Fasit for tilleggsoppgaver
|
|
- Hege Paulsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x n 1 i x ), der x er gjennomsnittsverdi av alle x i ene. Vis at variansen også kan beregnes på følgende måte 1 Var(x i ) = [ (x n 1 i ) n(x ) ] 1 n i=1. n Svar: i=1 (x i x ) = (x i ) x x i + (x ) = (x i ) n(x ) + n(x ) = (x i ) n(x ). n i=1 Uke 7 Oppgave: Vis at ( n k ) = ( n n k ) ; Svar: følger umiddelbart fra definisjonen av ( n k ). Oppgave: vis også at ( n k ) = (n 1 k ) + (n 1 k 1 ). Svar: se Imai s. 86. Uke 10 Oppgave: Et prosjekt består av 4 uavhengige delprosjekter, som alle har normalfordelte varigheter. Prosjektene er nummerert fra 1 til 4, og utføres etter hverandre i denne rekkefølgen. Delprosjektene har forventningsverdi hhv. 4, 5, 7 og 9 dager og standardavvik 1 dag. La Y være prosjektets total varighet. Hvilken sannsynlighetsfordeling har Y? Finn E(Y) og Var (Y). Finn P(Y 0). Svar: siden alle delprosjektene har normalfordelte varigheter, er også Y normalfordelt. Den har forventning = 5 dager, varians = 4 dager (p.g.a. uavhengighet) og standardavvik lik dager. Dermed blir P(Y 0) = P( Y 5 1 ) = 1 (0,5 + 0,4938) = 0, ) = P(Z 1 ) = P(Z 1 ) = 1 P(Z
2 Uke 1 Oppgave 1.1 En stokastisk variabel Y er binomisk fordelt, Y ~ bin(90, 0.4). Finn en tilnærmet verdi for P(Y 39) ved å bruke Normaltilnærmingen uten og med heltallskorreksjon. Den eksakte verdien er lik Sammenlign med dine resultater og kommenter. Svar: Uten heltallskorreksjon: Y har forventning 90*0,4 = 37,8 og standardavvik lik (90*0,4*(1-0,4) = 4,68. Definer en normalfordelt stokastisk variabel X som har samme forventning og samme standardavvik som Y. Nå blir P(Y 39) P(X 39) = P(Z 39 37,8 ) = P(Z 0,56) = 0,5 + 0,106 = 0,606. 4,68 En god del lavere enn den sanne verdien (0,6435). Med heltallskorreksjon («continuity correction»; se Yakir 8.3.): P(Y 39) = P(X 39 1 ) = P(Z ,8 ) = P(Z 0,363) = 0,5 + 0,1406 = 0,6406. Bra tilnærming. 4,68 Generelt: når Y er en diskret s.v. med utfallsrom {0,1,,3, } og X er en kontinuerlig s.v. med samme forventning og varians som X, kan vi skrive P(Y k) P(X k + 1 ) og P(Y < k) P(X k 1 ). Oppgave 1. Et vareparti ankommer i to containere med hhv. 300 og 700 enheter i hver. Vi undersøker 30 enheter i den første containeren og finner at X 1 er defekte. Vi sjekker 70 enheter i den andre og finner at X er defekte. Hvilken av de følgende estimatorene for defektandelen p er best? p 1 = X 1+X 100, p = 3X 1+7X. 580 Svar: siden E(X 1) = 30p og E(X ) = 70p, finner vi at E(p 1) = p. 30p + 70p 100 = p og at E(p ) = 3.30p p Dessuten er Var(X 1) = 30p(1-p) og Var(X ) = 70p(1-p). Dermed blir Var(p 1) = 10 4 (Var(X 1 + X )) = 10 4 (30p(1 p) + 70p(1 p)), fordi X 1 og X kan betraktes som uavhengige. M.a.o. Var(p 1) = 0,01p(1 p). På samme måte Var(p ) = (Var(3X 1 + 7X )/580 ) = (9.30p(1 p) p(1 p)/580 ) = 0,011p(1 p). Begge estimatorene er forventningsrette, men p 1 har (marginalt) lavere varians, slik at den er til å foretrekke. 580 =
