STK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger

Transkript

1 STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen kan brukes til å beskrive variasjonen i numeriske observasjonen (f.eks. vektene til nyfødte jenter) Normalfordelingen kan også brukes som en god tilnærmelse til andre fordelinger (jf. sentralgrensesetningen i avsn 6.2). 2 Vi sier at en kontinuerlig stokastisk variabel X er normalfordelt med forventning µ og standardavvik (varians 2 ) hvis den har sannsynlighetstetthet Vi så på forrige forelesning at histogrammet til vekten for nyfødte jenter kan tilnærmes med funksjonen f (x) = π e (x 3.50)2 f( x) kalles sannsynlighetstettheten til X og svarer til histogrammet for «uendelig mange» fødselsvekter f (x;µ, ) = 2π e Kort skriver vi: X N(µ, 2 ) 2 2 (x µ)2 for < x < Vekten til nyfødte jenter er normalfordelt med µ = 3.50 kg og = 0.48 kg Vi har at P(a X b) = f (x)dx b a 3 4

2 Vi har at f (x;µ, )dx = 2π e 2 2 (x µ)2 dx = slik det skal være for en sannsynlighetstetthet Den momentgenererende funksjonen er Det gir M X (t) = e µt+ 2 t 2 /2 R X (t) = lnm X (t) = µ t + 2 t 2 / 2 Herav følger det at E(X ) = R! X (0) = µ V(X ) =!! Normalfordeling med MATLAB Sannsynlighetstetthet: f (x;µ, ) = 2π e MATLAB: normpdf(x,µ, ) Kumulativ fordeling: F(x;µ, ) = 2 2 (x µ)2 5 R X (0) = 2 6 x 2π e 2 2 (y µ)2 dy MATLAB: normcdf(x,µ, ) Persentiler: η(p) er gitt ved at F(η(p);µ, ) = p MATLAB: norminv(p,µ, ) Normaltettheter for ulike verdier av µ og µ = 0 = µ = = µ = 0 = 2 Hvis en kontinuerlig stokastisk variabel Z er normalfordelt med forventning µ = 0 og standardavvik = sier vi at Z er standardnormalfordelt Sannsynlighetstetthet: f (z;0,) = 2π e z2 /2 for < z < MATLAB kommandoer: x=-5:0.02:5; fx=normpdf(x,0,); gx=normpdf(x,,); hx=normpdf(x,0,2); hold on plot(x,fx,'b'); plot(x,gx,'r'); plot(x,hx,'g'); 7 Kort skriver vi: Z N(0,) Kumulativ fordeling: z Φ(z) = P(Z z) = 2π e y 2 /2 dy Tabell A.3 bak i boka gir Φ(z) for verdier av z fra til 3.49 (i step på 0.0) 8 2

3 Kritiske verdier za Eksempel: P(Z 3.02) = P(Z.25) = Hvis X N(µ, 2 ) så er Z = X µ N(0,) Derfor er #X µ x µ& P(X x) = P % ( ' $ # #x µ& x µ& = P %Z ( = Φ% ( ' $ $ ' 0 Anta at X N(µ, 2 ) Da er P(µ k X µ + k ) = P( k Z k) = Φ(k) Φ( k) Vi finner sannsynlighetene for k =, 2 og 3 Det gir følgende: 2 3

4 Hvis X N(µ, 2 ) så er Z = X µ N(0,) Derfor er # P(X x) = P X µ x µ & # % ( = P Z x µ & % ( $ ' $ ' La η X (p) og η Z (p) være 00p-persentilene til X og Z Da har vi at # P(Z η Z (p)) = p = P Z η (p) µ & = P(X η X X (p)) % ( $ ' Det gir Derfor er η X (p) µ = η Z (p) η X (p) = µ +η Z (p) 3 Normalfordelingsplott Sammenhengen η X (p) = µ +η Z (p) kan brukes til å motivere en metode for å sjekke om observasjoner er (omtrent) normalfordelte Eksempel: Hvilepuls til 0 kvinnelige studenter: Er det rimelig å anta at dataene er normalfordelte? Idé: Plott empiriske persentiler mot persentilene i standardnormalfordelingen 4 Empiriske persentiler med n observasjoner: Skriv observasjonene i stigende rekkefølge fra den minste til den største Da svarer den i-te minste observasjonen til den! empiriske 00 i / 2 $ # &-persentilen " n % Når n = 0 svarer observasjonene til følgende empiriske persentiler: 5, 5 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 5 MATLAB: x=[ ] n=0 ii=:n pers=[(ii-0.50)/n] scatter(norminv(pers,0,),sort(x)) 6 4

5 Kommandoen normplot i MATLAB lage et tilsvarende plott, men x- og y-aksen er byttet om (så plottet blir tilsvarende som figur 4.34 i læreboka) Normalfordeling som tilnærming til diskrete fordelinger Normalfordelingen brukes noen ganger som en tilnærming for diskrete fordelinger Eksempel: IQ: IQ-skalen er lagd slik at IQ i en befolking er normalfordelt med µ = 00 og = 5 (selv om en ikke regner IQ som desimaltall) Hvor stor del av befolkningen har IQ minst 20? 7 8 For å få med hele stolpen som svarer til 20 må vi bestemme arelet under normalfordelingskurven til høyre for 9.5 Det svarer til sannsynlighet 9.7%

6 Normalfordeling som tilnærming til binomisk fordeling La X være binomisk fordelt med n=00 forsøk og sannsynlighet p=0.30. Da er E(X ) = np = 30 og SD(X ) = np( p) = 4.6 Figuren viser den binomiske punktsannsynligheten og normalfordeligstettheten med µ = 30 og = 4.6 Generelt har vi følgende resultat: Anta at X er binomisk fordelt med n forsøk og sannsynlighet p Den kumulative fordelingen er x B(x;n,p) = P(X x) = n ( y ) py ( p) n y y=0 Hvis np 0 og n( p) 0, så er $ x +/ 2 np ' B(x;n,p) Φ & ) % np( p) ( 22 6