HØGSKOLEN I STAVANGER

Transkript

1 HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET BESTÅR AV 4 OPPGAVER PÅ 3 SIDER, 6 SIDER VED- LEGG Oppgave 1 Et nytt boligområde hvor det skal bygges rekkehus er under planlegging. En faktor man må ta hensyn til i planleggingen er hvor mange biler familiene som flytter inn har. La X være antall biler en familie har. Anta at man for den planlagte typen boliger vet at fordelingen til X er: x P (X = x) a) Hva er sannsynligheten for at en familie har minst en bil? Regn ut E(X) og Var(X). Anta at antall biler hver av familiene som flytter inn i boligområdet har er uavhengig av hverandre. Det planlegges i alt 38 boliger. Totalt antall biler familiene som flytter inn kommer til å ha blir da Y = 38 i=1 X i = X 1 + X X 38, der X i er antall biler familien i den ite boligen har. b) Regn ut E(Y ) og Var(Y ). Dersom det bygges 50 parkeringsplasser for bilene til familiene som flytter inn i boligområdet, hvor stor er sannsynligheten for at det blir nok parkeringsplasser til alle bilene? (Hint: Bruk tilnærming til normalfordeling/sentralgrenseteoremet.) Hvor mange parkeringsplasser for bilene til familiene må det bygges i boligområdet dersom det skal være minst 90% sannsynlighet for at det er nok parkeringsplasser til alle bilene? 1

2 Oppgave 2 Antall utrykninger per uke fra en brannstasjon kan beskrives med en Poisson-fordeling med forventningsverdi 1.5. a) Regn ut sannsynligheten for at det skjer nøyaktig to utrykninger i løpet av en uke. Regn ut sannsynligheten for at det skjer mer enn to utrykninger i løpet av en uke. Regn ut sannsynligheten for at det skjer minst 6 utrykninger i løpet av en periode på fire uker. La A være hendelsen at det skjer mer enn to utrykninger i løpet av en uke, og la B være hendelsen at det skjer minst en utrykning i løpet av en uke. b) Tegn et Venn-diagram som illustrerer sammenhengen mellom hendelsene A og B. Hva er sannsynligheten for at det skjer mer enn to utrykninger i løpet av en uke der vi vet at det har skjedd minst en utrykning? Dvs regn ut P (A B). Er hendelsene A og B uavhengige? Begrunn svaret. Oppgave 3 I forbindelse med testing og utvikling av batterier til et bestemt formål måler man funksjonstiden til batterier ved en standardisert belastningstest. For batterier av en type som er mye brukt til det aktuelle formålet vet man at funksjonstiden er normalfordelt med forventning µ = 88 timer og standardavvik σ = 6 timer. Vi antar at funksjonstidene til ulike batterier er uavhengige av hverandre. a) Vis at sannsynligheten for at et batteri av den omtalte type vil ha en funksjonstid på over 100 timer er Regn ut sannsynligheten for at funksjonstiden til et batteri er mellom 80 og 90 timer. Anta at vi skal teste 20 batterier av den omtalte type, og la Y være antallet av disse 20 som vil vise seg å ha en funksjonstid på over 100 timer. b) Forklar hvorfor Y vil være binomisk fordelt med parametre n = 20 og p = Regn ut P (Y 2) og E(Y ). 2

3 I utviklingen av en ny forbedret type batteri til formålet har man satt seg som et mål at sannsynligheten for en funksjonstid på over 100 timer skal være større enn 0.5 for det nye batteriet. For å teste om dette målet ser ut til å være oppfylt setter man 20 batterier av den nye typen på test samtidig og sjekker etter 100 timer hvor mange batterier som fremdeles fungerer. c) Formuler problemstillingen som en hypotesetest, dvs formuler nullhypotese og alternativ hypotese. Utfør testen og konkluder når det ble observert at 16 av de 20 batteriene fungerte etter 100 timer. Bruk signifikansnivå α (Testen kan utføres på flere måter, det er nok å gjøre den på en av måtene.) For den nye typen batteri kjenner man verken forventet funksjonstid µ eller standardavviket til funksjonstiden σ. For å få et anslag på disse gjorde man en ny test hvor man registrert den nøyaktige funksjonstiden til 18 batterier. Man fant her ut at gjennomsnittlig funksjonstid for de 18 batteriene ble og empirisk varians for målingene ble Vi antar fremdeles at funksjonstidene er normalfordelte (men altså nå med ukjent µ og σ). d) Utled et 95% konfidensintervall for µ. Regn ut tallsvar for intervallet ut fra informasjonen gitt over. Oppgave 4 En laborant skal prøve å bestemme konsentrasjonen av et bestemt stoff i en prøve. La µ betegne denne konsentrasjonen. Laboranten har tilgjengelig to forskjellige målemetoder til dette, en nøyaktig men dyr og en rimelig men mer unøyaktig. Laboranten bestemmer seg for å gjøre en måling med den dyre metoden og tre med den rimelige. La X betegne måleresultatet med den dyre metoden og la Y 1, Y 2 og Y 3 betegne måleresultatene for de tre målingene med den rimelige metoden. Vi antar at alle måleresultatene er uavhengige av hverandre. Det er fra tidligere kjent at resultatene av målinger med den dyre metoden har forventing µ og varians σx 2 = 1 og at resultatene av målinger med den rimelige metoden har forventing µ og varians σy 2 = 5. Laboranten er litt usikker på hvordan han best skal kombinere informasjonen fra målingene til en felles estimator for konsentrasjonen µ. Han vurderer estimatorene der Ȳ = (Y 1 + Y 2 + Y 3 )/3. ˆµ 1 = 1 2 (X + Ȳ ) og ˆµ 2 = 5 8 X + 3 8Ȳ a) Regn ut forventningsverdien til begge estimatorene. Hvilke to egenskaper ønsker vi at en god estimator skal ha? b) Regn ut variansen til begge estimatorene. Hvilken av de to estimatorene ˆµ 1 og ˆµ 2 er best? Begrunn svaret. Bruk den estimatoren du mener er best og regn ut et estimat for µ når vi har observert dataene x = 75.1, y 1 = 69.1, y 2 = 84.4 og y 3 =