3 Oppgave 1.3. I et løp deltar det N løpere med startnummer merket fra 1 til og med N. Røde Kors må behandle seks tilfeldige personer. De har startnummer 67, 3, 15, 83, 59 og 41. Finn en estimator for N. Tips: La X n være det største av n tilfeldig valgte nummer fra 1 t.o.m. N. Det kan vises at E(X n ) = n(n+1) n+1. Svar: estimatoren N for N må være en funksjon av X n. Den enkleste funksjonen er en lineær funksjon. Anta at N = a + bx n, og finn verdiene til a og b. Et naturlig krav er at estimatoren er forventningsrett for N. Det betyr at E(N ) = E(a + bx n ) = a + b n(n+1) = N. Med andre ord n+1 a(n + 1) + bn(n + 1) = N(n + 1), som også kan skrives som (bn (n + 1))N = a(n + 1) bn. Denne likheten må gjelde for alle verdier av N. (NB N X n) Det kan bare være riktig når bn (n+1) =0, og samtidig a(n+1) bn = 0. Løsningen er b = (n+1)/n, og a = -1. Dermed finner vi at en forventningsrett estimator for N er N = n+1 X n n 1. Vårt estimat blir (7/6).83 1 = 95,83 = 96 løpere. Oppgave 1.4 Vi har n tilfeldig trukne observasjoner X 1 X n fra en populasjon med ukjent varians σ. Vis at estimatoren S = 1 n (X n 1 i=1 i X ) er forventningsrett for σ. Svar: først trenger vi tre andre resultater, nemlig (i) i=1 (x i x ) = (x i ) n(x ) ; se tilleggsoppgave uke 5; (ii) for enhver stokastisk variabel T med forventning μ T og standardavvik σ T gjelder det at E(T ) = σ T + μ T ; se også Imai (6.35); (iii) Var(X ) = σ /n; Imai (6.43). E(S ) = E((X i) ) ne(x ) n 1 = n(σ + μ ) n(σ /n + μ ) n 1 n = (σ X + μ X ) n (σ X + μ X ) n 1 = σ. Bruk (i) ved første likhetstegn, (ii) ved andre likhetstegn, og (iii) ved tredje likhetstegn.
4 Uke 14 Oppgave 14.1 Vi har seks tilfeldig trukne observasjoner fra en underliggende normalfordeling med ukjent forventning μ og ukjent varians σ. Finn et 95% konfidensintervall for μ basert på observasjonene 31, 3, 30, 31, 9, 30. Tips: Variansen σ er ukjent, og må estimeres. Bruk derfor formel for konfidensintervall basert på Student t fordeling («T-intervall»); se Yakir avsnitt , Imai avsnitt Svar: estimatene for μ og σ er hhv 30,5 og 1,049. Et 95% KI for μ blir da 30,5 +/-,571*1,049/( 6), eller [9,4, 31,6], der,571 er t 0,05 med 5 frihetsgrader. Oppgave 14. Dataene i oppgave 14.1 betraktes som en pilotstudie for å estimere standardavviket til normalfordelingen. Nå skal du planlegge en større undersøkelse hvor det kreves at konfidensintervallet for μ skal ha lengde mindre enn L = 0.. Hvor mange observasjoner trenger du? Tips: nå kan du anta at variansen er kjent, og at den er lik estimatet fra oppgave Dermed kan du konstruere et Z-intervall (Yakir 11..1, Imai 7.1.3). Svar: et 95% KI (Z-intervall) for μ blir nå 30,5 +/- 1,96*1,049/( n) 0,0, der 1,96 er z 0,05. Dermed blir n 4,7 eller n minst 43 observasjoner. Oppgave 14.3 For en aksje har man observert følgende årlige avkastninger År Avkastning 7.3 % 8. % 0.3 % -1.5 % 3.6 % 5.5 % 7.8 % 6. % 5. % Anta normalfordelt avkastning. Beregn et 95% konfidensintervall for forventningsverdien μ og for standardavviket σ. Svar: estimatene for μ og σ er hhv 4,733% og 3,368%. Et 95% KI for μ (T-intervall) blir (t 0,05=,306 for 8 frihetsgrader) 4,733 +/-,306*3,368/ 9 = [,144, 7,3]. En estimator for σ er S = 1 n (X n 1 i=1 i X ), se Yakir Den er forventningsrett (oppgave 1.4). Når målingene er normalfordelte, har (n-1)s /σ en kji-kvadrat-fordeling med n-1 frihetsgrader. P(Χ 0,975 (n-1)s /σ Χ 0,05 ), der Χ 0,05 og Χ 0,975 er hhv,5% og 97,5% kvantilene i kji-kvadratfordelingen med n-1 frihetsgrader. Med 8 frihetsgrader blir Χ 0,975 =,180 og Χ 0,05 = 17,535. Et 95% KI for σ er [5,176, 41,633]. Et 95% KI for σ er [ 5,176, 41,633] = [,75, 6,45].
