Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B"

Transkript

1 Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Finn også P(x 3) Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Løsning: dvs. P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(x) = ( 4 x )( 1 3 ) x ( ) 2 4 x 3 ( )( ) ( ) 2 4 ( ) 2 4 = = ( )( ) ( ) 2 3 ( ) 1 1 ( ) 2 3 = 4 = ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 2 = 6 = ( )( ) ( ) 2 1 ( ) 1 3 ( ) 2 1 = 4 = ( )( ) ( ) 2 0 ( ) 1 4 = = Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da gitt i Tabell 2 i Appendix B Leser ut av tabell: Sannsynligheten for å få en kartong med høyst ett dårlig egg er P(0)+P(1) = = dvs. P(x 3) =1 P(x = 4) = = 0.988

2 5 Tabell 2 i Appendix B 6 Kap. 6: Normalfordelingen Eksempel: Intelligenstester (6.1) Leser av at med n = 12, p = 0.05 er P(0) =0.540, P(1) = Sannsynlighetstetthet og histogram 8 Sannsynlighetstetthet og histogram

3 9 Sannsynlighetstetthet Sannsynlighetsfordelingen til en kontinuerlig tilfeldig variabel x er gitt ved en såkalt sannsynlighetstetthet f (x) ( probability distribution function ). Sannsynligheten for å få et resultat i intervallet fra a til b finnes fra P(a < x < b) = b a f (x)dx som er lik arealet av det skraverte området på figuren under. 10 Normalfordelingen (6.2) Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt tilfeldig variabel x har formel: f (x) = 1 e 1 2 ( x μ σ )2 2πσ Som for diskrete tilfeldige variable kan vi definere forventning og standardavvik også for kontinuerlige variable. For x med sannsynlighetstetthet f (x) ovenfor er: forventningen gitt ved μ (lik 100 i IQ-eksemplet) standardavviket gitt ved σ (lik 16 i IQ-eksemplet) 11 Standardnormalfordelingen (6.3) Dette er normalfordelingen med μ = 0,σ = 1. En standardnormalfordelt tilfeldig variabel betegnes ofte med z. Sannsynlighetstettheten er gitt ved formelen f (z) = 1 e 1 2 z2 2π 12 Egenskaper for standardnormalfordelingen 1. Det totale areal under kurven er Sannsynlighetstettheten har en topp, er symmetrisk om 0, og strekker seg uendelig langt ut i hver retning uten å berøre den horisontale aksen. 3. Forventningen i fordelingen er 0 og standardavviket er Arealet på hver side av 0 er lik Nesten hele arealet ligger mellom z = 3 ogz = 3.

4 13 z-score (standard score) Standardnormalfordelingen er fordelingen til såkalte z-score, som kan dannes fra en normalfordelt tilfeldig variabel x med forventning μ og standardavvik σ ved å beregne: z = x μ σ z-score kan også beregnes for et sett av data med gjennomsnitt x og utvalgsstandardavvik s ved å standardisere alle observasjonene med z = x x s 14 Beregning av sannsynligheter for standardnormalfordelingen Sannsynligheten for at z har en verdi i et intervall fra a til b er gitt som arealet under standardnormalfordelingskurven fra a til b. Formelt kan vi skrive dette arealet som P(a < z < b). Tabell 3 i Appendix B viser arealet under kurven mellom a = 0og ulike verdier av b, dvs. P(0 < z < b) Tabellen kan brukes til å finne arealer for alle valg av a, b.

5 Eksempel: Finn arealet under standard normalfordelingen fra z=0 til z=1.52. z P(0 < z < 1.52) = Eksempel: Finn P(z>1.52) P(z > 1.52) = 1 P(z < 1.52) = 1 (P(z < 0)+P(0 < z < 1.52)) = = Oppgave: Finn P(z>2.03)

6 Eksempel: Finn P(z<-1.52) P(z < 1.52) = P(z > 1.52) = 1 P(z < 1.52) = 1 (P(z < 0)+P(0 < z < 1.52)) = = Eksempel: Finn P(-1.5<z<2.1) P( 1.5 < z < 2.1) = P( 1.5 < z < 0)+P(0 < z < 2.1) = P(0 < z < 1.5)+P(0 < z < 2.1) = = Oppgave: Finn P(z<-1.65) Eksempel: Finn P(0.7<z<2.1) P(0.7 < z < 2.1) = P(0 < z < 2.1) P(0 < z < 0.7) = = Hvordan finne prosentiler for standard normalfordelingen? Eksempel: Finn 75% prosentilen, dvs. z-verdien p 75 slik at P(z < p 75 ) = 0.75 P(z < 0)+P(0 < z < p 75 ) = 0.75 P(0 < z < p 75 ) = = 0.25 Oppgave: Finn P(0.75<z<2.25)

