ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4"

Transkript

1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 1 / 53

2 Oppsummering, del 3 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 2 / 53

3 Oppsummering, del 3 Oppsummering, del 3 Styrke, styrkefunksjon Tosidige tester Test for p i binomisk modell;. t-fordeling Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 3 / 53

4 , Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 4 / 53

5 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 5 / 53

6 t-fordeling, Rett på definisjon: Utgangspunktet er målemodellen med normalantakelse: X 1,...,X n, u.i.f. tilf. var. der X i N(µ, σ 2 ). La σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, og T = X µ S 2 n Def. Student s t-fordeling: Dersom X 1,...,X n, er n u.i.f. tilf. var. der X i er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, i = 1,...,n, så er T (Student s) t-fordelt med n 1 frihetsgrader: T t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 6 / 53

7 t-fordeling Obs: I den beskrevne situasjonen har vi: X µ σ 2 n N(0, 1) og X µ S 2 n t(n 1), Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 7 / 53

8 t-fordeling, Egenskaper til t-fordelingen: t-fordelingen er avhengig av antall frihetsgrader (n). Den blir mer og mer lik N(0, 1)-fordelingen når antall frihetsgrader øker. symmetrisk omkring 0 t-tabell!! n(x) f1(x) f2(x) f15(x) tyngre haler enn N(0, 1)-fordelingen Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 8 / 53

9 t-fordeling, Fraktiler i t-fordelingen: Def. t α,d Dersom T er (Student s) t-fordelt med d frihetsgrader, defineres tallet t α,d ved at P(T > t α,d ) = α. (Tilsvarer z α i N(0,1)-fordelingen.) Skisse av t(d)-fordeling; arealet P(T > t α,d ) = α er farget. 0 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 9 / 53

10 t-test, Situasjon der vi bruker t-test: Målemodellen m/normalantakelse og ukjent varians, σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Obs. 1: X i normalfordelt Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 10 / 53

11 t-test, Obs. 1: X i normalfordelt Obs. 2: (Dersom n er stor, trenger vi ikke bry oss med t-fordeling.) Obs. 3: Målemodell 3 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 11 / 53

12 t-test, Eksempel: 10 blodsukkerinnholdmålinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker å teste H 0 : µ = 4.0 mot H 1 : µ > 4.0 Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. Variansen,σ 2, estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 12 / 53

13 t-test, Vil teste: H 0 : µ = 4 mot H 1 : µ > 4 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 4 S 2 10 t(9) (jf. def. av t-fordeling) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (sign.nivå α): Forkast H 0 dersom f9(x) T t α, t(9) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 13 / 53

14 t-test, Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 t 0.05,9 = 1.83 Data: (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ) Utfall av: X 4 S 2 10 : = Siden > t 0.05,9 = 1.83, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig blodsukkerinnhold, µ, er større enn 4. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 14 / 53

15 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians, Oppsummering, t-tester, Målemodellen: n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Målemodell 3 Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n 1 n i=1 ( Xi X ) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 15 / 53

16 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, ensidig., Test (sign.nivå α) for: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n t α,n 1 0 Skisse av t-fordeling og forkastningsområde. Test (sign.nivå α) for: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n t α,n 1 0 Skisse av t-fordeling og forkastningsområde. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 16 / 53

17 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Test (sign.nivå α) for: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n X µ 0 S 2 n t α/2,n 1, eller t α/2,n 1 0 Skisse av t-fordeling og forkastningsområde. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 17 / 53

18 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; estimert varians (empirisk varians): Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; ukjent varians. Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n ( n 1 i=1 Xi X ) 2 Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 18 / 53

19 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 300 S 2 6 t(n 1) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (sign.nivå α): Forkast H 0 dersom T t α/2,n 1 eller T t α/2,n Skisse av t(5)-fordeling. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 19 / 53

20 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 α/2 = 0.025; t 0.025,5 = 2.57 Data: Utfall av: X 300 S 2 6 : Siden 2.13 t 0.025,5 = 2.57 (og 2.13 t 0.025,5 = 2.57), kan vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grunnlag i dataene for å hevde at virkelig hardhet, µ, er ulik 300 kg/mm 2. = Obs.: Jf. konklusjon med kjent varians: forkast H 0 ; z = Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 20 / 53

21 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 21 / 53

22 t-intervall, Med målemodell 1 (normalantakelse og kjent varians): (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) σ (X z 2 α/2 n, X + z σ 2 α/2 n Dette er basert på 1. kjent verdi av σ 2 2. Z = X µ σ 2 n N(0, 1) (normalantakelsen) Med målemodell 3 (normalantakelse og ukjent varians) må vi basere oss på t-fordelingen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 22 / 53