5 Uke Vi bruker t-fordelingen når vi konstruerer et konfidensintervall for forventningen til en normalfordeling med ukjent varians σ. Anta en konfidensgrad lik 95%. Bruk tabellene for normalfordelingen og t-fordelingen på semestersiden og vis at vi trenger flere enn 30 observasjoner for å kunne se bort fra t-fordelingen, og bruke normalfordelingen i stedet. Svar: sjekk i t-tabellen, kolonne for konfidensgrad = 95%, at t 0,05 nærmer seg 1,96 = z 0,05 når antall frihetsgrader øker, men at den er,04 selv med 30 frihetsgrader (= 31 observasjoner). 15. Bruk tallene fra tilleggsoppgave Test nullhypotesen at avkastningen er 6%. Bruk et signifikansnivå lik 5%. Svar: Her er det snakk om en to-sidig T-test. H 0: μ = 6% vs H 1: μ 6%. Fra oppg 14.3: utvalgets gjennomsnitt er 4,733%, standardavvik er 3,368%, n = 9. Testobservator T = (4,733-6)/(3,368/ 9) = -1,18. T = 1,18 < t 0,05 for 8 frihetsgrader, som er,306. Kan ikke forkaste H 0. Dataene gir ikke tilstrekkelig grunn til å påstå at forventet avkastning ikke er 6%. Kritiske verdier k 1 og k gir samme konklusjon: k 1, = μ 0 +/- t 0,05(8)*S/ n = 6 +/-,306*3,368/3. k 1 = 3,41, k =8,59. Observert verdi (4,733%) ligger innenfor intervallet [k 1, k ], slik at vi ikke kan forkaste H Bruk tallene fra tilleggsoppgave Test nullhypotesen at μ 30, med et signifikansnivå lik 5%. Svar: En-sidig T-test. H 0: μ = 30 vs H 1: μ > 30. Fra oppg 14.1: utvalgets gjennomsnitt er 30,5, standardavvik er 1,049, n = 6. Testobservator T = (30,5 30)/(1,049/ 6) = 1,168. Denne verdien er mindre enn t 0,05(5) =,015, slik at vi ikke kan forkaste H 0. Vi finner samme konklusjon når vi bruker kritisk verdi k, eller testens p-verdi. k = 30 +,015.1,049/ 6 = 30,863. Observert gjennomsnitt er mindre enn k ikke forkast H 0. Testens p-verdi kan beregnes fra t p(n-1) = ((x μ 0 )/(s/ n) = 1,168. Tabellen over t-fordeling viser at p må ligge mellom 10 og 5%, som er mye mer enn signifikansnivået (5%). Ikke forkast H 0. Uke En undersøkelse blant 15 leger viser at 3 av disse var over 65 år. La p være andelen blant alle leger i Norge som er over 65 år. Gir undersøkelsen grunnlag for å påstå at p > 10 %? Velg selv signifikansnivå. Svar: en-sidig test for en ukjent andel p. H 0: p p 0 = 10%, H 1: p > 10%. Antall leger over 65 år i utvalget er s.v. X. X ~ Bin(n,p), E(X) = np, Var(X) = np(1-p). X er tilnærmet normalfordelt med samme forventning og varians. Vi forkaster H 0 for stor nok observert verdi av X. Velger signifikansnivå α lik 5%. Kritisk verdi k: P(X>k H 0 er sann) = 0,05 P(Z > (k-np 0)/ np 0(1- p 0)) = P(Z > (k-15,)/3,699) slik at k = 15, + 1,645.3,699 = 1,85. Forkast H 0. Alternativt kan vi bruke en testobservator (se Yakir 1.4) Z = (X-np 0)/( np 0(1- p 0)) som har observert verdi lik (3-15,)/3,699 =,109, som er mye større enn z α=1,645. Også her er konklusjonen: forkast H 0. Testens p-verdi finner vi fra z p=,109 slik at p blir
6 0,0174 = 1,7%. NB: X er diskret; med heltallskorreksjon finner vi kritisk verdi k fra P(X>k+0,5 H 0)= α slik at k = 0,785. Samme konklusjon. 