ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Save this PDF as:
Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ST0202 Statistikk for samfunnsvitere"

Transkript

1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag

2 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger om den korresponderende populasjonsparameter. Typiske populasjonsparametre: µ Forventningen i populasjonen σ Standardavvik i populasjonen p Andel i populasjonen/sannsynlighet for suksess Tilsvarende utvalgsobservatorer: x Gjennomsnittet i utvalget s Standardavvik i utvalget x/n Relativ frekvens/andel i utvalget

3

4 4 Hovedtyper av statistisk inferens 1. Estimering. Hva er størrelsen på parameteren? Punktestimering: Gitt ved ett enkelt tall Intervallestimering: Gitt ved et intervall der parameteren antas å ligge med en høy sannsynlighet 2. Hypotesetesting: Velger mellom to konkurrerende påstander om størrelsen på parameteren, for eksempel om den er større eller mindre enn en gitt verdi.

5 5 Innhold i kap. 8 Betrakt en populasjon karakterisert ved forventning µ og standardavvik σ. Det ønskes informasjon om µ, mens σ i dette kapitlet antas å være en kjent parameter. 8.2 Generelt om estimering Punktestimat Intervallestimat 8.3 Estimering av µ 8.4 Generelt om hypotesetesting 8.5 Hypotesetesting om µ: p-verdi 8.6 Hypotesetesting av µ: klassisk

6 6 Punktestimering (8.2) Punktestimat for en parameter: Et anslag for verdien av en parameter gitt ved ett tall, som regel den tilsvarende utvalgsobservatoren. Parameter Punktestimat µ x = Σx n σ s = Σx 2 (Σx) 2 /n n 1 σ 2 s 2 = Σx 2 (Σx) 2 /n n 1 p p = x n

7 7 Kvaliteten til et punktestimat Følgende egenskaper ønskes av et godt punktestimat: Forventningsrett. En observator kalles forventningsrett ( unbiased ) hvis dens forventning er lik parameteren som skal estimeres. Hvis ikke, kalles den forventningsskjev ( biased ). Merk at x har forventning µ og er altså forventningsrett. Liten standardfeil. Merk at x har standardfeil σ/ n som blir liten hvis n er stor (og σ ikke er for stor).

8 8 Intervallestimering Intervallestimat Et intervall som med stor grad av konfidens (confidence) inneholder parameterverdien. Nedre og øvre grense i intervallet er observatorer beregnet fra utvalget (og er derfor tilfeldige variable). Konfidensnivå Sannsynligheten for at intervallestimatet skal inneholde den ukjente parameteren. Skrives 1 α hvor α er et lite tall, f.eks. α = 0.05 som gir 1 α = Konfidensintervall Et intervallestimat med et spesifisert konfidensnivå1 α. Konfidensnivået oppgis ofte i prosent, dvs. f.eks. 95% istedenfor 0.95.

9 9 Konfidensintervall for µ (8.3) Antagelse: x er tilnærmet normalfordelt, dvs. enten populasjonen er normalfordelt eller n er stor. σ er kjent Vi ønsker å finne et intervall (a, b) slik at P(a < µ < b) = 1 α Merk: Her er a og b beregnet ut fra utvalget. 1 α er konfidensnivået. Vi skal bruke at er standard normalfordelt. z = x µ σ/ n

10 For å finne et 95% konfidensintervall, dvs. α = 0.05, går vi fram slik: med 0.95 = P( z(0.025) < z < z(0.025)) = P( 1.96 < z < 1.96)) = P( 1.96 < x µ σ/ n < 1.96) = P( 1.96σ/ n < x µ < 1.96σ/ n) = P( 1.96σ/ n < µ x < 1.96σ/ n) = P( x 1.96σ/ n < µ < x σ/ n) = P(a < µ < b) a = x 1.96 σ n b = x σ n (dvs. tilnærmet gjennomsnitt pluss-minus to standardavvik )

