljer

7.2 Sammenligning av to forventinger

7.2 Sammenligning av to forventinger 7.2 Sammenligning av to forventinger To-utvalgs z-observator To-utvalgs t-prosedyrer To-utvalgs t-tester To-utvalgs t-konfidensintervall Robusthet To-utvalgs t-prosedyrerår variansene er like Sammenlikning

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk innlevering 3.

Løsningsforslag til obligatorisk innlevering 3. svar3.nb 1 Løsningsforslag til obligatorisk innlevering 3. Oppgave 1 * Vi skal sammenlikne to sensoere A og B. Begge har rettet den samme oppgaven. Hvis populasjonen er eksamensoppgavene, har vi altså

Detaljer

Løsningsforslag Til Statlab 5

Løsningsforslag Til Statlab 5 Løsningsforslag Til Statlab 5 Jimmy Paul September 6, 007 Oppgave 8.1 Vi skal se på ukentlige forbruk av søtsaker blant barn i et visst område. En pilotstudie gir at standardavviket til det ukentige forbruket

Detaljer

Analyse av kontinuerlige data. Intro til hypotesetesting. 21. april 2005. Seksjon for medisinsk statistikk, UIO. Tron Anders Moger

Analyse av kontinuerlige data. Intro til hypotesetesting. 21. april 2005. Seksjon for medisinsk statistikk, UIO. Tron Anders Moger Intro til hypotesetesting Analyse av kontinuerlige data 21. april 2005 Tron Anders Moger Seksjon for medisinsk statistikk, UIO 1 Repetisjon fra i går: Normalfordelingen Variasjon i målinger kan ofte beskrives

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016. Utsatt individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Mandag 24. august 2015 kl. 10.00-12.

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016. Utsatt individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Mandag 24. august 2015 kl. 10.00-12. MASTR I IDRTTSVITNSKAP 2014/2016 Utsatt individuell skriftlig eksamen i STA 400- Statistikk Mandag 24. august 2015 kl. 10.00-12.00 Hjelpemidler: kalkulator ksamensoppgaven består av 10 sider inkludert

Detaljer

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 97589418 EKSAMEN ST00 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Torsdag

Detaljer

Krysstabellanalyse (forts.) SOS1120 Kvantitativ metode. 4. Statistisk generalisering. Forelesningsnotater 9. forelesning høsten 2005.

Krysstabellanalyse (forts.) SOS1120 Kvantitativ metode. 4. Statistisk generalisering. Forelesningsnotater 9. forelesning høsten 2005. SOS112 Kvantitativ metode Krysstabellanalyse (forts.) Forelesningsnotater 9. forelesning høsten 25 4. Statistisk generalisering Per Arne Tufte Eksempel: Hypoteser Eksempel: observerte frekvenser (O) Hvordan

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 25. NOVEMBER 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Inferens om forskjell i forventning ved å bruke to avhengige utvalg (10.3) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 0: Inferen om to populajoner Situajon: Det er to populajoner om vi ønker å ammenligne. Vi trekker da et utvalg fra hver populajon. Vi kan ha avhengige eller uavhengige utvalg. ST00 Statitikk for amfunnvitere

Detaljer

Supplement til power-point presentasjonen i medisinsk statistikk, forelesning 7 januar 2013. Skrevet av Stian Lydersen 16 januar 2013

Supplement til power-point presentasjonen i medisinsk statistikk, forelesning 7 januar 2013. Skrevet av Stian Lydersen 16 januar 2013 1 Supplement til power-point presentasjonen i medisinsk statistikk, forelesning 7 januar 013. Skrevet av Stian Lydersen 16 januar 013 Vi antar at vårt utvalg er et tilfeldig og representativt utvalg for

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 97589418 EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Tirsdag

Detaljer

1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver. 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver

1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver. 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver 1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver 3 Oppvarming til kap 10: Rette linjer Sammenligne to populasjoner Data fra to

