3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H : Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september Stokastisk variabel (repetisjon) DEF 3.1 Stokastisk variabel : En stokastisk variabel (SV) er en funksjon som assosierer et reelt tall med hvert element i utfallsrommet. Engelsk: random variable. DEF 3.2 Diskret utfallrom : Hvis utfallsrommet inneholder et endelig antall mulige utfall eller en uendelig sekvens med så mange elementer som det er hele tall, så kalles et et diskret utfallsrom. En stokastisk variabel som har et diskret utfallsrom kalles en diskret stokastisk variabel. DEF 3.3 Kontinuerlig utfallrom : Hvis utfallsrommet inneholder et uendelig antall mulige utfall (f.eks. reelle tall) så kalles det et kontinuerlig utfallsrom. En stokastisk variabel som har et kontinuerlig utfallsrom kalles en kontinuerlig stokastisk variabel.

2 3 3.2 Diskret SV (repetisjon) x f (x) 0 0 F (x) Høyde til mannlige studenter

3 5 3.2 Diskrete sannsynligetsfordelinger (repetisjon) DEF 3.4: f (x) er sannsynlighetsfordelingen til den diskrete stokastiske variabelen X, dersom for alle mulige utfall x: 1. f (x) 0 2. x f (x) = 1 3. P(X = x) = f (x) (punktsannsynlighet) DEF 3.5: Den kumulative fordelingen F(x) til en diskret stokastisk variabel X med sannsynlighetsfordeling f (x) er F(x) = P(X x) = f (t) for < x <. t x Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger DEF 3.6: Funksjonen f (x) er sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige stokastiske variabelen X, dersom 1. f (x) 0 for alle x R (reelle tall) 2. f (x)dx = 1 3. P(a < X < b) = b a f (x)dx. DEF 3.7: Den kumulative fordelingen F(x) til en kontinuerlig stokastisk variabel X med sannsynlighetstetthet f (x) er x F(x) = P(X x) = f (t)dt for < x <.

4 7 f (x) og F (x) 8 P(a < X b)

5 9 Oppsummering Diskret stokastisk variabel Kontinuerlig stokastisk variabel X X Mulige verdier x: Mulige verdier x: Endelig eller tellbart mange Intervall eller hele R Eksempel: Eksempel: {0, 1,..., n} [0, 1] eller [0, ) Sannsynlighetsfordeling: Sannsynlighetsfordeling: f (x) = P(X = x) for alle mulige x f (x) definert for alle reelle x ved P(a < X < b) = b a f (x)dx Kumulativ fordeling: Kumulativ fordeling: F(x) = P(X x) = t x f (t) F (x) = P(X x) = x f (t)dt definert for alle reelle x definert for alle reelle x P(a < X b) = x (a,b] f (t) P(a < X b) = b a f (x)dx = F(b) F(a) = F (b) F(a) Hvis mulige verdier er heltall: Hvis f er kontinuerlig i x: f (x) = F (x) F(x 1) f (x) = F (x) 10 TMA4240 H2009

6 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f (x). Forventningsverdien (mean, expected value) til X er µ = E(X) = x x f (x) hvis X er diskret, og µ = E(X) = x f (x)dx hvis X er kontinuerlig. 12 Tyngdepunkt

7 13 Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) Vi betrakter ankomst- og oppholdstider for et bestemt lokaltog på en jernbanestasjon. Toget skal etter rutetabellen ankomme hver hverdag klokka 8:00, men kommer alltid etter dette tidspunktet. La X (minutter) betegne togets forsinkelse på en tilfeldig valgt hverdag. Vi antar at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f (x) = { 4xe 2x for x > 0 0 for x 0 Hva er forventingsverdien til X? I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at 0 x r e ax dx = r! når a > 0 og r er et heltall 0 ar+1 14 Prosjektstyring X = tid for å samle inn data Y = tid for å analysere data f X (x) f Y (y)

8 15 Prosjektstyring (forts.) Ser på tid brukt til datainnsamling (X) Kunden har betalt 1200 kr for datainnsamlingen, og prosjektarbeideren som skal utføre datainnsamlingen får 500 kr timen. Hva er forventet inntekt for datainnsamlingen? f X (x) Forventing til funksjon av en stokastisk variabel TEO 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f (x). Forventningsverdien til den stokastiske variablen g(x) er µ g(x) = E[g(X)] = x g(x)f (x) hvis X er diskret, og µ g(x) = E[g(X)] = g(x)f (x)dx hvis X er kontinuerlig.

9 17 E(aX + b) TEO 4.5: Hvis a og b er konstanter, så er E(aX + b) = ae(x) + b COR 1: Setter vi a = 0 ser vi at E(b) = b COR 2: Setter vi b = 0 ser vi at E(aX) = ae(x) 18 E(sum eller differanse) TEO 4.6: Forventningsverdien til summen eller differansen av to eller flere funksjoner av den stokastiske variablen X, er summen eller differansen til forventningsverdiene til funksjonene. Det vil si, siden E[g 1 (X) ± g 2 (X)] = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)]. g(x) = g 1 (X) ± g 2 (X) E(g(X)) = E(g 1 (X) ± g 2 (X)) = [g 1 (X) ± g 2 (X)] f (x)dx = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)].