11 Hvis vi bytter ut 0.95 med 1 α og z(0.025) med z(α/2) får vi det generelle 1 α konfidensintervall: med 1 α = P( z(α/2) < z < z(α/2)) = P( z(α/2) < x µ σ/ n < z(α/2)) = P( z(α/2)σ/ n < x µ < z(α/2)σ/ n) = P( z(α/2)σ/ n < µ x < z(α/2)σ/ n) = P( x z(α/2)σ/ n < µ < x + z(α/2)σ/ n) = P(a < µ < b) a b = x z(α/2) σ n = x + z(α/2) σ n

12 12 Oppsummering: Konfidensintervall for µ Et 1 α konfidensintervall for µ når σ er kjent er gitt ved ( x z(α/2) σ n, x + z(α/2) σ n ) 1 α kalles konfidensnivået. σ n kalles standardfeilen ( standard error ) for gjennomsnittet x. z(α/2) kalles konfidenskoeffisienten. z(α/2) σ n kalles maksimum feil for estimatet ( maximum error of estimate ), betegnet E.

13 Eksempel: En maskin produserer deler med lengde som er normalfordelt med ukjent forventning µ cm og kjent standardavvik σ = 0.5 cm. Et utvalg på 10 deler har gjennomsnittslengde cm. Finn et punktestimat for µ. Finn et 95% konfidensintervall for µ.

14 Punktestimat: x = cm. 95% konfidensintervall: ( x 1.96 σ n, x σ n ( , ) ( , ) (75.61, 76.23) Merk at følgende antagelse er gjort: x er tilnærmet normalfordelt. Diskuter!

15 Oppgave: Lengden til 200 fisk har (utvalgs)gjennomsnitt 36.3 cm. Populasjonsstandardavviket er kjent og lik 6.4 cm. Finn et 90% konfidensintervall for populasjonens gjennomsnittslengde µ.

16 16 Tolkning av konfidensintervall Med P(a < µ < b) = 1 α menes at dersom vi gjør et stort antall repeterte utvalg, der vi hver gang regner ut nedre grense a og øvre grense b, vil populasjonsverdien µ (ukjent) ligge i dette intervallet i en andel 1 α av gangene. Merk: a og b er observatorer, som endrer seg når vi tar nye utvalg. (a og b er jo lik x ± E) Vårt utvalg gir bare ett av disse mange intervallene, og vi vet ikke om µ er i akkurat dette intervallet. Men sjansen er altså stor hvis α er rimelig liten!

17

18 18 Egenskaper ved konfidensintervall 1 α konfidensintervall: x ± z(α/2) σ = x ± E n Maksimal feil: E = z(α/2) σ n Lengde på intervall: 2E Intervall blir: Kortere hvis n vokser Kortere hvis σ blir mindre Kortere hvis α blir større (Hva innebærer det siste punktet?)

19 19 Bestemmelse av n Maksimal feil: E = z(α/2) σ n Hvor stor må vi velge n for å få en bestemt maksimal feil E? ( z(α/2)σ n = E ) 2

20 Eksempel: En maskin produserer deler med lengde som er normalfordelt med standardavvik σ = 0.5 cm. Hvor stort må utvalget være for å få E lik 0.1 cm (dvs. intervalllengde lik 0.2 cm) med 95% konfidensnivå? ( ) z(α/2)σ 2 n = E ( ) z(0.025) = 0.1 ( ) = 0.1 = Dermed: n = 96 gir tilnærmet ønsket maksimal feil.

21 Oppgave: Hva må utvalgsstørrelsen være dersom forventningen µ skal estimeres med feil E mindre enn 7.5 med 99% konfidensnivå? Populasjonsstandardavviket er 90.

