HØGSKOLEN I STAVANGER

Transkript

1 HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 30. AUGUST 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET BESTÅR AV 4 OPPGAVER PÅ 3 SIDER, 3 SIDER VED- LEGG Oppgave 1 Et bilutleiefirma disponerer totalt 5 biler. La X være antall biler som er utleide en tilfeldig dag. Firmaet har registrert at sannsynlighetsfordelingen til X er som gitt i tabellen under. x p(x) a) Regn ut E(X) og Var(X). Vi antar at firmaet tjener 620 kr per dag på hver bil som er utleid, og at firmaet har faste utgifter på 1880 kr per dag. Dvs firmaets fortjeneste en tilfeldig dag er W = 620X b) Regn ut E(W ) og Var(W ). Hva er sannsynligheten for at firmaet går med overskudd en tilfeldig dag? 1

2 Oppgave 2 Tenk deg at du deltar i en spørrekonkurranse på internett. Konkurransen består av 8 spørsmål. Alle spørsmål har tre svaralternativ og kun ett av alternativene er korrekt. a) Dersom du ikke vet svaret på noen av de 8 spørsmålene og tipper helt tilfeldig, hva er sannsynligheten for å få minst 6 rette? (Hint: Binomisk fordeling) Hva er sannsynligheten for å få minst 6 rette dersom du vet svaret på fire av spørsmålene og tipper helt tilfeldig på de fire andre spørsmålene? Oppgave 3 I et debattprogram på TV diskuteres et bestemt tema. Under programmet har seerne mulighet for å ringe inn og si sin mening om temaet. Anta at seeren da skal svare ja eller nei på et spørsmål knyttet til temaet. I denne oppgaven skal vi anta at det blant seerne er 60% som mener ja og 40% som mener nei (for enkelhets skyld antar vi at alle seerne har en oppfatning om spørsmålet). Vi antar dessuten at sannsynligheten for at en tilfeldig ja-seer ringer inn er 0.01 og at sannsynligheten for at en tilfeldig nei-seer ringer inn er La J være hendelsen at en tilfeldig valgt seer mener ja, og la R være hendelsen at en tilfeldig valgt seer ringer inn. a) Ut fra opplysningene gitt over, skriv ned hva sannsynlighetene P (J), P (J c ), P (R J) og P (R J c ) blir. Tegn et Venndiagram som illustrerer sammenhengen mellom hendelsene J og R. Marker (skraver) hendelsen R J i diagrammet. Vis at P (R J) = b) Finn P (R). Hvor stor andel av innringerne til debattprogrammet mener ja? Dvs regn ut P (J R). Gir resultatet av innringingen et riktig bilde av seernes oppfatning av spørsmålet? Kommenter kort. 2

3 Oppgave 4 I denne oppgaven skal vi se på utslipp av fosfor fra et kommunalt kloakkrenseanlegg. Det hevdes fra de som driver renseanlegget at mengden fosfor i utslippsvannet varierer rundt et gjennomsnittsnivå på 0.20 mg/l. De hevder videre at variasjonen rundt dette nivået er slik at mengdene fosfor i like store prøver tatt på ulike tidspunkt vil være uavhengige og normalfordelte med forventning µ = 0.20 og standardavvik σ = La X være mengden fosfor i en tilfeldig prøve av utslippsvannet. a) Regn ut P (X < 0.18) og P (0.17 < X < 0.22). b) Bestem verdien k som er slik at P (X < k) = Det blir stilt nye og strengere miljøkrav til rensanlegget, og for å imøtekomme disse blir nytt renseutstyr installert. Man regner med at forventet mengde fosfor i utslippsvannet, µ, vil endre seg når det nye renseutstyret tas i bruk, mens man regner med at standardavviket fremdeles vil være σ = c) Sett opp et 99% konfidensintervall for µ når man har observert at gjennomsnittet av 12 uavhengige prøver av utslippsvannet etter installering av nytt renseutstyr ble Hvor mange målinger må man i denne situasjonen minst gjøre dersom man ønsker et 99% konfidensintervall for µ med lengde på maksimalt 0.01? Et av de nye kravene til renseanlegget er at gjennomsnittlig mengde fosfor i utslippsvannet i det lange løp skal være mindre enn 0.15 mg/l, dvs at µ < Vi skal bruke informasjonene fra målingene av fosforinnhold som er gjort så langt til å utføre en hypotesetest der vi tester om vi har grunnlag for å påstå at µ < d) Formuler nullhypotese og alternativ hypotese. Utfør testen og konkluder når observasjonen er som i punkt c). Bruk 5% signifikansnivå. De som driver renseanlegget hevder at resultatet av testen i forrige punkt ble som den ble på grunn av at det ikke var gjort nok målinger enda. e) Hva forteller styrkefunksjonen oss? Finn et uttrykk for styrkefunksjonen til testen i forrige punkt. Regn spesielt ut styrkefunksjonen for alternativet µ = Hvor mange målinger må man gjøre for at styrken til testen for alternativet µ = 0.14 skal bli minst 0.9? 3

