α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)

Transkript

1 TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer ja, konkluderer vi med at 6% av befolkningen vil svare ja. Antall personer som svarer ja =X bin(4,p). Hypotesetest: H : p =.6 H 1 : p.6. a) α =P(type I feil) = P(forkast H H er sann) =1 P(22 < X < 26 p =.6) Bruker approksimasjon til normalfordeling. Under H : µ = np = 4.6 = 24, σ 2 = np(1 p) = α =1 P(22.5 < X < 259.5) = 1 P( < X =1 (Φ(1.99) Φ( 1.99)) = 2(1 Φ(1.99)) =.46 < ) b) β = P(type II feil) = P(Ikke forkast H H 1 er sann) p =.48, µ = np = 192, σ 2 = np(1 p) = β =P(22.5 < X < 259.5) = P( < X =Φ(6.755) Φ(2.852) = =.22 < ) Oppgave 2 H : µ 1 µ 2 = mot H 1 : µ 1 µ 2 Her er σ 2 ukjent, men lik for begge dekk-typene. Vi må derfor bruke t-fordelingen. oving1-lsf-b 12. mars 212 Side 1

2 Vi har at der dette gir X 1 T = X 2 t S 1 pooled n α/2,n1 +n 2 2 n 2 S 2 pooled = (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n 1 +n 2 2 s 2 pooled = (12 1)512 +(12 1) t = = = 341 Forkast H hvis t < t α/2,n1 +n 2 2 = t α/2,22 eller t > t α/2,n1 +n 2 2 = t α/2,22. Verdien t =.84 tilsvarer en P-verdi på.25, altså P(T ν=22 <.84) =.25. Denne trengs ikke regnes ut, men vi ser fra tabell at vår P-verdi er større enn 5 (av tabell P(T ν=22 < 1.61) = P(T ν=22 > 1.61) = 5 ). Dermed forkaster vi ikke H. Oppgave 3 Skal teste om bensinforbruket er lavere ved bruk av radiale dekk. Hypotesen blir: H : µ 1 µ 2 = mot H 1 : µ 1 µ 2 < Vi har observasjoner i par, og ser derfor på differansen mellom dem. Setter d = µ 1 µ 2 Vet at vi må bruke følgende observator: Vi får t = T = d S d / n t α,n / 12 = P.17, dvs at vi forkaster H på 5% -nivå og konkludere med at radiale dekk gir lavere bensinforbruk. Oppgave 4 Velger følgende hypotesetest: 1.) H : p = p H 1 : p > p, p =.25 2.) Signifikansniv: α = 3.) Siden vi her har et stort sample (n = 9) er det naturlig benytte sentralgrenseteoremet i hypotesetesten x np z = np (1 p ) n(z,,1)

3 4.) Vi får da følgende konklusjon. P(Type I feil) = P(forkaste H H sann) = P(z = X np np (1 p ) > z p =.25) = Regner vi ut fra observarsjonene fr vi at z = og vi har fra tabell at z = Siden z < z har vi ikke grunnlag for forkaste H. Oppgave 5 H : σ 2 =.3 mot H 1 : σ 2.3 α =.1, n = 1, s 2 =.64 Testobservator: χ 2 = (n 1)s2 σ 2 Forkastningsområde med signifikansnivå α er χ 2 < χ 2 1 α/2,9 og χ2 > χ 2 α/2,9. Her får vi: χ 2 = = som tilsvarer en P-verdi på α =.674 altså χ 2 > χ 2.674/2,9 = Dermed forkaster vi ikke H på f.eks. 5% og 1% signifikansnivå, men forkaster på f.eks. 1% signifikansnivå. Oppgave 6 Matlab-oppgave som omhandler hypotesetesting. 1. Figur 1 viser eksempel på histogram som plottes når man kjører koden hypoth.m. Vi ser at med n = 1 data ligner histogrammet ganske godt normalfordelingen den kommer fra, sentrert rundt forventningsverdien µ = Tolker vi koden ser vi at parameteren mu hypoth er forventningsverdien i nullhypotesen, altså med mu hypoth = µ = 1 tester vi H : µ = 1 vs H 1 : µ 1 I koden beregner vi da T-observatoren T = X µ S/ som parameteren t. Legg merke til at n vi har antar at variansen er ukjent, slik at dette blir en t-test. Outputparametrene er p1: Sannsynligheten i en t-fordeling for større verdier av testobservatoren enn vår observerte verdi av t, altså 1 P( t T t) h: Resultat av Matlabs innebygde t-test, h = dersom vi ikke kan forkaste nullhypotesen med 5% signifikansnivå, h = 1 dersom vi kan.