22 22 Hypotesetesting (8.4) Sentrale termer: Hypotese Påstand om at noe er sant Hypotesetesting Å velge mellom to konkurrerende hypoteser Nullhypotese, H 0 Den hypotesen som er riktig inntil det motsatte er bevist (den konservative hypotesen) Alternativ hypotese, H a Den hypotesen vi prøver å bevise er riktig; årsaken til undersøkelsen. Eksempel: H 0 : Klimaet har ikke endret seg H a : Klimaet har endret seg H 0 : Medisin A og B virker like bra H a : Medisin A virker bedre enn medisin B

23 To mulige avgjørelser: 1. Forkaste H 0 og påstå H a 2. Ikke forkaste H 0 (mangler bevis for å kunne påstå H 0. Dette gir fire situasjoner: H 0 sann H 0 usann Ikke forkast H 0 Korrekt avgjørelse Type II-feil Forkast H 0 Type I-feil Korrekt avgjørelse Analogi: Straffesak H 0 : Tiltalte er uskyldig (riktig inntil det motsatte er bevist). H a : Tiltalte er skyldig (prøver å bevise). Type I-feil:justismord Type II-feil:skyldig går fri.

24 Mest alvorlig er type I-feil. Vi ønsker liten sannsynlighet for denne. Vi krever P(type I-feil) = α der α er et lite tall. α kalles signifikansnivået til testen og velges av brukeren. (Oppgis ofte i prosent, f.eks. 5%). Vi definerer også P(type II-feil) = β 1 β kalles styrken til testen og er sannsynligheten for korrekt forkastning av H 0. Testobservator: En tilfeldig variabel (beregnet fra utvalget) som brukes til å treffe avgjørelsen.

25 25 Hypotesetesting om µ (σ kjent) (8.5) Eksempel: For en standard språktest for ungdomsskoleelever er gjennomsnittsresultatet for hele landet µ N = 125 og σ N = 16.4 (N står for Norge). Skoleledelsen i en bestemt by mener imidlertid at elevene i denne byens skoler er bedre enn lands-gjennomsnittet. Det tas så et utvalg på n = 86 elever fra ungdomsskolene i denne byen. Disse skolene blir vår nye populasjon. Vi lar µ betegne populasjonsgjennomsnittet for denne populasjonen. Dette leder til testingssituasjonen H 0 : µ = 125 mot H a : µ > 125, der σ = 16.4 antas kjent og utvalget består av de n = 86 elevene. Resultatet blir et gjennomsnitt x = for de 86 elevene. Kan det dermed påstås at elevene i denne byen er bedre enn landsgjennomsnittet? Vi skal gjennomføre en hypotesetest med signifikansnivå α = 0.05.

26 Vi ser altså på H 0 : µ = 125 mot H a : µ > 125 med kjent σ = Vi bruker testobservatoren z = x 125 σ/ n Store verdier av z tyder på at H a gjelder. Poenget med å bruke z er at når H 0 er riktig, er z standard normalfordelt. Vi kan derfor forkaste H 0 hvis den beregnede verdi for z er så stor at den er urimelig for en standard normalfordelt variabel. Her blir z = / 86 = 1.98 så spørsmålet er om dette er for høyt til rimeligvis å kunne komme fra en standard normalfordeling.

27 Vi beregner P(z > 1.98) = P(0 < z < 1.98) = = Da dette er en liten sannsynlighet, dvs. mindre enn signifikansnivået α, forkaster vi H 0. Vi konkluderer: Det er tilstrekkelig grunnlag på signifikansnivå 0.05 til å si at elevene i denne byen scorer bedre enn landsgjennomsnittet på språktesten. Den beregnede sannsynlighet P(z > 1.98) = kan generelt skrives P(z > z ) og kalles p-verdien for testen.

28 28 Hypotesetesting ved å bruke p-verdi (8.5) Definisjon av p-verdi: Sannsynligheten for at vår testobservator z får en verdi som er lik den vi har fått eller en som er mer ekstrem (i retning av den alternative hypotese) når nullhypotesen gjelder. Beslutningsregel: Hvis p-verdien er mindre enn eller lik signifikansnivået α, så er beslutningen å forkaste nullhypotesen H 0. Hvis p-verdien er større enn α, så er beslutningen å ikke forkaste H 0. I vårt tilfelle tester vi H 0 : µ = 125 mot H a : µ > 125 så p-verdien blir den høyre halen P(z > z ):