4 Vedlegg til eksamensoppgavene i TE199, 30. august 2003 Den empiriske variansen for data x 1,..., x n er gitt ved s 2 = ni=1 (x i x) 2 n 1 = ni=1 x 2 i n x2 n 1 En oppgave består av d deler og det er m 1 ulike måter å utføre del 1 på, m 2 ulike måter å utføre del 2, m 3 ulike måter å utføre del 3 på o.s.v.; Det er da i alt m 1 m 2 m d ulike måter å utføre hele oppgaven på. Antall permutasjoner av r objekt tatt fra n ulike er: n (n 1) (n r + 1) }{{} r faktorer Antall uordnede utvalg av r objekt tatt fra n ulike er: ( ) n n (n 1) (n r + 1) = r r! Den betingede sannsynligheten for A gitt B er definert ved: P (A B) = P (A B) P (B) For en tilfeldig variabel X er variansen til X definert ved: der µ = E(X). Var(X) = E{(X µ) 2 } = E(X 2 ) µ 2, For to tilfeldige variable X og Y er kovariansen til X og Y definert ved: Cov(X, Y ) = E{(X µ X )(Y µ Y )} = E(XY ) µ X µ Y, der µ X = E(X) og µ Y = E(Y ). For to stokastisk variable X og Y er korrelasjonen mellom X og Y definert ved: Corr(X, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ) For vilkårlige konstanter a, b og c og to tilfeldige variable X og Y gjelder: E(a + bx + cy ) = a + be(x) + ce(y ) Var(a + bx + cy ) = b 2 Var(X) + c 2 Var(Y ) + 2bcCov(X, Y ) Cov(a + bx, c + dy ) = bdcov(x, Y ) 4

5 Dersom den stokastiske variabelen X er binomisk fordelt (n, p), så har vi at P (X = x) = ( n x E(X) = np og Var(X) = np(1 p). ) p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n, Dersom den stokastiske variabelen X er hypergeometrisk fordelt (N, D, n), der N = populasjonsstørrelse, D = antall defekte og n = utvalgsstørrelse, så har vi at ( ) ( ) D N D P (X = x) = x n x ( ) N, x = 0, 1,..., n (n min(d, N D)), n E(X) = n D N og Var(X) = N n N 1 n D N (1 D N ). Dersom den stokastiske variabelen X er geometrisk fordelt med suksess-sannsynlighet p, så har vi at P (X = x) = (1 p) x 1 p x = 1, 2,..., E(X) = 1/p og Var(X) = (1 p)/p 2. Dersom den stokastiske variabelen X er Poissonfordelt med parameter m, så har vi at P (X = x) = mx e m, x = 0, 1,..., x! E(X) = m og Var(X) = m. 5

6 Tabell over sannsynligheter i standardnormalfordelingen. Tabellen viser P (Z z), der Z N (0, 1). z