16. Et bestemt parti har lenge hatt en oppslutning fra 15% av velgerne. En ny meningsmåling blant 400 personer viser at 7 av disse er tilhengere for partiet. Gir meningsmålingen grunnlag for å påstå at oppslutningen har endret seg? Bruk signifikansnivå lik 5%. Beregn også testens p-verdi. Svar: Antall tilhengere i utvalget X er s.v., binomisk fordelt med n=400 og ukjent p. E(X) = 400p, Var(X) = 400p(1-p). To-sidig hypotesetest: H 0 : p=0,15, H 1: p 0,15. Forkast H 0 når observert X er mye større eller mye mindre enn 400.0,15 = 60. P(X<k 1 eller X>k H 0 er sann) = α, slik at P(X>k H 0 er sann) = α/. Vi finner k = np 0 + z α/ (np 0(1-p 0) = 74. x = 7, ikke forkast H 0. z p/ = (7-60)/7,141 = 1,68. p/=0,0465 og p = 9,3% Finn styrkefunksjonen γ(μ) («power») til testen i oppgave 15.3 for ulike verdier av μ. Du kan anta at σ = 1,049 er kjent slik at det nå er snakk om en Z-test, og at kritisk verdi k = 30,704 (sjekk selv). Svar: γ(μ) er P(forkast H 0) for ulike verdier av μ, som er P(X > k) for ulike verdier av μ. M.a.o. vi må beregne 1-P[Z<(30,704-μ)/(1,049/ 6)]. For noen verdier av μ blir γ(μ) som følger: μ 8 8,5 9 9, , ,5 3 (30,704-μ)/ 6,318 5,149 3,981,813 1,645 0,477-0,69-1,86-3,03 (1,049/ 6) γ(μ) ,00 0,05 0,317 0,755 0,969 0, Vi bruker utvalgets gjennomsnitt og gjennomfører en en-sidig Z-test for en ukjent forventning μ i en normalfordeling med kjent varians. Nullhypotesen er at μ > μ 0, mens den alternative hypotesen er μ μ 0. Signifikansnivået er α. Forklar hvorfor styrkefunksjonen γ(μ) i punktet μ = μ 0 er lik α. Svar: sett in μ = μ 0 i formel for γ(μ). Uke Vi har testet en ny blodtrykksmedisin. Ti tilfeldig valgte pasienter fikk den nye medisinen, ni andre fikk placebopiller. Vi måler reduksjon i blodtrykket etter en måneds bruk av den nye medisinen eller placebopillene. Gruppe Antall Gjennomsnittlig reduksjon Varians i reduksjon Medisin n 1 = 10 x = 4.7 S 1 = Placebo n = 9 y = 0.8 S =.89 Test om medisinen virker, m.a.o. om forventet reduksjon i behandlingsgruppen er signifikant større enn forventet reduksjon i plasebogruppen. Bruk et signifikansnivå på 5%. Anta at de to fordelingene har samme varians. Siden vi har så få observasjoner må vi bruke følgende størrelse som testobservator:
7 T = x y S P 1 n1 + 1 n, der S P = (n 1 1)S 1 +(n 1)S. n 1 +n S P kalles for den interpolerte variansen. Under nullhypotesen har T en Student t-fordeling med n 1+n - frihetsgrader. Svar: en-sidig test for differansen μ 1 μ. H 0: μ 1 μ 0 mot H 1: μ 1 μ > 0. Forkast H 0 for stor nok observert verdi av T. S P = 3,339. T =,54, som er større enn t 0,05(17) = 1,74. Forkast H Hva blir testens konklusjon dersom du velger et signifikansnivå lik 1%? Svar: t 0,01(17) =,567. Nå kan vi ikke lenger forkaste H 0, men dette er på grensen Besvar oppgavene 17.1 og 17. på nytt, nå under forutsetning av at de to fordelingene har ulik varians (se Yakir s. 9, og Edwins forelesningsnotater «Comparing two samples» s. 0). Nå kan du bruke følgende testobservator T = x y S 1 + S n 1 n som, under H 0, er tilnærmet Student t-fordelt med k frihetsgrader. k finnes som k = (v 1 +v ) v 1 n1 1 + v, der v 1 = S 1 n 1 og v = S n. n 1 Svar: Nevneren i T-brøken blir nå (18,49/10 +,89/9) = 1,473, slik at T =,65. Formelen for k gir k = 11,991, slik at vi bruker 1 frihetsgrader. t(1) er 1,78 og,68 for α hhv lik 5% og 1%. Forkast H 0 på 5% nivå, men ikke på 1% nivå X og Y er to stokastiske variabler, a og b er to konstanter ulik null. I tillegg har vi to konstanter p og q. Vis at Cov(aX + p, by + q) = abcov(x,y). Svar: bruk definisjonen for Cov(V,W) for to s.v. V og W (Imai 7.3.5) og sett inn V = ax + p, W = by + q Skriv korrelasjonen mellom X og Y som ρ. Hva blir korrelasjonen mellom (ax + p) og (by + q)? Svar: bruk definisjonen Corr(V,W) = Cov(V,W)/[SD(V).SD(W)] for å vise at Corr(aX + p, by + q) = ρ.
TMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerOppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
Detaljeri x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 3. april Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1
ECON 130 EKSAMEN 005 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom , Oppgave 1 I denne oppgaven kan du anta at
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)
ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;
DetaljerHypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk
DetaljerSFB LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 2018
SFB107111 - LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 018 Eksamen høsten 018 Oppgave 1 Anta at 70% av studentene spiller fotball og at 0% ikke spiller fotball. Anta at av de som spiller fotball så er det 40% som spiller
DetaljerLøsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
DetaljerEcon 2130 uke 16 (HG)
Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerFerdig før tiden 4 7 Ferdig til avtalt tid 12 7 Forsinket 1 måned 2 6 Forsinket 2 måneder 4 4 Forsinket 3 måneder 6 2 Forsinket 4 måneder 0 2
Besvar alle oppgavene. Hver deloppgave har lik vekt. Oppgave I En kommune skal bygge ny idrettshall og vurderer to entreprenører, A og B. Begge gir samme pristilbud, men kommunen er bekymret for forsinkelser.
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerA. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25
1 ECON21: ESAEN 215v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i > Grensen til bestått bør ligge på ca
Detaljerbetyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2
ECON30: EKSAMEN 06v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (20)
TMA4240 Statistikk H2010 (20) 10.5: Ett normalfordelt utvalg, kjent varians (repetisjon) 10.4: P-verdi 10.6: Konfidensintervall vs. hypotesetest 10.7: Ett normalfordelt utvalg, ukjent varians Mette Langaas
DetaljerKapittel 3: Studieopplegg
Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
1 ECON213: EKSAMEN 217 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 30. AUGUST 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
DetaljerLøsningsforslag statistikkeksamen desember 2014
Løsningsforslag statistikkeksamen desember 2014 Oppgave 1 a i. To hendelser er disjunke hvis det er intet overlapp mellom hendelsene, altså hvis A B = Ø. Siden vi har en sannsynlighet for å finne A B som
DetaljerÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1
ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P
DetaljerKp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger
andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerInferens i fordelinger
Inferens i fordelinger Modifiserer antagelsen om at standardavviket i populasjonen σ er kjent Mer kompleks systematisk del ( her forventningen i populasjonen). Skal se på en situasjon der populasjonsfordelingen
DetaljerSimulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen
Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen gir testobservatoren t mer spredning enn testobservatoren
DetaljerMerk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.
ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker
DetaljerEKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerDenne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans
Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerLøsning eksamen desember 2016
Løsning eksamen desember 016 Oppgave 1 a) En drone har to uavhengige motorer. Vi innfører hendelsene A: motor 1 svikter B: motor svikter Dronen er avhengig av at begge virker, slik at sannsynligheten for
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne
DetaljerNorske hoppdommere og Janne Ahonen
TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)
DetaljerKapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (22)
TMA4240 Statistikk H2010 (22) 10.11-10.12: Testing av andelser 10.13: Testing av varians i ett N utvalg Mette Langaas Foreleses onsdag 3.november, 2010 2 Laban strakk seg ikke lenger, men smaker den bedre?
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
Detaljerår i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 alder x i 37 38 39 40 41 42 43 44 45 tid y i 45.54 41.38 42.50 38.80 41.26 37.20 38.19 38.05 37.45 i=1 (x i x) 2 = 60, 9
TMA424 Statistikk Vår 214 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II Oppgave 1 Matlabkoden linearreg.m, tilgjengelig fra emnets hjemmeside, utfører
DetaljerUtvalgsfordelinger (Kapittel 5)
Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Observator En observator er en funksjon av data for mange individer, for eksempel Gjennomsnitt Andel Stigningstall i regresjonslinje En observator er en tilfeldig variabel
DetaljerLøsningsforslag eksamen 27. februar 2004
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag eksamen 7 februar 004 Oppgave a) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon)
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
DetaljerIntroduksjon til inferens
Introduksjon til inferens Hittil: Populasjon der verdien til et individ/enhet beskrives med en fordeling. Her inngår vanligvis ukjente parametre, μ, p,... Enkelt tilfeldig utvalg (SRS), observator p =
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerDet anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON 0 EKSAMEN 0 VÅR TALLSVAR Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerVerdens statistikk-dag.
Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator
Detaljerα =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)
TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 1. juni 2010. KLASSE: HIS 08 11. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside)
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
Detaljer