29 Anta isteden at de 86 elevene hadde et gjennomsnitt x = Dette er også bedre enn landsgjennomsnittet. Men nå blir Da blir p-verdien z = / 86 = 1.13 P(z > 1.13) = P(0 < z < 1.13) = = som er større enn signifikansnivået Altså forkastes ikke H 0 og vi kunne konkludere: Det er ikke tilstrekkelig grunnlag på signifikansnivå 0.05 til å si at elevene ved gjeldende ungdomsskole scorer bedre enn landsgjennomsnittet på språktesten. Men merk at vi heller ikke kan påstå at de er dårligere enn landsgjennomsnittet eller at de ligger på landsgjennomsnittet. Vanligvis er det bare når vi forkaster nullhypotesen at vi kan komme med klare konklusjoner.

30 30 Hypotesetesting: klassisk metode (8.6) Situasjonen er som før og vi bruker samme testobservator, nemlig z x 125 = σ/ n At signifikansnivå er valgt til α betyr at vi krever P(forkaste H 0 ) = α hvis H 0 er sann Dette får vi til ved å forkaste H 0 hvis z > z(α), der z(α) er definert tidligere (og kalt kritisk verdi) ved at der z er standard normalfordelt. P(z > z(α)) = α

31

32 Altså: Vi forkaster H 0 dersom z = x 125 σ/ n > z(α) Med α = 0.05 får vi z(α) = 1.65 mens altså x = 128.5, σ = 16.4, n = 86 z = 16.4/ = 1.98 > så vi forkaster H 0 med signifikansnivå (Men igjen forkaster vi ikke hvis x = )

33 33 Kortfattet Hypoteser: H 0 : µ = 125 mot H a : µ > 125. Kjente verdier: n = 86, σ = 16.4, α = Observert: x = Testobservator: z = x 125 σ/ n = / 86 = 1.98 (standardisering av den observerte x når H 0 gjelder). Egenskaper ved z : Hvis H 0 gjelder er z standard normalfordelt. Hvis H a gjelder vil z bli for stor.

34 Metode med p-verdi: p-verdi = P(z > z ) = P(z > 1.98) = H 0 forkastes hvis p-verdi < α Klassisk metode: Finn kritisk verdi z(α) dvs. at P(z > z(α)) = α. Forkast H 0 hvis beregnet z er > z(α). Her er α = 0.05 og z(0.05) = så H 0 forkastes med begge metoder.

35 35 Endret alternativ hypotese Anta at vi (for en annen by) skal teste: H 0 : µ = 125 mot H a : µ < 125. Anta igjen kjente verdier: n = 86, σ = 16.4, α = Men anta nå at det er observert: x = Testobservator: z = x 125 σ/ n = / 86 = 1.13 Egenskaper ved z : Hvis H 0 gjelder er z standard normalfordelt. Hvis H a gjelder vil z bli for liten (dvs. for langt ute på den negative siden).

36 Metode med p-verdi: Husk at p-verdien er sannsynligheten for å få det som er observert eller noe mer ekstremt i retning av den alternative hypotesen. Dermed blir p-verdi = P(z < z ) = P(z < 1.13) som videre er lik P(z > 1.13) = 0.5 P(0 < z < 1.13) = = H 0 forkastes hvis p-verdi < α (som før), dvs. H 0 forkastes ikke.

37 Klassisk metode: Vi ønsker P(forkaste H 0 ) = α hvis H 0 er sann og vi ønsker å forkaste for små (negative) verdier av z. Dette får vi til ved å forkaste H 0 dersom z < z(α), siden for en standard normalfordelt z har vi P(forkaste H 0 ) = P(z < z(α)) = α Med α = 0.05 er z(0.05) = 1.645, så H 0 forkastes ikke siden vi har z = 1.13.

