Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.

Transkript

1 ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker engelsk. Likevel, på tur i sentrum av byen er det noe lettere å treffe noen som snakker engelsk, da av 4 personer som befinner seg i Roma sentrum er utenlandske turister. Og blant de utenlandske turistene er det hele av 2 som behersker engelsk. Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister. A. For en vilkårlig person trukket fra Roma sentrum, definer begivenhetene, E = personen snakker engelsk, I = personen er italiener og T = personen er utenlandsk turist. (i) Forklar ved Venn-diagram eller på annen måte at E = ( E I) ( E T). (ii) Finn sannsynlighetene, PE ( I ) og PE ( I). << Svar: (i).. (ii) PE ( I ) = 5 = 0.2, PE ( I) = PIPE ( ) ( I) = ( 3 4)( 5) = 3 20 = 0.5 B. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person som Anne treffer snakker engelsk? << Svar: PE PE I PTPE T ( )( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = = 40 = C. (i) Hva er sannsynligheten for at vedkommende er italiener, gitt at hun/han snakker engelsk? (ii) Hva er sannsynligheten for at vedkommende er italiener, gitt at hun/han ikke snakker engelsk? << Svar: (i) PE ( ) = 40, PE ( ) = 29 40, PI ( E) = 3 20 gir PI ( E ) = = 2 =

2 2 (ii) PI E PIPE I ( )( ) << ( ) = ( ) ( ) = = 35gir PI ( E ) = = 8 = = D. (i) I en gate treffer Anne på 4 personer. La den stokastiske variabelen X være antall utenlandske turister blant disse 4. Drøft kort i hvilken grad vi kan anta at X er binomisk fordelt. Anta i resten av oppgaven at dette er tilfellet. (ii) Beregn sannsynligheten for at det er to eller flere utenlandske turister blant de fire som Anne møter i denne gaten. (iii) Anne ønsker å finne en som kan engelsk. Hva er det forventete antall personer Anne må stoppe før hun finner en som kan snakke engelsk? << Svar: (i) Den viktiske trusselen mot binomisk fordeling er vel at turistene åpenbart ikke er uniformt fordelt i sentrum av Roma, men konsentrerer seg gjerne på turiststeder. Dette truer konstant suksess-sanns.het. Dessuten opptrer de ofte i grupper som truer uavhengigheten. (ii) X ~ bin (4,0.25). Denne er ikke tabulert i boka og må beregnes for hånd. La 4 3 p ( ) = PX ( = ). p(0) = 0.75 = 0.36, p() = = 0.422, og PX ( 2) = p(0) p() = (iii) Antall forsøk til første suksess er geometrisk ( PE ( ) = 40 ) fordelt med forventning 40 = 3.6. Oppgave 2 En 44-åring har deltatt i et mosjonsløp de siste sju årene en gang hvert år. Alder og anvendt tid er oppgitt i tabell. Tidene er uttrykt som avrundete desimaltall (4 min. og 20 sek. skrives altså som 4.3). Tabell Alder Anvendt tid y Vi antar dataene kan beskrives ved en regresjonsmodell, Yi = α + βi + ei, i =, 2,, 7, der restleddene, e, e 2,, e 7 er uavhengige og normalfordelte med forventning 0 og samme ukjente standardavvik, σ. For å lette regningen oppgis følgende: Gjennomsnitt: = 4, y = 42.5 og dessuten

3 i y i i= i= og 6 s = ( ) = 28, 6 s = ( y y) = s = ( )( y y) = 6.6. y i i i= A. (i) Skisser et spredningsplott av y med hensyn på basert på tabell. (Du behøver ikke å være veldig nøyaktig her. Angi skalaene på - og y-aksen omtrentlig på øyemål. Likeledes merk av de 7 observasjonspunktene i diagrammet omtrentlig på øyemål.) (ii) Gi en tolkning av regresjonskoeffisienten β. << Svar: (i) (ii).. B. (i) Beregn minste kvadraters estimater for α og β. (ii) Tegn inn den estimerte regresjonslinjen i samme koordinatsystem som i punkt A(i). (iii) Estimer også forventet tid brukt i mosjonsløpet neste år når mosjonisten er 45 år. << Svar: (i) ˆ β = sy y s = =, ˆ α = y ˆ β = (ii) Den estimerte regresjonslinja er yˆ = (iii) Estimert forventet tid neste år er = 44.9

4 4 C. Sett opp et 95% konfidensintervall for β og beregn intervallet ut fra de gitte dataene. << Svar: Et 95% KI er gitt ved ˆ ˆ σ β ± 2.57 der 2.57 er fraktilen i t 2 5 -fordelingen. Formelverket i boka eller regresjon-ii-notatet (side 4) gir ˆ ( Sy s) 6 = ˆ = ˆ = 0.526, og dermed σ β σ ˆ ˆ σ β ± 2.57 = ± 2.57 = ± = 0.337, [ ] Oppgave 3 I en gitt modell er X en observerbar normalfordelt stokastisk variabel med ukjent forventning, µ, og kjent standardavvik, σ = 0.5. Man er spesielt interessert i en parameter, θ, som er avhengig av µ ved relasjonen, θ = 5µ 2. A. (i) Sett opp en forventningsrett estimator for θ basert på X og forklar hvorfor den er forventningsrett. (ii) Finn standardfeilen til estimatoren i (i). << Svar: (i) ˆ θ = 5X 2 er forventningsrett siden E(5X 2) = 5 EX ( ) 2= 5µ 2= θ (ii) Siden ˆ θ er forventningsrett er standardfeilen lik standardavviket, som er SD( ˆ θ) = var( ˆ θ) = 25var( X ) = 5 SD( X ) = 2.5 B. Vi ønsker å teste nullhypotesen, H : θ 0 mot 0 H : 0 θ > med signifikansnivå 5% basert på estimatoren ˆ θ fra punkt A(i) (eller eventuelt basert på X, som er ekvivalent). (i) Sett opp testkriteriet basert på ˆ θ (eller, om du vil, basert på X), slik at testen får nivå (ii) Hva er sannsynligheten for feil av type I og for feil av type II hvis den sanne verdien av θ er θ = 2?

5 5 ˆ << Svar: (i) ˆ 0 θ = 5X 2 ~ N( θ, 2.5). Testobservatoren, Z = θ, er N(0, ) fordelt hvis 2.5 θ = 0, og vi skal forkaste H 0 på nivå 0.05 hvis Z > z0.05 =.645, som er det samme som Forkast H 0 hvis ˆ θ > = 4.25 (ii) Verdien θ = 2 er med i alternativet slik at P(Feil type I) = 0. Når det gjelder feil av type II, har vi ved cdf-en i N(0, ), Gz, ( ) og tabellen i Løvås: ˆ θ Pθ= 2(Feil type II) = Pθ= 2(forkaste H0) = Pθ= 2 > = ( G(0.85)) = G(0.85) =