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen Kapittel 12: Variansanalyse (ANOVA)

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen Kapittel 12: Variansanalyse (ANOVA) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen Kapittel 12: Variansanalyse (ANOVA) Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Bo Lindqvist, ST0202 2 Skittles (oppgave

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

Page 1 EN DAG PÅ HELSESTASJONEN. Lises klassevenninnner. Formelen: Du har en hypotese om vanlig høyde

Page 1 EN DAG PÅ HELSESTASJONEN. Lises klassevenninnner. Formelen: Du har en hypotese om vanlig høyde 1 E DAG PÅ HELSESTASJOE Lises klassevenninnner Lise er veldig liten Hva gjør at du sier at hun er liten? Du har en hypotese om vanlig høyde Du har en hypotese om vanlig høyde Du sammenligner Lises høyde

Detaljer

2. Hva er en sampelfordeling? Nevn tre eksempler på sampelfordelinger.

2. Hva er en sampelfordeling? Nevn tre eksempler på sampelfordelinger. H12 - Semesteroppgave i statistikk - sensurveiledning Del 1 - teori 1. Gjør rede for resonnementet bak ANOVA. Enveis ANOVA tester om det er forskjeller mellom gjennomsnittene i tre eller flere populasjoner.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-

Detaljer

Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik

Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik 7.1: Inferens for forventningen i en populasjon 7.2: Inferens for å sammenligne to forventninger 7.1 Inferens for forventningen i en populasjon

Detaljer

Kapittel 10: Hypotesetesting

Kapittel 10: Hypotesetesting Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9-10 (oversikt): Inferens om én og to populasjoner

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9-10 (oversikt): Inferens om én og to populasjoner ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9-10 (oversikt): Inferens om én og to populasjoner Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens med EN populasjon 3 Oppgave: H2002 # 3 I følge Nielsen

Detaljer

Regler i statistikk STAT 100

Regler i statistikk STAT 100 TORIL FJELDAAS RYGG - VÅREN 2010 Regler i statistikk STAT 100 Innhold side Sannsynlighetsregning 3 - Uttrykk 3 - Betinget sannsynlighet 4 - Regler for sannsynlighet 4 - Bayes teorem 4 - Uavhengige begivenheter

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4255 ANVENDT STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 BOKMÅL EKSAMEN I FAG TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Onsdag

Detaljer

6.2 Signifikanstester

6.2 Signifikanstester 6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Fredag 13. mars 2015 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Fredag 13. mars 2015 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016 Individuell skriftlig eksamen i STA 400- Statistikk Fredag 13. mars 2015 kl. 10.00-12.00 Hjelpemidler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 10 sider inkludert forsiden

Detaljer

Mer om hypotesetesting

Mer om hypotesetesting Mer om hypotesetesting I underkapittel 36 i læreboka gir vi en kort innføring i tankegangen ved hypotesetesting Vi gir her en grundigere framstilling av temaet Problemstilling Vi forklarer problemstillingen

Detaljer

Oppgaver til Studentveiledning 3 MET 3431 Statistikk

Oppgaver til Studentveiledning 3 MET 3431 Statistikk Oppgaver til Studentveiledning 3 MET 3431 Statistikk 24. april 2012 kl 17.15-20.15 i B2 Handelshøyskolen BI 2 Oppgaver 1. Eksamensoppgaver: Eksamen 01/06/2011: Oppgave 1-7. Eksamensoppgaven fra 06/2011

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Tirsdag 2. juni 2009. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke, tlf. 99041673 EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Tirsdag

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

Oppgave 1. og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): = ( 0.12, 3.32).