38 Eksempel: H 0 : µ = 125 mot H a : µ 125, σ = 16.4 Rimelig å forkaste H 0 hvis z = x 125 σ/ n er enten for stor eller for liten. Vi ønsker igjen at P(forkaste H 0 ) = α hvis H 0 er sann Vi forkaster da H 0 dersom z < z(α/2) eller z > z(α/2). Da har vi nemlig hvis H 0 er sann: P(forkaste H 0 ) = P(z < z(α/2)) + P(z > z(α/2)) = α/2 + α/2 = α

39 Altså: Vi forkaster H 0 dersom z = x 125 σ/ n > z(α/2) eller z = x 125 σ/ n < z(α/2) Sett α = Da er z(α/2) = 1.96 Anta nå at x = 128.5, σ = 16.4, n = 86 Da er z = 16.4/ = 1.98 > så vi forkaster fremdeles H 0 med signifikansnivå 0.05.

40 p-verdien er som før sannsynligheten for at vår testobservator z får en verdi som er lik den vi har fått eller en som er mer ekstrem (i retning av den alternative hypotese) når nullhypotesen gjelder. Dette blir her (litt vanskeligere å begrunne enn for de tidligere situasjonene) p-verdi = P(z < 1.98 eller z > 1.98) = 2 P(z > 1.98) = 2(0.5 P(0 < z < 1.98)) = 2( ) = = som er mindre enn α = 0.05, så vi forkaster H 0 med signifikansnivå α = 0.05.

41 41 Oppsummering: Klassisk hypotesetesting med kjent σ Tre typer situasjoner. Her er µ 0 et gitt tall (f.eks. 125). H 0 H a Forkast H 0 hvis µ = µ 0 µ > µ 0 z > z(α) µ = µ 0 µ < µ 0 z < z(α) µ = µ 0 µ µ 0 z < z(α/2) eller z > z(α/2) z = x µ 0 σ/ n De to første testene kalles ensidige ( one-tailed ) tester, mens den siste er tosidig ( two-tailed )

42 42 Oppsummering: Hypotesetesting med p-verdi (og kjent σ) Tre typer situasjoner. H 0 H a p-verdi µ = µ 0 µ > µ 0 P(z > z ) µ = µ 0 µ < µ 0 P(z < z ) = P(z > z ) for z < 0 µ = µ 0 µ µ 0 P(z < z ) + P(z > z ) z = x µ 0 σ/ n

43 Oppgave: Jeg har trukket 10 tall fra en populasjon som er normalfordelt med gjennomsnitt µ og standardavvik σ = 10. Tallene ble med gjennomsnitt x = Finn et punktestimat for populasjonsparameteren µ Finn et intervallestimat for populasjonsparameteren med konfidensnivå Jeg påstår at µ = 100 for populasjonen. Ta stilling til dette utsagnet med en hypotesetest. Bruk signifikansnivå α = 0.1. Bruk både klassisk metode og metode med p-verdi.

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 8: Introduksjon til statistisk inferens

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 8: Introduksjon til statistisk inferens ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 8: Introduksjon til statistisk inferens Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper

ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (20)

TMA4240 Statistikk H2010 (20) TMA4240 Statistikk H2010 (20) 10.5: Ett normalfordelt utvalg, kjent varians (repetisjon) 10.4: P-verdi 10.6: Konfidensintervall vs. hypotesetest 10.7: Ett normalfordelt utvalg, ukjent varians Mette Langaas

Detaljer

6.2 Signifikanstester

6.2 Signifikanstester 6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon

Detaljer

Introduksjon til inferens

Introduksjon til inferens Introduksjon til inferens Hittil: Populasjon der verdien til et individ/enhet beskrives med en fordeling. Her inngår vanligvis ukjente parametre, μ, p,... Enkelt tilfeldig utvalg (SRS), observator p =

Detaljer

Hypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x

Hypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x Kapittel 6.4-6.5: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Verdens statistikk-dag.

