Hypotesetest: generell fremgangsmåte

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 (21) 10.8, 10.10: To normalfordelte utvalg 10.9: Teststyrke og antall observasjoner Mette Langaas Foreleses mandag 1.november, Hypotesetest: generell fremgangsmåte Generell fremgangsmåte Kvalitetskontroll av skruer 0 Observasjoner X 1, X 2,..., X n Stikkprøve (utvalg) av n = 10 u.i.f. fra fordeling med kjente og ukjente parametere. skruer, antar normalfordeling og kjenner σ =0.1mm. 1 Ensidig eller to-sidig test Er grunn til å tro at skruene som produseres ikke er 15 mm lange? H 0 vs. H 1 H 0 : µ = 15 vs. H 1 : µ 15 2 Signifikansnivå α bestemmes. Velger α = Testobservator: størrelse med kjent fordeling under nullhypotesen. Forkasningsområde fra P(forkaste H 0 H 0 sann) α. Z 0 = X µ 0 σ/ n er under H 0 standard normalfordelt Forkast H 0 hvis z 0 z 0 < z α. 2 > z α 2 eller

2 3 Hypotesetest: generell fremgangsmåte Generell fremgangsmåte 4 Konklusjon basert på observasjoner Forkast H 0 og konkluder med H 1, eller behold H 0. 5 Tilleggsinformasjon: p- verdi=p(det vi har observert eller noe verre H 0 er sann), teststyrke ved bestemt alternativ Kvalitetskontroll av skruer = 1.96, x = mm. z z 0 = / = <1.58<1.96 Beholder H 0. Har ikke sterke nok bevis for at µ 15mm. p-verdi To utvalg: hands-on Vi vil undersøke den gamle reklame-påstanden om at "Laban strekker seg litt lenger". Lenger enn hva? Jo, lenger enn konkurrenten COOP Seigmenn. Hvilke faktorer som kunne påvirke strekklengden til seigmenn? Hva er viktig å ha med i en forsøksprotokoll?

3 5 Forslag til forsøksprotokoll Hver student triller terning for å finne hvilken type seigmenn de skal strekke: 1-2-3=Laban og 4-5-6=COOP seigmenn. Student holder seigmannen i hodet med to fingre på den ene hånden og i begge beina med to fingre på den andre hånden, og strekker så seigmannen. En linjal (med millimeter angivelse) holdes under. Når seigmannen begynner å revne (i hodet eller beina eller andre steder), leses strekklengden av på linjalen. Strekklengen registreres med millimeters nøyaktighet! Strekklengde noteres (velg riktig fil). Studenten spiser seigmannen, og så spiser en av merket han/hun ikke har strukket - og krysser av på tavla hvilken seigmann som var best (til å bruke for analyse av binomiske andeler). 6 To utvalg: statistisk situasjon Ønsker å sammenligne to populasjoner basert på et u.i.f. utvalg fra hver populasjon. Nå: Studerer en egenskap som kan sies å være normalfordelt i hver populasjon, og ønsker å utføre en hypotesetest om forholdet mellom forveningsverdiene i de to populasjonene Sammenligningene kan være parvise eller ikke parvise. I ser vi på egenskaper som er binomisk fordelt.

4 7 10.8: To uavhengige utvalg, normalfordeling Situasjon: X A 1, X A 2,..., X A n 1 er u.i.f., X A i N(µ A, σ 2 A ). X B 1, X B 2,..., X B n 2 er u.i.f., X B j N(µ B, σ 2 B ). Problemstilling: Vil teste hypotesen H 0 : µ A µ B = d 0 mot H 1 : µ A µ B d 0 (Alternativt: H 1 : µ A µ B < d 0 eller H 1 : µ A µ B > d 0 ) Hypotesetest, tre tilfelle: 1. σa 2 og σ2 B kjente. 2. σa 2 = σ2 B = σ2, der σ 2 er ukjent 3. σa 2 σ2 B, σ2 A og σ2 B ukjente. 8 To uavhengige utvalg, normalfordeling (forts.) 1. σ 2 A og σ2 B kjente: Bruker at σ 2 A Z 0 = ( X A X B ) d 0 n 1 + σ2 B n 2 N(0, 1) under H 0. Forkast H 0 dersom z 0 > z α 2, der z 0 er observert verdi for Z σ 2 A = σ2 B = σ2, der σ 2 er ukjent: T-fordeling med n A + n B 2 frihetsgrader. 3. σa 2 σ2 B, σ2 A og σ2 B ukjente: Tilnærmet t-fordelt med stygg ν. Se læreboka.