Oppgave 1. og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): = ( 0.12, 3.32). Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. november 2009 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

Kap. 12: Variansanalyse

Kap. 12: Variansanalyse 2 Kap. 12: Variansanalyse Situasjon: c populasjoner, hver med sitt populasjonsgjennomsnitt μ i. Vi tester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag H 0 : Alle populasjonene

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

Sammenlikninger av gjennomsnitt. SOS1120 Kvantitativ metode. Kan besvare to spørsmål: Sammenlikning av to gjennomsnitt

Sammenlikninger av gjennomsnitt. SOS1120 Kvantitativ metode. Kan besvare to spørsmål: Sammenlikning av to gjennomsnitt SOS1120 Kvantitativ metode Forelesningsnotater 10. forelesning høsten 2005 Per Arne Tufte Sammenlikninger av gjennomsnitt Sammenlikner gjennomsnittet på avhengig variabel for ulike grupper av enheter Kan

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Bivariate analyser. Analyse av sammenhengen mellom to variabler. H 0 : Ingen sammenheng H 1 : Sammenheng

Bivariate analyser. Analyse av sammenhengen mellom to variabler. H 0 : Ingen sammenheng H 1 : Sammenheng Bivariate analyser Analyse av sammenhengen mellom to variabler H : Ingen sammenheng H 1 : Sammenheng Hvis den ene variabelen er kategorisk er en slik analyse det samme som å sammenligne grupper. Ulike

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag

Detaljer

OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL Regneoppgaver til kapittel 7. X 1,i, X 2 = 1 n 2. D = X 1 X 2. På onsdagsforelesningen påstod jeg at da må

OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL Regneoppgaver til kapittel 7. X 1,i, X 2 = 1 n 2. D = X 1 X 2. På onsdagsforelesningen påstod jeg at da må OPPGAVEHEFTE I STK000 TIL KAPITTEL 7 Regneoppgaver til kapittel 7 Oppgave Anta at man har resultatet av et randomisert forsøk med to grupper, og observerer fra gruppe, mens man observerer X,, X,2,, X,n

Detaljer

> 6 7 ) = 1 Φ( 1) = 1 0.1587 = 0.8413 P (X < 7 X < 8) P (X < 8) < 7 6 1 ) < 8 6 1 ) = Φ(2) = 0.8413

> 6 7 ) = 1 Φ( 1) = 1 0.1587 = 0.8413 P (X < 7 X < 8) P (X < 8) < 7 6 1 ) < 8 6 1 ) = Φ(2) = 0.8413 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Oppgave Sykkelruter a) P (Y > 6) P (Y > 6) P ( Y 7 > 6 7 ) Φ( ) 0.587 0.843 b) Hypoteser: H 0 : µ µ 2 H : µ < µ 2

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Wilcoxon Signed-Rank Test I uke, bruker vi Z test eller t-test for hypotesen H:, og begge tester er basert på forutsetningen om normalfordeling

Detaljer

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe a) Finn aritmetisk gjennomsnitt, median, modus og standardavvik for gruppe 2.

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe a) Finn aritmetisk gjennomsnitt, median, modus og standardavvik for gruppe 2. Sensurveiledning Ped 3001 h12 Oppgave 1 Er det sammenheng mellom støtte fra venner og selvaktelse hos ungdom? Dette spørsmålet ønsket en forsker å undersøke. Han samlet data på 9. klassingers opplevde

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1. La x være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2013/2015 MASTER I IDRETTSFYSIOTERAPI 2013/2015. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2013/2015 MASTER I IDRETTSFYSIOTERAPI 2013/2015. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk MASTER I IDRETTSVITENSKAP 013/015 MASTER I IDRETTSFYSIOTERAPI 013/015 Individuell skriftlig eksamen i STA 400- Statistikk Mandag 10. mars 014 kl. 10.00-1.00 Hjelpemidler: kalkulator Eksamensoppgaven består

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 27. FEBRUAR 2004 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 5

Detaljer

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4 ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.