23 t-intervall, Med målemodell 3 (normalantakelse og ukjent varians): (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) S (X t 2 α/2,n 1 n, X + t S 2 α/2,n 1 n Dette er basert på 1. σ 2 estimeres med σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 2. Normalantakelse og 3. T = X µ S 2 n t(n 1) ( X i X) 2, Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 23 / 53

24 t-intervall,, Eksempel: 10 blodsukkerinnholdmålinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker et 95% konfidensintervall for virkelig blodsukkerinnhold. Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. µ: virkelig blodsukkerinnhold Variansen, σ 2, estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 24 / 53

25 t-intervall,, n = 10; 95% α = 0.05 t α/2,n 1 = t 0.025,9 = Et 95% ( konfidensintervall for virkelig blodsukkerinnhold, µ, er ) S gitt ved: X , X S 2 10 Innsatt data (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ), blir utregnet intervall: ( ) ( ) , = 3.95, 4.75 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 25 / 53

26 t-intervall, begrunnelse, Jf.: Generell definisjon av konfidensintervall: Situasjon: Data x 1,...,x n ; utfall av : X 1,..., X n ; n u.i.f. tilfeldige variable Ukjent parameter (i fordelingen til X i ene): θ Dersom L og U (L < U) er to funksjoner av X 1,...,X n, som er slik at: ( ) 1 α = P L θ U, sier vi at det utregnete intervallet (l, u) er et (1 α) 100% konfidensintervall for θ. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 26 / 53

27 t-intervall, begrunnelse, Obs. 1: Det utregnete intervallet (l, u): Framkommer når vi setter dataverdiene x 1,..., x n inn i funksjonene L og U. Obs. 2: Eventuelt tilnærmede intervall For t-intervallet er: L = X t α/2,n 1 S 2 n og U = X + t α/2,n 1 S 2 n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 27 / 53

28 t-intervall, begrunnelse, ( S 2 X t α/2,n 1 } {{ n } L ) S 2, X + t α/2,n 1 }{{ n } U er et (1 α) 100% konfidensintervall for µ, fordi ( 1 α = P t α/2,n 1 X µ S 2 n t α/2,n 1 ) ( S 2 S 2 = P X t α/2,n 1 µ X + t }{{ n α/2,n 1 }}{{ n } L U = P ( L µ U ) ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 28 / 53

29 Konfidensintervall,, Målemodell 1; (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) σ (X z 2 α/2 n, X + z σ 2 α/2 n Målemodell 2; tiln. (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) S (X z 2 α/2 n, X + z S 2 α/2 n Binomisk modell; tiln. (1 α) 100% konfidensintervall for p er ( ) p(1 p) p(1 p) p z α/2 n, p + z α/2 n Målemodell 3; (1 α) 100% konfidensintervall for µ er S (X t 2 α/2,n 1 n, X + t α/2,n 1 S 2 n ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 29 / 53

30 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 30 / 53

31 Test for forventningen, λt, i Poissonmodell, n liten, Eksempel: Overvåking av dødsrate for fugler (jf. fugleinfluensa); For et bestemt vann registreres det gjennomsnittlig 2.5 døde fugler pr. døgn under normale forhold. En dag registreres det 6 døde fugler. Gir dette grunnlag for å påstå at virkelig dødsrate har økt til over det normale? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 31 / 53

32 Test, Poissonmodell,, Statistisk tenking: Vi betrakter resultatet (6 registrerte døde fugler i et døgn) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y Poisson(λt), λ: ukjent, t = 1. Obs.: det er rimelig med Poissonfordeling for Y! λ 1, er forventet antall døde fugler ved det aktuelle vannet i løpet av et døgn. Normalt har vi: λ normalt = 2.5. Vi vil teste H 0 : λ = 2.5 mot H 1 : λ > 2.5 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 32 / 53

33 Test, Poissonmodell,, Vi vil teste H 0 : λ = 2.5 mot H 1 : λ > 2.5 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y Poisson(2.5): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 33 / 53

34 Test, Poissonmodell,, Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får nærmest mulig ønsket signifikansnivå. Kritisk verdi, k, finnes vha. Poissontabell (λt = 2.5) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k λt = 2.5) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 34 / 53

35 Test, Poissonmodell,, Fra Poissontabell (λt = 2.5): y P(Y = y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at: P(Y 9) = = P(Y 8) = P(Y = 8) + P(Y 9) = = P(Y 7) = = P(Y 6) = = P(Y 5) = = Dvs., med k = 6 får vi en test med sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 35 / 53

36 Test, Poissonmodell,, Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 6 = k = 6 Konklusjon: Forkast H 0 ; (Test: Forkast H 0 dersom Y k) Det er grunnlag for å påstå at virkelig dødsrate (rate av registrerte døde fugler) har økt til over det normale. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 36 / 53