5 9 To utvalg, normalfordeling (forts.) 1. σa 2 og σ2 B kjente: Normalfordeling. 2. σa 2 = σ2 B = σ2, der σ 2 er ukjent: Estimator for σ 2 : S 2 p = Bruker at na 1 n A + n B 2 [ (Xi A X A ) 2 + i=1 T 0 = (X A X B ) d 0 1 S p n A + 1 n B n B j=1 (X B j X B ) 2 ] er t-fordelt med n A + n B 2 frihetsgrader under H 0. Forkast H 0 dersom t 0 > t α 2,(n A+n B 2), der t 0 er observert verdi for T σa 2 σ2 B, σ2 A og σ2 B ukjente: Tilnærmet t-fordelt med stygg ν. Se læreboka. 10 To avhengige utvalg, parvis analyse: Dekkslitasje Spørsmål: Er slitasjen for A-dekk større enn for B-dekk? Forsøk: Utstyr n tilfeldig valgte biler med to dekk av type A og to av type B. La X i, i = 1,..., n være slitasje til type A-dekka på de n bilene (gj.snitt over to dekk). La Y i, i = 1,..., n være slitasje til de tilsv. parene av type B-dekk (gj.snitt over to dekk). Da er D i = X i Y i, i = 1,..., n uavhengige, og D i N(µ D, σ 2 D ). Observasjoner: n = 15 forsøk med observerte verdier d = 0.72 og s 2 d = 0.97.

6 11 To avhengige utvalg, parvis analyse: Dekkslitasje Hypotesetest: H 0 : µ D = µ 0 mot H 1 : µ D > µ 0, der µ 0 = 0. T 0 = D µ 0 S D / n = D 0 S D / n er t-fordelt med n 1 frihetsgrader under Gjennomfør testen som for ett utvalg. 12 Fartskontroll med laser Ved fartskontroll benytter ofte politiet laser til å måle farten til bilene. Hvis Y er målt fart (km/t) til en tilfeldig valgt bil, antar vi at Y er normalfordelt med forventning µ og standardavvik σ = 1.5 km/t. Politiet gjennomfører en fartskontroll i en 50-sone der farten til hver bil måles med en lasermåling. Politiet vil fastsette en forkastningsregel slik at sannsynligheten for at en bilist feilaktig beskyldes for fartsovertredelse blir høyst a) Formuler hypotesetest og finn forkastningsregel. b) Hva er sannsynligheten for at en bilist som kjører i 55 km/t ikke blir beskyldt for fartsovertredelse? c) Hvor mange målinger må vi har for å oppdager at bilisten kjører for fort med styrke 0.95 når bilisten kjører i 55 km/t? Fasit: k=53.5, ikke beskyldt=0.16, minst 2 observasjoner.

7 13 Signifikansnivå og teststyrke Definerer α = P(Type I-feil) β = P(Type II-feil) Signifikansnivået for en test = P(Type I-feil) = α. Styrken for en test er sannsynligheten for å forkaste H 0 når et bestemt alternativ er sant (DEF 10.4), dvs. Styrken = 1 P(Type II-feil, bestemt alternativ) = 1 β. 14 Teststyrke, illustrasjon Tester hypotesen H 1 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0. Forkaster H 0 dersom z 0 < z α, eller ekvivalent x < k, der k = µ 0 z α σ/ n. Anta sann verdi µ = µ 1, hva er teststyrken 1 β?

8 15 Utvalgsstørrelse [10.9] Ensidig test, σ kjent. H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ > µ 0 Hvis vi ønsker å ha sannsynlighet (1 β) for å oppdage µ = µ 0 + δ (for gitt δ) og ønsker signifikansnivå α, må vi minst ha utvalgsstørrelse Tosidig test, σ kjent. n = (z α + z β ) 2 σ 2 δ 2 H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ µ 0 Som over, da blir minst utvalgsstørrelsen (tilnærmet) n = (z α 2 + z β) 2 σ 2 δ 2