Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

Transkript

1 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr: Eksamensdato: 30. mai 2007 Varighet: kl 09:00-14:00 Fagnummer: Fagnavn: Klasse : Studiepoeng: FO242N Statistikk 2N 8 studiepoeng Faglærer(e): Jørgen Mæhle (telefon ) Hjelpemidler: Godkjent kalkulator, type hp 30S Utdelte formler og tabeller (16 sider) Oppgavesettet består av: 6 oppgaver, og av 5 sider inkludert denne forside Vedlegg: Ved bedømmelse vektlegges alle deloppgaver likt. Merknad: Formler og tabeller leveres inn sammen med besvarelsen

2 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 2 ( av 8) OPPGAVE 1 En bedrift har 24 kvinnelige og 16 mannlige ansatte. Det skal velges en komité med 10 personer ved loddtrekning. a) Hvor mange mulige komiteer kan velges? 40 = b) Beregn sannsynligheten for at komiteen vil bestå av bare kvinner = 0, (0,23 %) c) Beregn sannsynligheten for at komiteen vil bestå av like mange kvinner som menn = 0, (22%) Blant de ansatte er det 2 ektepar hvor begge ektefellene er ansatt i bedriften. d) Beregn sannsynligheten for at komiteen vil inneholde begge ekteparene = 0, (0,23 %) e) Beregn sannsynligheten for at komiteen vil inneholde et av ekteparene, men ikke begge. P(bare et ektepar) = P(begge fra A og en fra B) P(begge fra A og ingen fra B) P(begge fra B og en fra A) P(begge fra B og ingen fra A) alt. = = 0, P(bare et ektepar) = P(A B) - P(A B) = ( P(A) P(B) - P(A B) ) - P(A B) = P(A) P(B) - 2. P(A B) = = 0,

3 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 3 ( av 8) Vi betrakter en større bedrift som har 30 % kvinnelige og 70 % mannlige ansatte som skal stemme på en av kandidatene A og B til styret. Vi vet at 75 % av kvinnene vil stemme på kandidat A, P(A K), mens 40 % av mennene, P(A M), vil stemme på kandidat A. f) Beregn andelen av stemmene som går til kandidat A. Total sannsynlighet: P(A) = P(K). P(A K) P(M). P(A M) = 0,30. 0,75 0,70. 0,40 = 0,0505 (51 %) g) Gi en tolkning av sannsynligheten P(K A) og beregn denne sannsynligheten. P(K A) er sannsynligheten for at en tilfeldig person som har stemt på A er kvinne (andelen kvinner blant dem som har stemt A). P( K) P( A K) 0,30 0,75 Bayes lov: P(K A) = = = 0, (45 %) P( A) 0,505 OPPGAVE 2 Vi betrakter frø med kjent spireevne på 80 %. a) Vi planter 2 slike frø. Beregn sannsynlighetene for at: ingen av frøene spirer, et av frøene spirer og at begge frøene spirer. P(0) = 0,2. 0,2 = 0,04 P(1) = 0,2. 0,8 0,8. 0,2 = 0,32 P(2) = 0,8. 0,8 = 0,64 b) Vi planter 10 slike frø. Bruk binomisk modell og beregn sannsynlighetene for at: alle frøene spirer og at minst 6 av frøene spirer. Binomisk modell n =10 og p = 0,8: n alle spirer: P(X=10) = p ( 1 p) n = 0,8 (1 0,8) = 0, minst 6 spirer: P(X > 6) = P(X > 5) = 1 - P(X < 5) = 0,967 (fra tabell) c) Vi planter 100 slike frø. Bruk normaltilnærming og beregn sannsynligheten for at: minst 90 av frøene spirer. Binomisk modell n =100 og p = 0,8 gir: μ =n. p = 80 σ 2 = n. p. (1-p) = 16 σ = ,5 80 P(X > 90) = P(X > 89) = 1 - P(X < 89) = 1-G 4 = 1- G(2,38) = 1-0,9913 = 0,0087 (0,87 %) Et sykehus mottar i gjennomsnitt 5,4 pasienter med akutt hjerteinfarkt per døgn. d) Vi betrakter en vaktperiode på 8 timer. Bruk poissonfordeling og beregn sannsynlighetene for at ingen med akutt hjerteinfarkt mottas på vakta, og at 3 eller flere med akutt hjerteinfarkt mottas på vakta. Parameter λt = (5,4/24 timer). 8 timer = 1,8 0 0 ( λt) λt 1,8 1,8 P(X=0) = e = e = 0,1653 0! 0! P(X > 3) = P(X > 2) = 1 - P(X < 2) = 0,269 (fra tabell) e) Vi betrakter en periode på 30 døgn. Beregn sannsynligheten for at færre enn 150 med akutt hjerteinfarkt mottas i denne perioden. Parameter λt = (5,4/døgn). 30 døgn = 162 μ = 162 σ 2 = 162 σ = 12, ,5 162 P(X < 150) = P(X < 149) = G = G(-0,98) = 0, ,73