Detaljer

Oppgaver til Studentveiledning I MET 3431 Statistikk

Oppgaver til Studentveiledning I MET 3431 Statistikk Oppgaver til Studentveiledning I MET 3431 Statistikk 20. mars 2012 kl 17.15-20.15 i B2 Handelshøyskolen BI 2 Oppgaver 1. Konfidensintervaller Vi ser på inntekten til en tilfeldig valgt person (i tusen

Detaljer

KATEGORISKE DATA- TABELLANALYSE ANALYSE AV. Tron Anders Moger. 3. Mai 2005

KATEGORISKE DATA- TABELLANALYSE ANALYSE AV. Tron Anders Moger. 3. Mai 2005 ANALYSE AV KATEGORISKE DATA- TABELLANALYSE 3. Mai 2005 Tron Anders Moger Forrige gang: Snakket om kontinuerlige data, dvs data som måles på en kontinuerlig skala Hypotesetesting med t-tester evt. ikkeparametriske

Detaljer

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt.

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt. EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) OPPGAVESETTET

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Innledning. Noen relevante statistiske konsepter. Utvalg og populasjon, estimat og parameter

Innledning. Noen relevante statistiske konsepter. Utvalg og populasjon, estimat og parameter Innhold Innledning... 3 Noen relevante statistiske konsepter... 3 Utvalg og populasjon, estimat og parameter... 3 Gjennomsnittsverdier med tilhørende konfidensintervaller Studieprogrammene fra pilotundersøkelsen...

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) der

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) der MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) Oppgave 13.1 Modell: Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ 2 ) Boka opererer her med spesialtilfellet der man har like

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling 1 Section 6-2: Standard normalfordelingen 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen 3 Section 6-4: Observator fordeling 4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet Oversikt Kapittel 6 Kontinuerlige tilfeldige

Detaljer

Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk

Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2013/2015 MASTER I IDRETTSFYSIOTERAPI 2013/2015. Utsatt individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2013/2015 MASTER I IDRETTSFYSIOTERAPI 2013/2015. Utsatt individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk MSTR I IRTTSVITNSKP 013/015 MSTR I IRTTSFYSIOTRPI 013/015 Utsatt individuell skriftlig eksamen i ST 400- Statistikk Mandag 5. august 014 kl. 10.00-1.00 Hjelpemidler: kalkulator ksamensoppgaven består av

Detaljer

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6) TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer

Detaljer

Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik

Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik 7.1: Inferens for forventningen i en populasjon 7.: Inferens for å sammenligne to forventninger 7.1 Inferens for forventningen i en populasjon

Detaljer

Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio)

Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Beskrive fordelinger (sentraltendens, variasjon og form): Observasjon y i Sentraltendens

Detaljer

Binomisk sannsynlighetsfunksjon

Binomisk sannsynlighetsfunksjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik

Detaljer

Verdens statistikk-dag.

Verdens statistikk-dag. Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

Eksamensoppgave i ST3001

Eksamensoppgave i ST3001 Det medisinske fakultet Institutt for kreftforskning og molekylær medisin Eksamensoppgave i ST3001 fredag 25. mai 2012, kl. 9.00 13:00 Antall studiepoeng: 7.5 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator og alle

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

(b) På slutten av dagen legger sekretæren inn all innsamlet informasjon i en ny JMP datafil. Hvor mange rader og søyler(kolonner) har datafila?

(b) På slutten av dagen legger sekretæren inn all innsamlet informasjon i en ny JMP datafil. Hvor mange rader og søyler(kolonner) har datafila? Institutt for samfunnsøkonomi Skriftlig eksamen i: MET 34311 Statistikk Eksamensdato: 01.06.11, kl. 09.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle + BI-definert eksamenskalkulator : TEXAS INTRUMENTS BA II Plus

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2012

TMA4240 Statistikk Høst 2012 TMA424 Statistikk Høst 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving blokk II Oppgave 1 Oppgave 11.3 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.19 fra læreboka. Oppgave

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK 1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Mandag 4. desember 2006. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er

Detaljer