37 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 37 / 53

38 Konfidensintervall, En (tosidig) test kan gjennomføres vha. av et konfidensintervall. For, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0, kan vi bruke: Test (sign.nivå α): Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α/2 eller Vi skal se at dette er det samme som: X µ 0 σ 2 n z α/2 Forkast H 0 dersom µ 0 ikke er inkludert i konfidensintervallet for µ. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 38 / 53

39 Konfidensintervall, Eksempel: Vi skal kjøpe smolt av en smoltoppdretter. Det hevdes at gjennomsnittsvekten til smolten i merden er 80 gram. Vekt av ni tilfeldig valgte smolt: gj.sn.-vekt: gram. Vi er interessert i om vekten (gjennomsnittsvekt for alle smolt i merden) kan være ulik 80 gram. Tyder resultatene på at vekten kan er ulik 80 gram? Målemodell med normalantakelse; kjent varians, σ 2 = Forventningen, µ: vekt (gjennomsnittsvekt for alle smolt i merden) Vil teste: H 0 : µ = 80 mot H 1 : µ 80 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 39 / 53

40 Konfidensintervall, Vil teste: H 0 : µ = 80 mot H 1 : µ 80 Test (sign.nivå α = 0.10): Forkast H 0 dersom X z 0.05 eller Er det samme som: Forkast H 0 dersom X z X 80 z eller X 80 + z Er det samme som: Behold H 0 dersom 80 z X 80 + z Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 40 / 53

41 Konfidensintervall, Behold H 0 dersom z X 80 + z Er det samme som: behold H 0 dersom X z X + z Dette siste betyr: behold H 0 dersom µ 0 = 80 90% konfidensintervall for µ. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 41 / 53

42 Konfidensintervall, Gjennomføring / konklusjon: 90% α = 0.1 z α/2 = z 0.05 = Et 90% konfidensintervall for vekten, µ, er (innsatt data, gj.sn. = 76.87): ( ) ( ) , = 71.4, 82.4 Dvs.: siden µ 0 = 80 ikke grunnlag for å hevde at µ 80. ( ) 71.4, 82.4, beholdes H 0. Dataene gir Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 42 / 53

43 Konfidensintervall, Generelt: La (L, U) være et (ev. tilnærmet) 100(1 α)% konfidensintervall for parameteren θ. Vi vil teste H 0 : θ = θ 0 mot H 1 : θ θ 0 Test: Forkast H 0 dersom θ 0 (L, U). Testen har signifikansnivå α (ev. tilnærmet). Veldig god måte å gjennomføre (tosidige) tester på! Obs.: dersom dette blir brukt for ensidig test får vi en annen sammenheng mellom intervallets konfidensgrad og sign.nivået til testen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 43 / 53

44 Konfidensintervall, Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; estimert varians (empirisk varians): Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; ukjent varians. Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n ( n 1 i=1 Xi X ) 2 Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 44 / 53

45 Konfidensintervall, Ønsker å bruke 5% signifikansnivå. Gjennomfører test vha. konfidensintervall; dvs., testen er: Forkast H 0 dersom et 95% konfidensintervall for µ ikke inneholder 300. Et 95% konfidensintervall for µ er gitt ved: ) S (X t ,5 6, X + t S ,5 6 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 45 / 53

46 Konfidensintervall, Et 95% konfidensintervall for µ er gitt ved: ) S (X t ,5 6, X + t S ,5 6 Innsatt data (Gj.sn. = 322.8, emp. varians = 689.4, t 0.025,5 = 2.571), blir utregnet intervall: ( ) ( ) , = 295.2, Konklusjon: Behold H 0 siden µ 0 = 300 (295.2, 350.4) siden µ 0 = 300 er inneholdt i konfidensitervallet. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 46 / 53

47 Konfidensintervall, Eksempel: Sammenligne meningsmålinger Forrige meningsmåling: 28% oppslutning Denne meningsmåling: 31% oppslutning Er det endring i virkelig oppslutning? Obs.: Sammenligner resultater fra to grupper; ikke standardmetode i dette kurset. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 47 / 53

48 Konfidensintervall, Modell: Forrige meningsmåling: X 1 B(n 1, p 1 ) Denne meningsmåling: X 2 B(n 2, p 2 ) X 1 og X 2 antas å være statistisk uavhengige. Vi vil teste H 0 : p 1 = p 2 mot H 1 : p 1 p 2 Vi vil teste H 0 : p 1 p 2 = 0 mot H 1 : p 1 p 2 0 Det vil være best å lage et konfidensintervall for p 1 p 2, og bruke dette til testen. p 1 p 2 estimeres med: p 1 p 2 = X 1 n 1 X 2 n 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 48 / 53