4 Vedlegg til eksamensoppgavene i TE199, 5. juni 2003 Den empiriske variansen for data x 1,..., x n er gitt ved s 2 = ni=1 (x i x) 2 n 1 = ni=1 x 2 i n x2 n 1 En oppgave består av d deler og det er m 1 ulike måter å utføre del 1 på, m 2 ulike måter å utføre del 2, m 3 ulike måter å utføre del 3 på o.s.v.; Det er da i alt m 1 m 2 m d ulike måter å utføre hele oppgaven på. Antall permutasjoner av r objekt tatt fra n ulike er: n (n 1) (n r + 1) }{{} r faktorer Antall uordnede utvalg av r objekt tatt fra n ulike er: ( ) n n (n 1) (n r + 1) = r r! Den betingede sannsynligheten for A gitt B er definert ved: P (A B) = P (A B) P (B) For en tilfeldig variabel X er variansen til X definert ved: der µ = E(X). Var(X) = E{(X µ) 2 } = E(X 2 ) µ 2, For to tilfeldige variable X og Y er kovariansen til X og Y definert ved: Cov(X, Y ) = E{(X µ X )(Y µ Y )} = E(XY ) µ X µ Y, der µ X = E(X) og µ Y = E(Y ). For to stokastisk variable X og Y er korrelasjonen mellom X og Y definert ved: Corr(X, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ) For vilkårlige konstanter a, b og c og to tilfeldige variable X og Y gjelder: E(a + bx + cy ) = a + be(x) + ce(y ) Var(a + bx + cy ) = b 2 Var(X) + c 2 Var(Y ) + 2bcCov(X, Y ) Cov(a + bx, c + dy ) = bdcov(x, Y ) 4

5 Dersom den stokastiske variabelen X er binomisk fordelt (n, p), så har vi at P (X = x) = ( n x E(X) = np og Var(X) = np(1 p). ) p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n, Dersom den stokastiske variabelen X er hypergeometrisk fordelt (N, D, n), der N = populasjonsstørrelse, D = antall defekte og n = utvalgsstørrelse, så har vi at ( ) ( ) D N D P (X = x) = x n x ( ) N, x = 0, 1,..., n (n min(d, N D)), n E(X) = n D N og Var(X) = N n N 1 n D N (1 D N ). Dersom den stokastiske variabelen X er geometrisk fordelt med suksess-sannsynlighet p, så har vi at P (X = x) = (1 p) x 1 p x = 1, 2,..., E(X) = 1/p og Var(X) = (1 p)/p 2. Dersom den stokastiske variabelen X er Poissonfordelt med parameter m, så har vi at P (X = x) = mx e m, x = 0, 1,..., x! E(X) = m og Var(X) = m. 5

6 Tabell over sannsynligheter i standardnormalfordelingen. Tabellen viser P (Z z), der Z N (0, 1). z

7 Tabell over Student-t-fordelingen. Tabellen viser t α,ν som er slik at P (T t α,ν ) = α, der T t(ν) (T er Student-t-fordelt med ν frihetsgrader). α ν

8 Kumulative binomiske sannsynligheter. Tabellen viser P (X c) = c x=0 ( n x ) p x (1 p) n x. p c n = n =

9 Kumulative Poissonsannsynligheter. Tabellen viser P (X c) = c x=0 e m m x x!. m c m c