4 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 4 ( av 8) En urne inneholder totalt 160 lodd hvorav 40 av loddene gir gevinst. Ottar kjøper 20 lodd. f) Bestem en sannsynlighetsmodell for antall gevinster som Ottar vil få, og bestem det forventede antall gevinster. Hypergeometrisk modell med N = 160, M = 40 og n =20 Forventet antall gevinster E(X) = n. p = 5 (p = M/N) P(X=) = M N M n g) Hva er sannsynligheten for at Ottar får 2 eller flere gevinster? N n P(X > 2) = 1- P(X=1) - P(X=0) = = 1-0, , = 0,9817 OPPGAVE 3 Forventet antall nye tilfeller (insidens) av en sykdom er gitt til å være 1250 per individer per år. Vi betrakter X lik antall nye tilfeller av sykdommen per år i et samfunn med 720 personer. a) Anta at X er poissonfordelt og sett opp punktfordelingsfunksjonen P(X=). Bestem sannsynligheten for akkurat 10 nye tilfeller av sykdommen i et år. Forventet antall tilfeller λ = (1250/ ). 720 = 9 λ λ 9 9 P(X=) = e = e!! P(X=10) = e = 0, ! Et år registres det i dette samfunnet 15 nye tilfeller av denne sykdommen. b) Bestem sannsynligheten for at 15 eller flere i dette samfunnet skulle få sykdommen A. P(X > 15) = P(X > 14) = 1 - P(X < 14) = 1-0,959 = 0,041 (4,1 %) (fra tabell) c) Diskuter kort om det relativt høye antallet nye sykdomstilfeller skyldes tilfeldigheter eller spesielle forhold i samfunnet. Statistisk tilsvarer 4 % sannsynlighet at man kan forvente ett så høyt antall løpet av en periode 25 år. Tallet er allikevel så høyt at det kan være grunn til å se nærmere på om det er spesielle forhold i samfunnet som bidrar til høy forekomst av sykdommen..

5 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 5 ( av 8) OPPGAVE 3 (fortsatt) Vi betrakter på nytt samfunnet med 720 personer og sykdommen med forventet antall nye tilfeller på 1250 per individer per år. d) Begrunn at variabelen X fra a) kan beskrives ved en binomisk modell med parametere n = 720 og p = 0,0125 når sykdommen ikke betraktes som smittsom. Bestem hva som er forventet antall nye tilfeller av sykdommen per år. Beregn også sannsynligheten for akkurat 10 nye tilfeller i et år av sykdommen med den binomiske modellen. Vi betrakter situasjonen som en binomisk forsøksrekke hvor antall forsøk n tilsvarer antall personer og sannsynligheten for at en person får sykdommen er p = 1250/ = 0,0125. Siden sykdommen ikke er smittsom betraktes forsøkene som uavhengige. Forventet antall tilfeller: E(X) = n. p = 9 n n P(X=10) = p (1 p) = 0,0125 (1 0,0125) = 0, e) Bestem et 90 % konfidensintervall for sykdomsrisiko gitt ved sannsynlighet p i situasjonen med 15 nye tilfeller blant 720 personer i et år. Kommenter dette resultatet med tanke på eventuell overhyppighet. Punktestimat for sannsynlighet p ) = 15/720 = 0,02083 Finner α: 100(1- α) % = 90 % <=> α = 0,1 og z α/2 = z 0,05 = 1, % KI blir: ) ) 1 ) p( 1 p) p ± z / 2 = ± 1,645 α = 0,02083 /- 0,00876 n = [0, ,02959] Siden den forventede sannsynligheten p = 0,0125 ligger innenfor konfidensintervallet er det ikke usannsynlig (< 10%) at denne er riktig.