49 Konfidensintervall, p 1 = X 1 n 1, p 2 = X 2 n 2 E ( p 1 p 2 ) = E ( p1 ) E ( p2 ) = p1 p 2 Var ( p 1 p 2 ) = Var ( p1 ) + Var ( p2 ) = p 1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 p 1 og p 2 er begge tilnærmet normalfordelte og de uavhengige. Vi kan da slutte at også p 1 p 2 er tilnærmet normalfordelt. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 49 / 53

50 Konfidensintervall, p 1 p 2 er tilnærmet normalfordelt. Altså: p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 N(0, 1), tilnærmet Nevneren (standardavviket til p 1 p 2 ) kan tilnærmes med: p1 (1 p 1 ) + p 2(1 p 2 ). n 1 n 2 Bruker symbolet ŜD( p 1 p 2 ) for denne. Vi har: p 1 p 2 (p 1 p 2 ) ŜD( p 1 p 2 ) N(0, 1), tilnærmet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 50 / 53

51 Konfidensintervall, Vi har: Medfører: ( P Derfor: p 1 p 2 (p 1 p 2 ) ŜD( p 1 p 2 ) N(0, 1), z α/2 p 1 p 2 (p 1 p 2 ) ŜD( p 1 p 2 ) L ({}}{ P p 1 p 2 z α/2 ŜD( p 1 p 2 ) p 1 p 2 p 1 p 2 + z α/2 ŜD( p 1 p 2 ) }{{} U tilnærmet z α/2 ) 1 α ) 1 α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 51 / 53

52 Konfidensintervall, Vi har altså at (L, U) er et tilnærmet (1 α)100% konfidensintervall for differansen p 1 p 2. Data: n 1 = 1120, n 2 = 1050; α = 0.05 α/2 = og z = 1.96 Utfall av p 1 p 2 : = 0.03 p1 Utfall av ŜD( p (1 p 1 ) 1 p 2 ) = + p 2(1 p 2 ) : n 1 n (1 0.28) (1 0.31) 1050 = Derfor, konfidensintervall: ( , ) = ( 0.008, ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 52 / 53

53 Konfidensintervall, Derfor, konfidensintervall: ( , ) = ( 0.008, ) Konklusjon: Siden 0 er inneholdt i intervallet kan vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grunnlag for å påstå at virkelig oppslutning er endret. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 53 / 53

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ... ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34) ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47) MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i: MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 30. oktober, 2011 Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 15 -tabell

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Kapittel 10: Hypotesetesting

Kapittel 10: Hypotesetesting Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

Norske hoppdommere og Janne Ahonen

Norske hoppdommere og Janne Ahonen TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet

Detaljer

Kp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt

Kp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt Bjørn H. Auestad Kp. 11: Regresjonsanalyse 1 / 57 Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt 11.1 Introduction to Linear Regression 11.2 Simple Linear Regression 11.3 Least Squares and the Fitted Model 11.4 Properties

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4 ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.

Detaljer

Econ 2130 uke 16 (HG)

Econ 2130 uke 16 (HG) Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (19)

TMA4240 Statistikk H2010 (19) TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014

Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014 Løsningsforslag oblig STK høsten 4 Oppgave I forbindelse med en studie av antioksidanter og antocyanider, ble innholdet av antocyan i 5 beger med blåbær målt. De målte verdiene var (i mg per gram): 55

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN

Detaljer

Inferens i fordelinger

Inferens i fordelinger Inferens i fordelinger Modifiserer antagelsen om at standardavviket i populasjonen σ er kjent Mer kompleks systematisk del ( her forventningen i populasjonen). Skal se på en situasjon der populasjonsfordelingen

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S 2 Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 2010 2 Estimering Mål: finne sannheten

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 16. juni 2009. KLASSE: HIS 07 10. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister. ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6) TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Ett utvalg: estimere forventningsverdi og intervall [9.4] Student-t fordeling [8.6] Quiz fra SME og konfidensintervall Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator.

EKSAMENSOPPGAVE. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Mandag 9. mai 017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»

Detaljer

Verdens statistikk-dag.

Verdens statistikk-dag. Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

Løsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y

Løsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y Statistiske metoder 1 høsten 004. Løsningsforslag Oppgave 1: a) Begge normalplottene gir punkter som ligger omtrent på ei rett linje så antagelsen om normalfordeling ser ut til å holde. Konfidensintervall

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting Hypotesetesting H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Rettsvesen hypotese Tiltalte er uskyldig inntil det motsatte er bevist. Hypoteser H 0 : Tiltalte er uskyldig H 1 :

Detaljer

Introduksjon til inferens

Introduksjon til inferens Introduksjon til inferens Hittil: Populasjon der verdien til et individ/enhet beskrives med en fordeling. Her inngår vanligvis ukjente parametre, μ, p,... Enkelt tilfeldig utvalg (SRS), observator p =

Detaljer