7 Fra Tabell 3 finner en areal-verdi nærmest til Dette er med tilhørende z-verdi z-verdier som begrenser et areal Hvilke z-verdier begrenser det midterste 95% arealet i en standard normalfordeling? Løsning: Arealet på 95% deles i to like deler på hver side av 0, dvs. areal på hver side (se figur). Oppgave: Finn 95% prosentilen p 95 i standard normalfordelingen. Vi ser nå i Tabell 3 for å finne tabellverdien nærmest Dette er eksakt 1.96, og det følger altså at 95% av standard normalfordelingen ligger mellom 1.96 og 1.96, dvs. P( 1.96 < z < 1.96) =0.95 Oppgave: Hvilke z-verdier begrenser det midterste 68% arealet i en standard normalfordeling? 28 Anvendelser av normalfordelingen (6.4) Generell regel: For x normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ gjelder ( a μ P(a < x < b) =P < z < b μ ) σ σ der z er standard normalfordelt. Det essensielle er her at verdiene a og b for x regnes om til standard score. Husker fra tidligere at vi definerer z-score for en normalfordelt tilfeldig variabel x med forventning μ og standardavvik σ ved z = x μ σ

8 Eksempel: IQ-verdier er normalfordelte med forventning μ = 100 og standardavvik σ = 16. Trekk en tilfeldig person. Hva er sannsynligheten for at IQ-verdien er mellom 100 og 115? P(100 < x < 115) = ( P < z < 16 = P(0 < z < 0.94) = ) Oppgave: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har IQ over 140 (μ = ,σ = 16.00)? Vi har her regnet om verdiene 100 og 115 til z-score, og så funnet sannsynligheten for at z er mellom disse verdiene. Her blir z-score for 100: og z-score for 115: = = Hvordan finne prosentiler for en normalfordeling med μ og σ? Eksempel: Finn 75% prosentilen (x-verdien) når x er normalfordelt med forventning 100 og standardavvik 16, dvs. finn x-verdien slik at P(x < x verdi ) = 0.75 Vi har tidligere funnet for standard normalfordelingen at 75% percentilen i standard normalfordelingen er 0.67, dvs. P(z < z verdi )=0.75 gir z verdi = Nå bruker vi den vanlige sammenhengen x verdi μ σ = z verdi σ x verdi μ = z verdi σ x verdi = μ + z verdi σ x verdi = = Oppgave: Finn 33% IQ percentilen (forventning 100 og standardavvik 16)

9 33 Notasjon (6.5) z(α) kalles kritisk verdi og er z-verdien slik at areal α ligger til høyre, dvs P(z > z(α)) = α Eksempler: z(0.25) = 0.67 z(0.10) = 1.28 z(0.05) = 1.65 z(0.005) = 2.58 Oppgave: Hva er z(0.5)?

10 Normaltilnærming til binomisk fordeling (6.6) n= 2, p= 0.1 n= 10, p= 0.1 n= 50, p= 0.1 La x være binomisk fordelt med n forsøk og sannsynligheter for suksess og fiasko henholdsvis p og q Da er forventning μ = np og standardavvik σ = npq. Hvis np 5ognq 5 kan vi regne ut sannsynligheter i binomisk fordeling ved å bruke standard normalkurven og regne som om x er normalfordelt n= 2, p= n= 10, p= n= 50, p= 0.5 Eksempel: La x være binomisk fordelt med n = 10, p = 0.5. Hva er P(x = 6)? Siden np = 5ognq = 5 er vi på grensen til bruk av normaltilnærming Videre er μ = = 5, σ = = 2.5 = 1.58 P(x = 6) = P(5.5 < x < 6.5) ( = P 1.58 < z < ) 1.58 = P(0.32 < z < 0.95) = P(0 < z < 0.95) P(0 < z < 0.32) = = (Ved binomisk fordeling direkte: 0.205) n= 10, p= Eksempel: La x være binomisk fordelt med n = 25, p = 0.5. Hva er P(x 14)? Både np = 12.5 > 5ognq = 12.5 > 5 så vi kan bruke normaltilnærmingen. P(x 14) = P(x < 14.5) = P(z < ) 6.25 = P(z < 0.8) =0.5 + P(0 < z < 0.8) = = (Ved binomisk fordeling direkte: )

11 Løsning: Oppgave: For en type hudkreft overlever 90% av pasientene. Hva er sannsynligheten for at 200 eller flere overlever av en gruppe på 230? P(x 200) = P(x > 199.5) ( ) = P z > = P(z > 1.65) = P(z < 1.65) = P(0 < z < 1.65) = = 0.95

12

Binomisk sannsynlighetsfunksjon

Binomisk sannsynlighetsfunksjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling 1 Section 6-2: Standard normalfordelingen 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen 3 Section 6-4: Observator fordeling 4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet Oversikt Kapittel 6 Kontinuerlige tilfeldige

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling

Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Forelesning 3. april, 2017

Forelesning 3. april, 2017 Forelesning 3. april, 2017 APPENDIX TIL KAP. 6 Sentralgrenseteoremet AVSNITT 6.3 Anvendelser av sentralgrenseteoremet Histogrammer S-kurver Q-Q-plot Diverse eksempler MGF for følger av uavhengige identisk

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

Ekstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014

Ekstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014 Ekstreme bølger Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 5. mars 2014 Bølger Timesvise max-bølger ved bøye utenfor østkyst av USA (17/12/1991-23/2-1992) Størrelse på bølger varierer sterkt