Verdens statistikk-dag. Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

Kapittel 10: Hypotesetesting

Kapittel 10: Hypotesetesting Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (19)

TMA4240 Statistikk H2010 (19) TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Econ 2130 uke 16 (HG)

Econ 2130 uke 16 (HG) Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling

Detaljer

Hypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:

Hypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to

Detaljer

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ... ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde

Detaljer

Hypotesetest: generell fremgangsmåte

Hypotesetest: generell fremgangsmåte TMA4240 Statistikk H2010 (21) 10.8, 10.10: To normalfordelte utvalg 10.9: Teststyrke og antall observasjoner Mette Langaas Foreleses mandag 1.november, 2010 2 Hypotesetest: generell fremgangsmåte Generell

Detaljer

Statistikk og dataanalyse

Statistikk og dataanalyse Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

Krysstabellanalyse (forts.) SOS1120 Kvantitativ metode. 4. Statistisk generalisering. Forelesningsnotater 9. forelesning høsten 2005.

Krysstabellanalyse (forts.) SOS1120 Kvantitativ metode. 4. Statistisk generalisering. Forelesningsnotater 9. forelesning høsten 2005. SOS112 Kvantitativ metode Krysstabellanalyse (forts.) Forelesningsnotater 9. forelesning høsten 25 4. Statistisk generalisering Per Arne Tufte Eksempel: Hypoteser Eksempel: observerte frekvenser (O) Hvordan

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting Hypotesetesting H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Rettsvesen hypotese Tiltalte er uskyldig inntil det motsatte er bevist. Hypoteser H 0 : Tiltalte er uskyldig H 1 :

Detaljer

β(µ) = P(akseptere H 1 µ)

β(µ) = P(akseptere H 1 µ) Sentrale begreper for hypotesetesting Begrep Nullhypotesen H 0 Definisjon/forklaring Utrykker "status quo"/"situation normal"/"ting er slik produsenter påstår"/"alt er greit" Signifikansnivå α Sannsynligheten

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9-10 (oversikt): Inferens om én og to populasjoner

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9-10 (oversikt): Inferens om én og to populasjoner ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9-10 (oversikt): Inferens om én og to populasjoner Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens med EN populasjon 3 Oppgave: H2002 # 3 I følge Nielsen

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker

Detaljer

Fra i går Signifikanssannsynlighet (p verdi) vs. signifikansnivå Utgangspunkt for begge: Signifikansnivå α. evt.

Fra i går Signifikanssannsynlighet (p verdi) vs. signifikansnivå Utgangspunkt for begge: Signifikansnivå α. evt. Fra i går Signifikanssannsynlighet (p verdi) vs. signifikansnivå Utgangspunkt for begge: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 eller µ > µ 0 Signifikanssannsynlighet p Angir sannsynligheten for å få en X som er

Detaljer

Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen

Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen gir testobservatoren t mer spredning enn testobservatoren

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren 2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6) TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE

EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 97589418 EKSAMEN ST00 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Torsdag

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten

Detaljer

Testobservator for kjikvadrattester

Testobservator for kjikvadrattester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: Et tilfeldig utvalg av n individer er trukket

Detaljer

Inferens i fordelinger

Inferens i fordelinger Inferens i fordelinger Modifiserer antagelsen om at standardavviket i populasjonen σ er kjent Mer kompleks systematisk del ( her forventningen i populasjonen). Skal se på en situasjon der populasjonsfordelingen

Detaljer

Fasit for tilleggsoppgaver

Fasit for tilleggsoppgaver Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x

Detaljer

Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik

Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik Kapittel 7: Inferens for forventningerukjent standardavvik 7.1: Inferens for forventningen i en populasjon 7.2: Inferens for å sammenligne to forventninger 7.1 Inferens for forventningen i en populasjon

Detaljer

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34) ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Forkaste H 0 "Stikkprøven er unormal" Akseptere H 0 "Stikkprøven er innafor normalen" k kritisk verdi. Utgangspunkt for H 0

Forkaste H 0 Stikkprøven er unormal Akseptere H 0 Stikkprøven er innafor normalen k kritisk verdi. Utgangspunkt for H 0 * 6.2. Hypotesetest i normalfordeling med kjent σ v.h.a. kritisk verdi (fra i går) Overordnet mål med hypotesetest i normalfordeling: vurdere en påstand om µ ("er den påståtte verdien for µ riktig, eller

Detaljer

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling

Detaljer

ECON240 VÅR / 2016 BOKMÅL

ECON240 VÅR / 2016 BOKMÅL ECON240 VÅR / 2016 BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN EKSAMEN UNDER SAMFUNNSVITENSKAPELIG GRAD [ DATO og KLOKKESLETT FOR EKSAMEN (START OG SLUTT) ] Tillatte hjelpemidler: Matematisk formelsamling av K. Sydsæter,

Detaljer

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe a) Finn aritmetisk gjennomsnitt, median, modus og standardavvik for gruppe 2.