6 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 6 ( av 8) OPPGAVE 4 En bonde dyrker to forskjellige byggsorter (A og B). For begge sortene er avling pr. dekar normalfordelt. Lang erfaring har vist at A har forventet avling på 500 kg og et standardavvik på 30 kg, mens B har en forventet avling på 550 kg og et standardavvik på 60 kg. a) Bonden påstår at sort B er jevnt over bedre enn A men at den er mer ustabil. Er du enig med han i dette (svaret må begrunnes)? Ja, enig med bonden. Over tid vil B gi størst avling, forventet gjennomsnitt over tid på 550 kg mot 500 kg med A. B er mer ustabil da forventet variasjon fra år til år uttrykt ved standardavviket vil være større enn for A. b) Det regnes som et dårlig år dersom avlingen er under 440 kg. Hva er sannsynligheten for et dårlig år ved sort A? Er det mer sannsynlig med dårlig år ved sort B? Sannsynlighet for dårlig år: A: P(X < 440) = G = G(-2,00) = 0,0228 (2,3 %) B: P(X < 440) = G = G(-1,83) = 0,0336 (3,4 %) 60 Mest sannsynlig å få dårlig år med B. De 10 % beste årene regnes som kronår. c) Hvor stor avling med sort A må det være for å gi et kronår? Skal finne avling a slik at det er 10 % sannsynlig å få en avling større en denne (kan da et av 10 år gir avling større enn a): a 500 P(X > a) = 0,10 = 1 - P(X < a) = 1- G = 0,1 30 a 500 G = 0,9 30 fra tabell: G(1,28) = 0,9 a 500 Dette gir ligning: = 1,28 a = 538,4 30 Kronår med sort A når avlingen er større enn 538 kg d) Hva er sannsynligheten for at 2 av 3 påfølgende år regnes som kronår (la avling hvert år være uavhengig av det foregående)? Situasjonen kan beskrives med en binomisk modell med n = 3 og p = 0,10: kronår i løpet av 3 år: P(X=2) = 0,1 (1 0,1) = 0,027 2