Detaljer

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5)

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Observator En observator er en funksjon av data for mange individer, for eksempel Gjennomsnitt Andel Stigningstall i regresjonslinje En observator er en tilfeldig variabel

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en observator er fordelingen av verdiene observatoren tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg er en tilfeldig

Detaljer

Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave. Pensumoversikt. Forelesninger og øvinger

Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave. Pensumoversikt. Forelesninger og øvinger 2 Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 3 4 Pensumoversikt Forelesninger og øvinger

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave 3 Pensumoversikt Kap. 2 Beskrivende statistikk,

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.1 Uniform fordeling 6.2-6.3 Normalfordeling Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

Midtveiseksamen i STK1100 våren 2017

Midtveiseksamen i STK1100 våren 2017 Midtveiseksamen i STK1100 våren 2017 Denne midtveiseksamenen består av 20 oppgaver. Det er ett riktig svaralternativ for hvert spørsmål. Hvis svaret er oppgitt som et desimaltall, er det rundet av til

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 2: Beskrivende analyse og presentasjon av data for én variabel Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Grafisk

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).

Detaljer

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar

Detaljer

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette

Detaljer

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5)

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Oversikt pensum, fortid og fremtid Eksplorativ data-analyse (Kap 1, 2) Hvordan produsere data (Kap 3) Sannsynlighetsteori (Kap 4) Utvalgsfordelinger til observatorer (Kap

Detaljer

Transformasjoner av stokastiske variabler

Transformasjoner av stokastiske variabler Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså

Detaljer

Sensurveiledning for eksamen i lgu52003 våren 2015

Sensurveiledning for eksamen i lgu52003 våren 2015 Sensurveiledning for eksamen i lgu5200 våren 205 Oppgave a) Gjennomsnittsfart fra 0-0 minutt: tilbakelagt strekning etter 0 min tilbakelagt strekning ved start tid = Gjennomsnittsfart fra 5-0 minutt: (5

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2016 Tid for eksamen: 10.00 12.00 Oppgavesettet er på

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

ECON2130 Kommentarer til oblig

ECON2130 Kommentarer til oblig ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,

Detaljer

Regneøvelse 22/5, 2017

Regneøvelse 22/5, 2017 Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2 Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ... ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.1-6.4: Uniform fordeling, normalfordelingen. Mette Langaas Foreleses onsdag 22. september 2010 2 6.1 Kontinuerlig uniform

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel.

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel. Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel. Det er i flere av oppgavene flere fremgangsmåter. Om din måte var riktig burde komme frem i rettingen. A Både X og Y tilfredsstiller

Detaljer

A. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25

A. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25 1 ECON21: ESAEN 215v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i > Grensen til bestått bør ligge på ca

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2008:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2008: Medisinsk statistikk Del I høsten 2008: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Noen tips Boka Summary etter hvert kapittel forteller hvor dere har vært og hva som er sentralt Øvingene Overdriv

Detaljer

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag

Detaljer

Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål. Tron Anders Moger

Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål. Tron Anders Moger Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål Tron Anders Moger 20. april 2005 1 Forrige gang: Så på et eksempel med data over medisinerstudenter Lærte hvordan man skulle få oversikt over dataene ved

Detaljer

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Ett utvalg: estimere forventningsverdi og intervall [9.4] Student-t fordeling [8.6] Quiz fra SME og konfidensintervall Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

x λe λt dt = 1 e λx for x > 0 uavh = P (X 1 v)p (X 2 v) = F X (v) 2 = (1 e λv ) 2 = 1 2e λv + e 2λv = 2 1 λ 1 2λ = 3

x λe λt dt = 1 e λx for x > 0 uavh = P (X 1 v)p (X 2 v) = F X (v) 2 = (1 e λv ) 2 = 1 2e λv + e 2λv = 2 1 λ 1 2λ = 3 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 7 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Regner først ut den kumulative fordelingsfunksjonen til X: F X (x) = x λe λt dt

Detaljer

Øving 7: Statistikk for trafikkingeniører

Øving 7: Statistikk for trafikkingeniører NTNU Veg og samferdsel EVU kurs Trafikkteknikk Oslo / høsten 2007 Øving 7: Statistikk for trafikkingeniører Det anbefales generelt å arbeide i grupper med 2-3 studenter i hver gruppe. Bruk gjerne Excel

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

Norske hoppdommere og Janne Ahonen

Norske hoppdommere og Janne Ahonen TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler

Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Binære data (1/0, Ja/Nei, Suksess/Feil) Utvalgsundersøkelser: Ja/Nei-spørsmål Tilstedeværelse av arter: Tilstede/Ikke-tilstede (1/0) Overlevelse etter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 9. oktober 2008. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave. Pensumoversikt. Oversikt. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave. Pensumoversikt. Oversikt. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 3 4 Pensumoversikt Oversikt Kap. 2 Beskrivende

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Introduksjon til ST0202 Kapittel 1: Statistikk Kapittel 2: Beskrivende analyse og presentasjon av data for én variabel Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start

Detaljer