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe a) Finn aritmetisk gjennomsnitt, median, modus og standardavvik for gruppe 2. Sensurveiledning Ped 3001 h12 Oppgave 1 Er det sammenheng mellom støtte fra venner og selvaktelse hos ungdom? Dette spørsmålet ønsket en forsker å undersøke. Han samlet data på 9. klassingers opplevde

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

STK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller

STK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller STK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller Svarer til avsnitt 8.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Konfidensintervall for µ i store utvalg Anta at de stokastiske

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (22)

TMA4240 Statistikk H2010 (22) TMA4240 Statistikk H2010 (22) 10.11-10.12: Testing av andelser 10.13: Testing av varians i ett N utvalg Mette Langaas Foreleses onsdag 3.november, 2010 2 Laban strakk seg ikke lenger, men smaker den bedre?

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.

Detaljer

7.2 Sammenligning av to forventinger

7.2 Sammenligning av to forventinger 7.2 Sammenligning av to forventinger To-utvalgs z-observator To-utvalgs t-prosedyrer To-utvalgs t-tester To-utvalgs t-konfidensintervall Robusthet To-utvalgs t-prosedyrerår variansene er like Sammenlikning

Detaljer

Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind

Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Trekke utvalg 2. Estimatorer og observatorer som stokastiske variable 3. Egenskapene til en estimator

Detaljer

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister. ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker

Detaljer

Kap. 12: Variansanalyse

Kap. 12: Variansanalyse 2 Kap. 12: Variansanalyse Situasjon: c populasjoner, hver med sitt populasjonsgjennomsnitt μ i. Vi tester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag H 0 : Alle populasjonene

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 12: Variansanalyse Situasjon: c populasjoner, hver med sitt populasjonsgjennomsnitt μ i. Vi tester H 0 : Alle populasjonene

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 Ei bedrift produserer ein type medisin i pulverform Medisinen seljast på flasker

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

estimert verdi ± feilmargin = X ± et visst antall standardavvik for snittet = X ± u α/2 σ n

estimert verdi ± feilmargin = X ± et visst antall standardavvik for snittet = X ± u α/2 σ n 5.4:Konfidensintervall (fra sist) Konfidensintervall for et gjennomsnitt µ: estimert verdi ± feilmargin = X ± et visst antall standardavvik for snittet = X ± u α/2 σ n u α/2 kalles en kvantil for standard

Detaljer

Om eksamen. Never, never, never give up!

Om eksamen. Never, never, never give up! I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: Et tilfeldig utvalg av n individer er trukket

Detaljer

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

1 8-1: Oversikt. 2 8-2: Grunnleggende hypotesetesting. 3 Section 8-3: Å teste påstander om andeler. 4 Section 8-5: Teste en påstand om gjennomsnittet

1 8-1: Oversikt. 2 8-2: Grunnleggende hypotesetesting. 3 Section 8-3: Å teste påstander om andeler. 4 Section 8-5: Teste en påstand om gjennomsnittet 1 8-1: Oversikt 2 8-2: Grunnleggende hypotesetesting 3 Section 8-3: Å teste påstander om andeler 4 Section 8-5: Teste en påstand om gjennomsnittet Definisjoner Hypotese En hypotese er en påstand om noe

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Testobservator for kjikvadrattester

Testobservator for kjikvadrattester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: t tilfeldig utvalg av n individer er trukket

Detaljer

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jarle Tufto Tlf: 99 70 55 19 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom

Detaljer