7 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 7 ( av 8) OPPGAVE 5 Vi skal sammenligne 2 metoder A og B for bestemmelse av fettprosent i laks. Begge metodene benyttes på 8 laks med resultater gitt i følgende tabell, hvor X angir differansen (metode A - metode B) mellom resultatene for hver enkelt laks. Vi betrakter X som normalfordelt med ukjent forventning μ og ukjent standardavvik σ. Fettprosent (%) laks nr. metode A metode B X (A - B) 1 15,54 15,10 0, ,08 14,12-0, ,36 15,85 0, ,91 18,15-0, ,79 17,22 0, ,59 18,29 0, ,72 11,92 0, ,64 15,82-0,18 a) Bestem estimater for forventning og standardavvik til differansen X. Estimater (med kalkulator): X = 0,270 S = 0,3812 (n = 8) b) Bestem et 95 % konfidensintervall for forventningsverdien μ til differansen X. 100(1- α) % = 95 % <=> α = 0,05 og t α/2 = t 0,025 = 2,365 (7 frihetsgrader) S 0,381 X ± tα / 2 = 0,270 ± 2,365 = 0,270 ± 0, 3186 = [ - 0,049 ; 0,589 ] n 8 c) Det antas at metodene i gjennomsnitt vil gi samme resultat for fettprosent. Denne antagelsen tilsvarer at forventningsverdien til differansen X er lik μ 0 = 0. Gjennomfør en hypotesetest på differansen X på signifikansnivå α = 0,05 H 0 : μ = μ 0 Metode A og B gir i gjennomsnitt like resultat H 1 : μ μ 0 Den ene metoden vil i gjennomsnitt gi større eller mindre fettprosent enn den andre Testobservator T = X μ0 0,270 0,0 = = 2,003 S 0,3812/ 8 n t α/2 = 2,365 {α/2 = 0,025 kvantilen i t-fordelingen med n-1 = 7 frihetsgrader} Test: forkast H 0 hvis T > t α/2 Her er ikke T > t α/2 slik at nullhypotesen H 0 ikke kan forkastes med signifikansnivå α = 0,05. Vi godtar at målemetodene måler likt med hensyn på forventningsverdi d) Kommenter eventuelle sammenhenger i resultatene fra deloppgavene b) og c). Her gir konfidensintervallet og hypotesetesten samme resultat: det er mer enn 5% sannsynlig å oppnå de aktuelle observasjonene hvis μ 0 = 0. e) Hypotesetesten i c) tilsvarer en såkalt Paret T-test på forskjellig forventingsverdi til målingene i kolonnene A og B. Utført i Ecel gir en slik test på våre data p = 0,085 (2-sidig test). Gi en tolkning av denne p-verdien. I hvilken grad er det signifikant forskjell i resultatene fra målemetodene A og B? P-verdien uttrykker sannsynligheten for å oppnå våre resultater, eller resultater fjernere fra nullhypotesen H 0, hvis H 0 er sann. Siden p > 0,05 kan vi ikke forkaste H 0 på signifikansnivå α = 0,05. Men siden p < 0,1 kan vi forkaste H 0 på signifikansnivå α = 0,1 (dsv. ulik forventningsverdi med metodene A og B).

8 Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 8 ( av 8) OPPGAVE 6 Vi skal sammenligne målemetodene A og B for bestemmelse av fettinnhold i fisk. Fettprosenten måles i 7 fisk av forskjellig slag med begge metodene. Måleresultatene vises i tabellen og diagrammet under. Fettprosent (%) fisk nr. metode A metode B 1 8,72 11,00 2 7,44 8, ,92 15, ,51 26,07 5 4,21 6, ,66 21, ,77 22,04 metode B 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 Målt fettinnhold i fisk (%) 5,0 0,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 metode A a) Beregn den lineære regresjonskoeffisienten for sammenhengen mellom målinger med metode A (X) og metode B (Y) og bestem ligningen til regresjonslinjen. Fra kalkulator: r = 0,9835 a = 0,5039 b = 1,2538 Regresjonskoeffisient: r 2 = 0,967 regresjonslinje: Y = 0,504 1,254. X b) Du har målt en fettprosent på 14,5 % med metode A. Hvilken fettprosent ville du forvente å måle på samme fisken hvis du hadde brukt metode B. X = 14,5 % gir Y = 0,504 1, ,5 = 18,7 (forventet resultat med B) c) Kalibrering: metode A betraktes som en etablert og nøyaktig metode for bestemmelse av fettprosent, men du ønsker å bruke den billigere og raskere metoden B. Bestem en formel for omregning av måleverdier fra B slik at målingene samsvarer best mulig med forventede måleverdier med metode A. Hva blir et fettinnhold på 20 % målt med metode B justert til etter kalibrering? Skal bestemme forventet X-verdi for en gitt Y-verdi (punkt på regresjonslinja): Y = 0,504 1,254. X 1,254. X = Y - 0,504 X X = 0,797. Y - 0,402 Formel for justering (kalibrering) måleverdier fra B: X = 0,797. Y - 0,402 Y = 20 % gir X = 0, ,402 = 15,5 (forventet resultat med A)