4 p2: Resultat av Matlabs innebygde t-test, hvor denne parameteren er den beregnede T-observatoren. Når vi kjører koden observerer vi at p1 = p2. ci: Resultat av Matlabs innebygde t-test, dette er det beregnede 95% konfidensintervalet for µ Figur 1: Histogram av n = 1 simulerte data fra normalfordeling med µ = 1 og σ 2 = 2 2 For dataene i figur 1 får vi p1 = p2 =.94, h =, ci = [.9597, 1.374]. Altså forkaster vi ikke nullhypotesen (om at forventningsverdien til dataene er 1) med 95% signifikansnivå. Dette ser vi fra parameteren h = i tillegg til at verdien 1 ligger godt innenfor 95% konfidensintervalet ci. Figur 2 viser et tilsvarende forsøk hvor vi har kjørt koden med n = 1 data (histogrammet ser såpass spredt ut fodi oppløsningen er høy). Output er her p1 = p2 =.619, h =, ci = [.6912, ]. Igjen beholder vi altså nullhypotesen, men vi observerer at konfidensintervalet er bredere siden vi har simulert færre data Figur 2: Histogram av n = 1 simulerte data fra normalfordeling med µ = 1 og σ 2 = Dersom vi endrer hypotesetesten vår til f.eks. H : µ = 1.2 vs H 1 : µ 1.2

5 (setter mu mypoth = 1.2 i koden) tester vi for om forventningsverdien er 1.2. Siden datene kommer fra normalfordelingen N(1,2 2 ) burde vi altså optimalt forkaste nullhypotesen. I figur 3 ser vi et resultat for n = 1 simulerte data, som resulterte i p1 = p2 =, h = 1, ci = [.9569,1.341]. Her forkaster vi altså nullhypotesen siden h = 1 og 1.2 ligger godt utenfor 95% konfidensintervalet. I figur 4 ser vi et resultat for n = 1 simulerte data, som resulterte i p1 = p2 =.347, h =, ci = [.6285, ]. Her forkaster vi altså ikke nullhypotesen siden h = og 1.2 ligger innenfor 95% konfidensintervalet. Vi observerer altså at i dette tilfellet er n = 1 for lite data til å konkludere med at forventningsverdien ikke er 1.2 når den i virkeligheten er Figur 3: Histogram av n = 1 simulerte data fra normalfordeling med µ = 1 og σ 2 = Figur 4: Histogram av n = 1 simulerte data fra normalfordeling med µ = 1 og σ 2 = 2 2.

6 Oppgave 7 Eva ønsker å teste hypotesen: H : µ 1 = µ 2 (µ 1 µ 2 = ) mot H 1 : µ 1 < µ 2 (µ 1 µ 2 < ) Siden variansen i kvinner og menns lønn er antatt lik tar vi utgangspunkt i testobservatoren: T = X Ȳ S pooled 1 n + 1 n der Spooled 2 = 1 n+n 2 ((n 1)S2 X +(n 1)S2 Y ) = 1 n 2n 2 ( (X i X) 2 + i=1 n (Y i Ȳ)2 ) Vi har fra pensum at denne testobservatoren under H (at µ 1 µ 2 = ) er t n+n 2 -fordelt. H forkastes dersom T < t α,2n 2 der P(forkaste H H ) = P(T < t α,2n 2 ) = α = Vi har observert s 2 pooled = ( ) = = som gir i=1 t obs = =.67 > t,14 = 1.76 Dvs vi forkaster ikke H på 5% nivå. Dataene gir ikke grunnlag for å påstå at firmaet driver med kvinnediskriminerende avlønning.